+On détaille successivement comment insérer une marque dans un document PDF,
+puis comment l'extraire.
+
+\subsection{Insertion de la marque}
+
+On cherche à ajouter à un document PDF une marque $m$ de $k$ bits
+déjà codée (cryptée, correction d'erreurs incluse).
+L'insertion de celle-ci dans le document s'effectue
+en quatre étapes.
+
+On considère comme fixés les paramètres
+$\Delta$, $d_0$ et la manière de construire le vecteur $p$ pour une taille
+$L$.
+
+
+\begin{enumerate}
+\item Le vecteur hôte $x$ de taille $N$
+ est constitué de l'abscice (flottante)
+ de chaque caractère rencontré dans le document PDF.
+ La dimension $L$ est calculée comme la partie entière de $N/k$.
+
+\item Un générateur pseudo aléatoire (initialisé par une clef)
+construit $k$ ensembles $M_1$, \ldots, $M_k$
+de taille $L$ mutuellement disjoints dans $[1,N]$. Ainsi
+$\bigcup_{1\le i \le k} M_i \subseteq [N]$.
+
+
+\item Pour chacun des ensembles $M_i$, $ 1 \le i \le k$,
+ de l'étape précédente, le vecteur $\dot{x} = (x_{j_1}, \ldots ,x_{j_L})$,
+ est construit où $\{j_1, \ldots, j_L\} = M_i$.
+ Le vecteur $\dot{x'} = f(\dot{x},m_i)$ est
+ construit selon l'équation~(\ref{eq:stdm}).
+ Dans $x$, chacun des $x_{j_1}, \ldots, x_{j_L}$ est remplacé par
+ $\dot{x'}_{j_1}, \ldots, \dot{x'}_{j_L}$.
+
+\item L'abscisse de chaque caractère est ainsi redéfini
+ selon le nouveau vecteur de positions ${x'}$.
+\end{enumerate}
+
+Voyons comment extraire une marque d'une document PDF.
+
+\subsection{Exctraction de la marque}
+
+On considère comme connue la taille de la marque: c'est $k$ bits.
+Les paramètres $\Delta$, $d_0$ et la manière de construire
+$p$ en fonction de $L$ sont les mêmes qu'à l'étape précédente d'insertion de
+marque.
+
+\begin{enumerate}
+\item on récupère le vecteur $x'$ (de taille $N$ lui aussi) des abscices des
+ caractères du document PDF comme dans la phase d'insertion.
+ la valeur de $L$ est définie comme précédement.
+
+\item le même générateur pseudo aléatoire (initialisé avec la même clef)
+construit les $k$ mêmes ensembles $M_1$, \ldots, $M_k$
+de taille $L$ mutuellement disjoints dans $[1,N]$.
+
+\item Pour chacun des ensembles $M_i$, $ 1 \le i \le k$,
+ de l'étape précédente, le vecteur $\dot{x'} = (x'_{j_1}, \ldots, x'_{j_L})$,
+ est construit où $\{j_1, \ldots, j_L\} = M_i$.
+ Le bit $\hat{m}_i$ est défini selon l'équation~(\ref{eq:stdm:ext})
+ en remplaçant $x'$ par $\dot{x'}$ .
+\end{enumerate}
