les caractéristiques de l'images.
On comprend aisément que dans des régions uniformes ou sur des bords clairement définis,
une modification même mineure de l'image est facilement détectable.
-Au contraire dans les textures, le bruit ou les régions chaotiques
+Au contraire les textures, le bruit ou les régions chaotiques
sont difficiles à modéliser. Les caractéristiques des images
dont ces zones ont été modifiées sont ainsi similaires à celles
des images initiales.
Pour peu qu'on sache définir une fonction $P$
qui associe à chaque pixel $(x,y)$ sa valeur $P(x,y)$,
les pixels tels que les dérivées secondes de $P$ ont des valeurs élevées
-sont des bon candidats pour contenir un bit du message.
+sont des bons candidats pour contenir un bit du message.
Cependant, une telle fonction $P$ n'est connue que de manière discrète,
\textit{i.e.}, en un nombre fini de points.
Les dérivées premières et secondes ne peuvent donc pas être évaluées mathématiquement.
-Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime ces $P$ sur cet ensemble
+Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime les
+dérivées de $P$ sur cet ensemble
de pixels. Ordonner alors les pixels selon la matrice hessienne
(\textit{i.e.}, la matrice des dérivées secondes) n'est pas trivial puisque celle-ci
contient de nombreuses valeurs pour un seul pixel donné.
On verra dans ce chapitre comment des approximations des dérivées
-premières et secondes pour des images numériques (Section~\ref{sec:gradient}) on peu être
+premières et secondes pour des images numériques (Section~\ref{sec:gradient})
+ont pu être
obtenues.
Deux propositions de dérivées secondes sont ensuite
données et prouvées (Section~\ref{sec:second} et Section~\ref{sec:poly}).
en stéganographie. Cependant cette tâche n'est pas aussi triviale qu'elle n'y
paraît puisque les images naturelles ne sont pas définies à l'aide
de fonction différentiables de $\R^+\times \R^+$
-dans $\R^+$. La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices.
+dans $\R^+$.
+La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices.
\subsection{Approches classiques pour évaluer le gradient dans des images}\label{sub:class:1}
Dans ce contexte, les approches les plus utilisées pour évaluer un gradient
$3\times 3$. Le résultat
$A * K$ est une approximation du gradient horizontal
\textit{i.e.}, $\dfrac{\partial P}{\partial x}$.
-Soit $K\rl$ le résultat de la rotation d'un angle $\pi/2$ sur $K$.
+Soit $K'$ le résultat de la rotation d'un angle $\pi/2$ appliquée à $K$.
La composante verticale du gradient, $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ est obtenue
-de manière similaire en évaluant $A * K\rl$. Lorsqu'on applique ceci sur toute
-la matrice image, on obtient peu ou prou une matrice de même taille pour chacune des
+de manière similaire en évaluant $A * K'$. Lorsqu'on applique ceci sur toute
+la matrice image, on obtient une matrice de même taille pour chacune des
dérivées partielles.
-Les deux éléments de la première ligne (respectivement de la seconde ligne)
+Les deux éléments de la première colonne (respectivement de la seconde)
de la matrice hessienne
sont le résultat du calcul du gradient sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial x}$
(resp. sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial y}$).
\end{table}
-Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de détecter si le le pixel central
-pixel central appartient à une bord ``vertical'', même si celui contient du bruit,
+Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de détecter si le
+pixel central appartient à un bord ``vertical'', même si celui contient du bruit,
en considérant ces voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment
pertinents dans un objectif de détecter les bords. Cependant, leur lien avec
les lignes de niveau n'est pas direct. De plus tous les pixels qui sont dans la
intermédiaires. $\textit{Ki}_{x^2}''$ à un facteur $1/2$ près).
Lorsque $n$ vaut 2, on retrouve $\textit{Kc}_{x^2}''$.
-Les variations verticales du gradient sont aussi obtenus en faisant subir
+Les variations verticales du gradient sont aussi obtenues en faisant subir
à $\textit{Ky}_{x^2}''$ une rotation d'angle $\pi/2$.
Les variations diagonales sont obtenues à l'aide du gradient
$\textit{Ky}_{xy}''$ défini par:
\right)
\end{array}
\end{equation}
-On peut facilement prouver que les dérivées partielles de $L$ selon $x$ est
+On peut facilement prouver que la dérivée partielle de $L$ selon $x$ est
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial x} =
\label{eq:deriv:poly:yx}
\end{eqnarray}
Ces dérivées secondes sont calculées pour chaque pixel central, \textit{i.e.} le pixel dont l'indice est $(0,0)$ dans la fenêtre.
-En considérant cette particularisation, l'équation~(\ref{eq:deriv:poly:x2}) peut
+En considérant cette particularisation, l'équation~(\ref{eq:deriv:poly:x2})
se simplifie en
\begin{equation}
Pour chaque approche, 1,000 images stégos avec
$N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$ et dont les supports appartiennent
à l'ensemble des 10000 images du challenge BOSS.
-LA sécurité de l'approche a été évaluée avec le stéganalyseur
+La sécurité de l'approche a été évaluée avec le stéganalyseur
Ensemble Classifier~\cite{DBLP:journals/tifs/KodovskyFH12}.
Pour un taux d'embarquement $\alpha$ égal soit à $0.1$ ou soit à $0.4$,
l'erreur moyenne de test (exprimée en pourcentage) a été calculée.
