-Suppose that $\Gamma_{\mathcal{P}}(f)$ is strongly connected.
-Let $x=(e,(u,v)),\check{x}=(\check{e},(\check{u},\check{v}))
-\in \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ and $\varepsilon >0$.
-We will find a point $y$ in the open ball $\mathcal{B}(x,\varepsilon )$ and
-$n_0 \in \mathds{N}$ such that $G_f^{n_0}(y)=\check{x}$: this strong transitivity
-will imply the transitivity property.
-We can suppose that $\varepsilon <1$ without loss of generality.
-
-Let us denote by $(E,(U,V))$ the elements of $y$. As
-$y$ must be in $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$ and $\varepsilon < 1$,
-$E$ must be equal to $e$. Let $k=\lfloor \log_{10} (\varepsilon) \rfloor +1$.
-$d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))$ must be lower than
-$\varepsilon$, so the $k$ first digits of the fractional part of
-$d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))$ are null.
-Let $k_1$ the smallest integer such that, if $V^0=v^0$, ..., $V^{k_1}=v^{k_1}$,
- $U^0=u^0$, ..., $U^{\sum_{l=0}^{k_1}V^l-1} = u^{\sum_{l=0}^{k_1}v^l-1}$.
-Then $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))<\varepsilon$.
-In other words, any $y$ of the form $(e,((u^0, ..., u^{\sum_{l=0}^{k_1}v^l-1}),
-(v^0, ..., v^{k_1}))$ is in $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$.
-
-Let $y^0$ such a point and $z=G_f^{k_1}(y^0) = (e',(u',v'))$. $\Gamma_{\mathcal{P}}(f)$
-being strongly connected, there is a path between $e'$ and $\check{e}$. Denote
-by $a_0, \hdots, a_{k_2}$ the edges visited by this path. We denote by
-$V^{k_1}=|a_0|$ (number of terms in the finite sequence $a_1$),
-$V^{k_1+1}=|a_1|$, ..., $V^{k_1+k_2}=|a_{k_2}|$, and by
+Supposons tout d'abord que $G_{f_u,\mathcal{P}}$ fortement connexe.
+Soit $x=(e,(u,v)),\check{x}=(\check{e},(\check{u},\check{v}))
+\in \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ et $\varepsilon >0$.
+On cherche un point $y$ dans une boule ouverte $\mathcal{B}(x,\varepsilon )$
+et un nombre
+$n_0 \in \mathds{N}$ tels que $G_{f_u,\mathcal{P}}^{n_0}(y)=\check{x}$:
+Cette transitivité forte entrainera la propriété de transitivité classique.
+On peut supposer que $\varepsilon <1$ sans perte de généralité.
+
+Soit $(E,(U,V))$ les éléments de $y$. Comme
+$y$ doit appartenir à $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$ et $\varepsilon < 1$,
+$E$ est égal à $e$.
+Soit $k=\lfloor \log_{10} (\varepsilon) \rfloor +1$.
+La distance $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))$ est inférieure à
+$\varepsilon$: les $k$ premiers éléments de la partie décimale de
+$d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))$ sont nuls.
+Soit $k_1$ le plus petit entier tel que, si $V^0=v^0$, ..., $V^{k_1}=v^{k_1}$,
+alors $U^0=u^0$, ..., $U^{\sum_{l=0}^{k_1}V^l-1} = u^{\sum_{l=0}^{k_1}v^l-1}$.
+Alors $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))<\varepsilon$.
+En d'autres mots, chaque $y$ de la forme $(e,((u^0, ..., u^{\sum_{l=0}^{k_1}v^l-1}),
+(v^0, ..., v^{k_1}))$ est dans $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$.
+
+Soit $y^0$ un tel point et $z=G_{f_u,\mathcal{P}}^{k_1}(y^0) = (e',(u',v'))$.
+$G_{f_u,\mathcal{P}}$ étant fortement connexe,
+il existe un chemin entre $e'$ et $\check{e}$.
+Soit $a_0, \hdots, a_{k_2}$ les arêtes visitées le long de ce chemin.
+On fixe $V^{k_1}=|a_0|$
+(le nombre de termes dans la séquence finie $a_1$),
+$V^{k_1+1}=|a_1|$, ..., $V^{k_1+k_2}=|a_{k_2}|$, et
