retouche preuve gray

[hdrcouchot.git] / annexePreuveMixage.tex

diff --git a/annexePreuveMixage.tex b/annexePreuveMixage.tex
index 12c3223832ddf809b28d9ffa5b949988b48e3982..8132c680f019bab3fc16df7cc88a2f0e14e7ece2 100644 (file)
--- a/annexePreuveMixage.tex
+++ b/annexePreuveMixage.tex
@@ -12,7 +12,7 @@ s'il existe un chemin de longueur   $\alpha$
   élément  $i\in$ \class{p}  et $j  \in$ \class{q}  tel que 
   $i  \le  j$ si et seulement si
   \class{p} $\preceq$ \class{q}.
   élément  $i\in$ \class{p}  et $j  \in$ \class{q}  tel que 
   $i  \le  j$ si et seulement si
   \class{p} $\preceq$ \class{q}.

-  \begin{Proof}
+  \begin{proof}

     
     Tout d'abord,  soit  \class{p_1},   \ldots,  \class{p_l}  des   classes 
     contenant respectivement les éléments $n_1$,\ldots,  $n_l$
     
     Tout d'abord,  soit  \class{p_1},   \ldots,  \class{p_l}  des   classes 
     contenant respectivement les éléments $n_1$,\ldots,  $n_l$


@@ -59,7 +59,7 @@ s'il existe un chemin de longueur   $\alpha$
     \class{p}  $\preceq$ \class{q'}  et pour chaque  $i$, $k$  tels que $i  \in$
     \class{p} et  $k \in$ \class{q'}, $i \le k$
     et le résultat est établi.
     \class{p}  $\preceq$ \class{q'}  et pour chaque  $i$, $k$  tels que $i  \in$
     \class{p} et  $k \in$ \class{q'}, $i \le k$
     et le résultat est établi.

-  \end{Proof}
+  \end{proof}

 \end{lemma}
 
 On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes 
 \end{lemma}
 
 On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes 


@@ -70,7 +70,7 @@ On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes
 %   Processes numbers are already compliant with the order $\preceq$.
 % \end{xpl}
 
 %   Processes numbers are already compliant with the order $\preceq$.
 % \end{xpl}
 

-\begin{Proof}[du théorème~\ref{th:cvg}]
+\begin{proof}[du théorème~\ref{th:cvg}]

 
   Le reste de la preuve est fait par induction sur le numéro de classe. 
   Considérons la première  classe \class{b_1} de $n_1$ éléments 
 
   Le reste de la preuve est fait par induction sur le numéro de classe. 
   Considérons la première  classe \class{b_1} de $n_1$ éléments 


@@ -98,7 +98,7 @@ On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes
   où tous les éléments de  \class{b_j}, $1 \le j
   \le k$, ont  des valeurs constantes.  
   D'après les hypothèses du théorème, cela converge.
   où tous les éléments de  \class{b_j}, $1 \le j
   \le k$, ont  des valeurs constantes.  
   D'après les hypothèses du théorème, cela converge.

-\end{Proof}
+\end{proof}