% respectively an element of some $E_i$ and a matrix of elements in some $E_i$.
% The components may be updated (in a random order) according to a
% strategy $s$, as in the synchronous mode.
-Dans le mode asynchrone, a chaque itération $t$, chaque composant peut
+Dans le mode asynchrone, à chaque itération $t$, chaque composant peut
mettre à jour son état en
-fonction des dernières valeurs qu'il connaît des autre composants.
+fonction des dernières valeurs qu'il connaît des autres composants.
Obtenir ou non les valeurs les plus à jour dépend du temps de calcul et
du temps d'acheminement de celles-ci. On parle de latence, de délai.
-Formalisons le mode les itérations asynchrone.
+Formalisons le mode des itérations asynchrone.
Soit $x^0 =(x_1^0, \ldots, x_n^0)$ une configuration initiale.
-Soit $(D^{t})^{t \in \Nats}$ la suite de matrice de taille $n \times n$
+Soit $(D^{t})^{t \in \Nats}$ la suite de matrices de taille $n \times n$
dont chaque élément $D_{ij}^{t}$ représente la date (inférieure ou égale à $t$)
à laquelle la valeur $x_j$ produite par le composant $j$ devient
disponible au composant $i$.
On considère que le délai entre l'émission par $j$ et la réception par $i$,
-défini par $\delta_{ij}^t = t - D_{ij}^{t}$ est borné par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
+défini par $\delta_{ij}^t = t - D_{ij}^{t}$, est borné par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
Le \emph{mode des itérations généralisées asynchrone}
est défini pour chaque $i
\in \{1,\ldots,n\}$ et chaque $t=0,1,2,...$ par:
x^{t+1}_i= \left\{
\begin{array}{l}
f_i( x_1^{D_{i1}^t},\ldots, x_{n}^{D_{i{n}}^t})
- \textrm{ si } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\
- x^{t}_i \textrm{ sinon }
+ \textrm{ si } i \in s^t \\
+ x^{t}_i \textrm{ sinon.}
\end{array}
\right.
\end{equation}
Sinon les itérations sont dites \emph{divergentes}.
De plus, si $ (x^{(t)})^{t \in \mathbb{N}}$ défini selon l'équation
\Equ{eq:async} satisfait \Equ{eq:conv} pour tous les $x^{(0)}
-\in E$, pour toutes les stratégies pseudo périodiques
+\in E$, pour toutes les stratégies pseudo-périodiques
$s$ et pour toutes les matrices de dates,
$(D^{(t)})^{t \in \Nats}$, alors les itérations de $f$ sont
\emph{universellement convergentes}.
Un extrait du graphe des itérations unaires est donné à
la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libellés des arcs correspondent aux éléments
activés. Les itérations unaires ne convergent pas pour la stratégie
-pseudo périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
+pseudo-périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
le système peut infiniment boucler entre 11 et 3, entre 15 et 7.
Comme les itérations unaires ne convergent pas pour certaines stratégies,
les itérations asynchrones basées sur les même stratégies peuvent ne pas
-converger aussi. Cependant, même si l'on considère que tous les composants
+converger non plus. Cependant, même si l'on considère que tous les composants
sont activés à chaque itération, c'est à dire si $s^t$ est
constamment égal à $2^n-1$, le délai peut introduire de la divergence.
On considère par exemple la matrice $D^t$ dont chaque élément vaut $t$
$$
\noindent sinon.
En démarrant de $x^0=00011$, le système atteint $x^1 = 01011$ et boucle entre
-ces deux configurations. Pour une même stratégies, les itérations
+ces deux configurations. Pour une même stratégie, les itérations
asynchrones divergent alors que les synchrones convergent.
Les sections suivantes de ce chapitre montrent comment résoudre ce problème.
-\subsection{Itérations Mixes}
+\subsection{Itérations mixtes}
Introduit dans~\cite{abcvs05}
-le mode d'\emph{itérations mixes} combine synchronisme et asynchronisme.
+le mode d'\emph{itérations mixtes} combine synchronisme et asynchronisme.
Intuitivement, les n{\oe}uds qui pourraient introduire des cycles dans
les itérations asynchrones sont regroupés.
Les noeuds à l'intérieur de chaque groupe seront itérés de manière
relation d'équivalence sur l'ensemble des éléments.
On introduit quelques notations: par la suite \class{i} représente la classe
d'équivalence de $i$ et $\mathcal{K}$ représente l'ensemble de toutes
-les classe, \textit{i.e.},
-$\mathcal{K}=\{1,\ldots,n\}/\eqNode$. On peut définir les itérations mixes.
+les classes, \textit{i.e.},
+$\mathcal{K}=\{1,\ldots,n\}/\eqNode$. On peut définir les itérations mixtes.
