-La propriété de régularité des fonctions chaotiques est à l'origine du marquage de documents numériques: de tout média, même tronqué, on peut réextraire la
-marque.
+La propriété de transitivité des fonctions chaotiques est à l'origine du marquage de documents numériques: grâce à cette propriété, la marque est diffusée
+sur tout le support. Ainsi, de tout média, même tronqué,
+on peut la réextraire.
Dans ce chapitre, le processus d'embarquement d'un message dans
un média est formalisé en section~\ref{sec:watermarking:formulation}.
-La sécurité des approches de watermarking est étudiée selon deux approches:
-l'approche probabiliste (section~\ref{sec:watermarking:security:probas})
-et l'approche chaotique (section~\ref{sec:watermarking:security:chaos}).
+La sécurité des approches de watermarking est étudiée selon deux critères:
+probabiliste d'une part (section~\ref{sec:watermarking:security:probas})
+et chaotique (section~\ref{sec:watermarking:security:chaos}) d'autre part.
Une proposition d'embarquement dans le domaine fréquentiel est abordée
en section~\ref{sec:watermarking:frequentiel}.
propose une solution à ce problème.
Les trois premières sections de ce chapitre sont une reformulation
-du chapitre 22 de~\cite{guyeux10}. Elles ont été publiées à~\cite{bcg11:ij}.
+du chapitre 22 de~\cite{guyeuxphd}. Elles ont été publiées à~\cite{bcg11:ij}.
L'extension a quant à elle été publiée dans~\cite{bcfg+13:ip}.
C'est l'objectif de l'algorithme présenté dans cette section et introduit
dans~\cite{fgb11:ip}.
Pour des raisons de lisibilité, il n'est pas
-présenté pas dans le formalisme de la première section et
+présenté dans le formalisme de la première section et
est grandement synthétisé.
Il a cependant été prouvé comme étant chaos-sécure~\cite{fgb11:ip}.
Commençons par quelques conventions de notations:
\begin{itemize}
-\item $\mathbb{S}_\mathsf{k}$ est l'ensemble des stratégies unaire sur $[k]$;
+\item $\mathbb{S}_\mathsf{k}$ est l'ensemble des stratégies unaires sur $[k]$;
\item $m^0 \in \mathbb{B}^{\mathsf{P}}$ est un vecteur de $\mathsf{P}$ bits
représentant la marque;
\item comme précédemment,
\item $S_p \in \mathbb{S}_\mathsf{N}$
est la \emph{stratégie de place} et définit quel
élément de $x$ est modifié à chaque itération;
- \item $S_c \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de choix}
+ \item $S_c \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \emph{stratégie de choix}
qui définit quel indice du vecteur de marque est embarqué à chaque
itération;
- \item $S_m \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de mélange}
+ \item $S_m \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \emph{stratégie de mélange}
qui précise quel élément de la marque est inversé à chaque itération.
\end{itemize}
\noindent où $\overline{m_j^{n-1}}$ est la négation booléenne de $m_j^{n-1}$.
On impose de plus la contrainte suivante.
Soit $\Im(S_p) = \{S^1_p, S^2_p, \ldots, S^l_p\}$
-l'ensemble de cardinalité $k \leq l$ (les doublons sont supprimés).
-qui contient la liste des indices $i$, $1 \le i \le p$,
+l'ensemble de cardinalité $k \leq l$ (les doublons sont supprimés)
+qui contient la liste des indices $i$, $1 \le i \le \mathsf{N}$,
tels que $x_i$ a été modifié.
On considère $\Im(S_c)_{|D}= \{S^{d_1}_c, S^{d_2}_c, \ldots, S^{d_k}_c\}$
où
