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-Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos
-dans  les systèmes booléens sont rappelées.

 
 

+Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos  dans  les
+systèmes booléens sont rappelées et plusieurs résultats théoriques sont montrés.

 
 

-
-Soit un espace topologique $(\mathcal{X},\tau)$ et une fonction continue $f :
-\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$.
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-\begin{Def}[Chaos selon Devaney~\cite{Devaney}]
-La fonction $f$  \emph{chaotique} sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
-si elles est régulière et topologiquement transitive.
+\begin{Def}[Chaos (Devaney)]
+Une fonction $k$ continue sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ est \textbf{chaotique}
+si elle est transitive,
+régulière et fortement sensible aux conditions initiales.

 \end{Def}
 
 \end{Def}
 

-
-
-\begin{Def}[Transitivite topologique]
-La fonction  $f$ est dite  \emph{topologiquement transitive} si, 
-pour chaque paire d'ensembles ouverts
-$U,V \subset \mathcal{X}$, 
-il existe  $k>0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq
-\varnothing$.
+\begin{Def}[Transitivité]
+Une fonction $k$ est  \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si  la propriété suivante est établie:
+\[
+\forall X, Y\in \mathcal{X},
+\forall \epsilon > 0,
+\exists  Z \in \mathcal{X},
+\exists  t \in \Nats,
+d(X,Z) < \epsilon  \land k^t(Z) = Y
+\] 

 \end{Def}
 
 \begin{Def}[Point périodique]
 \end{Def}
 
 \begin{Def}[Point périodique]

-  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \emph{périodique}  de période $t$ pour
+  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{périodique}  de période $t$ pour

   une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
   pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
   une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
   pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.

-  Par la  suite, $\emph{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
+  Par la  suite, $\textbf{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de

   $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
 \end{Def}
 
   $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
 \end{Def}
 

-
-

 \begin{Def}[Régularité]
 \begin{Def}[Régularité]

-La fonction $f$ est dite \emph{régulière} 
-sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points périodiques 
- de $f$ is dense in $\mathcal{X}$: 
-pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin 
-de $x$ contient au moins un point périodique 
-(sans que la période soit nécessairement constante).
+Une fonction $k$  est dite \textbf{régulière} dans $(\mathcal{X},d)$ 
+si l'ensemble des points périodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$, 
+c'est-à-dire  si la propriété suivante est établie: 
+\[
+\forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k) 
+ \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon.
+\]

 \end{Def}
 
 \end{Def}
 

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-
-La propriété de chaos est souvent associée à la notion de 
-\og sensibilité aux conditions initiales\fg{}, notion définie elle 
-sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ par:
-
-

 \begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
 \begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]

-Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
-est  \emph{fortement sensible aux conditions initiales} 
+Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},d)$ 
+est  \textbf{fortement sensible aux conditions initiales} 

 s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
 pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
  $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
 $t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
 $d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
 s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
 pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
  $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
 $t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
 $d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.

-
-La constante $\delta$ est appelée \emph{constante de sensibilité} de $f$.

 \end{Def}
 
 \end{Def}
 

+

 John Banks et ses collègues ont cependant
 démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
 de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. 
 John Banks et ses collègues ont cependant
 démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
 de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. 

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+On ne se focalise donc dans la suite que sur ces deux dernières
+propriétés pour caractériser les fonctions booléennes $f$ 
+rendant chaotique la fonction engendrée $G_f$.