-\begin{Def}[Itérations mixes]
-Les itérations mixes d'un système discret suit l'équation \Equ{eq:async} où
+\begin{Def}[Itérations mixtes]
+Les itérations mixtes d'un système discret suivent l'équation \Equ{eq:async} où
de plus $bin(s^t)[i]=bin(s^t)[j]$ et $D_{ij}^t=D_{ji}^t=t$ si $i \eqNode j$.
\end{Def}
Ainsi $p_1$ et $p_2$ sont distinguables même s'ils appartiennent à la même
classe.
Pour gommer cette distinction, on définit le mode suivant:
-\begin{Def}[Itérations mixes avec delais uniformes]
- Le mode mixe a des \emph{délais uniformes} si pour chaque
+\begin{Def}[Itérations mixtes avec delais uniformes]
+ Le mode mixte a des \emph{délais uniformes} si pour chaque
$t=0,1,\ldots$ et pour chaque paire de classes $(\class{p}, \class{q})$,
il existe une constante $d^t_{pq}$ telle que la propriété suivante est
établie:
\begin{theorem}\label{th:cvg}
Soit une fonction $f$ possédant un unique point fixe $x^*$ et une stratégie
- pseudo périodique $s$.
+ pseudo-périodique $s$.
Si les itérations synchrones convergent vers $x^*$ pour cette stratégie,
- alors les itérations mixes à délai uniforme convergent aussi vers $x^*$
+ alors les itérations mixtes à délai uniforme convergent aussi vers $x^*$
pour cette stratégie.
\end{theorem}
\subsection{Durées de convergence}
Cette section donne des bornes supérieures et inférieures des durées
-globales de convergence pour les modes synchrones, mixes et asynchrones.
+globales de convergence pour les modes synchrones, mixtes et asynchrones.
Pour simplifier le discours, on considère que les itérations
convergent en $I$ étapes dans le mode synchrone et que le graphe
d'interaction ne contient qu'une seule composante connexe.
de bits
nécessaires
pour représenter l'état courant du composant $i$ et est notée $\textit{cs}_i$;
-\item [Temps de calcul] le composant $i$ a besoins de $\textit{cp}_i$ unités de temps
+\item [Temps de calcul] le composant $i$ a besoin de $\textit{cp}_i$ unités de temps
pour faire une mise à jour locale de son état;
\item [Temps de communication] on utilise le modèle classique de communication
$\beta+L\tau$ où $L$ est le nombre de bits transférés.
\begin{xpl}
Intuitivement la convergence se propage selon les dépendances internes au système:
- un n{\oe}uds se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
+ un n{\oe}ud se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
Cette stabilisation progressive est illustrée à la \Fig{fig:evalsync} qui
représente des exécutions synchrones dans le cas d'une initialisation avec la
valeur (00100).
\begin{minipage}{1\textwidth}
\includegraphics[scale=0.4]{eval_mixte}
- \caption{Itérations mixes avec
+ \caption{Itérations mixtes avec
\class{1} $=\{1,2\}$, \class{3} $=\{3\}$,
\class{4} $=\{4,5\}$.}
\label{fig:evalmixte}
% \end{figure}
% \end{xpl}
-\subsection{le mode mixe}
+\subsection{le mode mixte}
\label{sec:evalmixed}
On considère $|\mathcal{K}|$ classes de composants synchronisés.
(comme donné en équation~(\ref{eq:I})).
-Soit $I_k$ le nombre d'itérations suffisants pour que la classe
+Soit $I_k$ le nombre d'itérations suffisant pour que la classe
$\class{k} \in \mathcal{K}$ se stabilise
-sachant toutes ses dépendances ont déjà convergé.
+sachant que toutes ses dépendances ont déjà convergé.
Ainsi $I$ vaut $\sum_{\class{k} \in \mathcal{K}} I_k$.
La borne inférieure pour la durée de convergence des itérations asynchrones est
\begin{equation}
\end{equation}
\begin{xpl}
- Une exécution du mode mixe est donnée à la~\Fig{fig:evalmixte}.
+ Une exécution du mode mixte est donnée à la~\Fig{fig:evalmixte}.
On peut constater que le temps d'exécution peut être
plus petit que pour le
mode synchrone.
\subsection{Le mode unaire asynchrone}
\label{sec:evalasync}
-En terme de durée de convergence, ce mode peut être vu comme un
-cas particulier du mode mixe où toutes les classes sont des singletons.
+En termes de durée de convergence, ce mode peut être vu comme un
+cas particulier du mode mixte où toutes les classes sont des singletons.
La borne minimale peut donc s'exprimer comme:
\begin{equation}
\label{eq:asynclow}
