-\JFC{Chapeau chapitre à faire}
-% Cette section énonce quelques notions suffisantes
-% à la compréhension de ce document.
-% Elle commence par formaliser ce que sont les systèmes dynamiques booléens
-% (section \ref{sub:sdd})
-% et montre comment en extraire leur graphe d'itérations (section~\ref{sub:grIter})
-% et d'interactions (section~\ref{sub:sdd:inter}).
-% Elle se termine en définissant une distance sur l'espace
-% $\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$ (section~\ref{sub:metric}).
-
Pour tout $x$ et $y$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble
$\Delta(x, y)$, contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
tels que $x_i \neq y_i$.
-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
+Soit enfin $f : \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
Pour chaque
$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble
\end{xpl}
\subsection{Réseau booléen}
-Soit $n$ un entier naturel représentant le nombre
-d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots).
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel représentant le nombre
+d'éléments étudiés.
Un réseau booléen est
défini à partir d'une fonction booléenne:
\[
défini par une suite
$S = \left(s^t\right)^{t \in \mathds{N}}$ qui est une séquence
d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}.
- Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+ Ce mode est défini pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
\begin{equation}
x^{t+1}_i=
est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
et seulement si $y=f(x)$.
\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
-et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ pour $x \neq$ si
+et seulement s'il existe $i \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+Si $\Delta f(x)$ est vide, on ajoute l'arc $x \rightarrow x$.
+
\item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que
\begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
-Le point $x$ est un point fixe si et seulement si
+La configuration $x$ est un point fixe si et seulement si
$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci
sont les points fixes de $f$.
\begin{theorem}
Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$,
-$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à $f_i(x)$, \textit{i.e},
+$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à $f_i(x)$, \textit{i.e.},
$f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
\end{theorem}
En outre, les interactions peuvent se représenter à l'aide d'un
graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi:
-l'ensemble des sommet %s est
+l'ensemble des sommets est
$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
$s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$.
$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
\begin{itemize}
\item \emph{périodiques} celles
-qui sont constituées par une répétition indéfinie
+qui sont constituées par une répétition infinie
d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$.
En particulier toute séquence périodique est complète.
\item \emph{pseudo-périodiques} celles
-qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences
+qui sont constituées par une succession infinie de séquences
(de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de
-$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient indéfiniment.
+$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient infiniment.
\end{itemize}
-François Robert~\cite{Rob95}
-a énoncé en 1995 le théorème suivant de convergence
+On a le théorème suivant de convergence
dans le mode des itérations unaires.
-\begin{theorem}\label{Th:conv:GIU}
+\begin{theorem}[~\cite{Rob95}]\label{Th:conv:GIU}
Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint
l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.
Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément
s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une
-succession indéfinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$
+succession infinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$
dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
-J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant:
+On a le théorème suivant.
-\begin{theorem}\label{Th:Bahi}
+\begin{theorem}[~\cite{Bah00}]\label{Th:Bahi}
Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée
est pseudo-périodique alors
tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ (et donc de $\textsc{giu}(f)$)
