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index c41efa9f35977fa5216b3cff07e52d3b124b0d1a..7a31f0d8468e34704c691a750b8d1e4214ba58e5 100644 (file)
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+++ b/sdd.tex
@@ -147,7 +147,7 @@ schémas suivants :
   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une séquence
   de sous-ensembles 
   de   $[{\mathsf{N}}]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une séquence
   de sous-ensembles 
   de   $[{\mathsf{N}}]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.

-  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  Ce schéma est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par

   \begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}
   \begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}


@@ -184,7 +184,7 @@ sont les éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:g
 est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
 \item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$
 est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
 \item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$

-est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ pour $x \neq$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 

 et seulement s'il existe $i \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
 Si $\Delta f(x)$ est vide, on ajoute l'arc $x \rightarrow x$.
 
 et seulement s'il existe $i \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
 Si $\Delta f(x)$ est vide, on ajoute l'arc $x \rightarrow x$.
 


@@ -200,17 +200,11 @@ des itérations unaires.
 
 
 
 
 
 

-\begin{xpl}
-On reprend notre exemple illustratif
-détaillé à la page~\pageref{xpl:1} avec sa table
-d'images (\textsc{Table}~\ref{table:xpl:images}).
-La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations 
-associés à $f$.

 
 

-\begin{figure}%[ht]
+\begin{figure}[ht]

   \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
   \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{

-      \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+      \begin{minipage}{0.3\textwidth}

         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{fsig}
         \end{center}
         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{fsig}
         \end{center}


@@ -218,7 +212,7 @@ associés à $f$.
       \label{fig:fsig}
     }
     \subfigure[$\textsc{giu}(f)$]{
       \label{fig:fsig}
     }
     \subfigure[$\textsc{giu}(f)$]{

-      \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+      \begin{minipage}{0.3\textwidth}

         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{faig}
         \end{center}
         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{faig}
         \end{center}


@@ -226,7 +220,7 @@ associés à $f$.
       \label{fig:faig}
     }   
     \subfigure[$\textsc{gig}(f)$]{
       \label{fig:faig}
     }   
     \subfigure[$\textsc{gig}(f)$]{

-      \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+      \begin{minipage}{0.3\textwidth}

         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{fgig}
         \end{center}
         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{fgig}
         \end{center}


@@ -243,6 +237,13 @@ x_1 + x_2 + x_3)$.\label{fig:xpl:graphs}
 On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$ 
  à la \textsc{Figure}~(\ref{fig:fsig}).}
 \end{figure}
 On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$ 
  à la \textsc{Figure}~(\ref{fig:fsig}).}
 \end{figure}

+
+\begin{xpl}
+On reprend notre exemple illustratif
+détaillé à la page~\pageref{xpl:1} avec sa table
+d'images (\textsc{Table}~\ref{table:xpl:images}).
+La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations 
+associés à $f$.

 \end{xpl} 
 
 
 \end{xpl} 
 
 


@@ -275,12 +276,12 @@ On a la proposition suivante:
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 La configuration $x$ est un point fixe si et seulement si 
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 La configuration $x$ est un point fixe si et seulement si 

-$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itérations (synchrone, unaire, généralisé).

 En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.
 Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin 
 depuis $x$ qui atteint un attracteur.
 En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.
 Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin 
 depuis $x$ qui atteint un attracteur.

-Ainsi tout graphe d'itérations contient toujours au moins un attracteur.
+Tout graphe d'itérations contient donc toujours au moins un attracteur.

 \end{theorem}
 
 
 \end{theorem}
 
 


@@ -316,7 +317,7 @@ ${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.
 Celle-ci mémorise uniquement 
 l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de 
  tel élément.
 Celle-ci mémorise uniquement 
 l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de 
  tel élément.

-Elle ne mémorise pas \emph{comment} dépendent les éléments 
+Elle ne mémorise pas \emph{comment}  les éléments dépendent

 les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée 
 \emph{matrice d'incidence}.  
 
 les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée 
 \emph{matrice d'incidence}.  
 


@@ -412,10 +413,11 @@ $x_1$ et  de $x_3$
 Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
 La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète. 
 
 Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
 La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète. 
 

-\begin{figure}%[ht]
+\begin{figure}[ht]

   \begin{center}
      \subfigure[Matrice jacobienne]{
   \begin{center}
      \subfigure[Matrice jacobienne]{

-       \begin{minipage}{0.90\textwidth}
+       \begin{minipage}{0.65\textwidth}
+         \begin{scriptsize}

          \begin{center}
         $
         \left(
          \begin{center}
         $
         \left(


@@ -451,21 +453,12 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt
         \right)
         $
          \end{center}
         \right)
         $
          \end{center}

-       \end{minipage}
+       \end{scriptsize}
+     \end{minipage}

        \label{fig:f:jacobienne}
      } 
        \label{fig:f:jacobienne}
      } 

-    ~ 
-    \subfigure[Graphe d'interaction]{
-      \begin{minipage}{0.45\textwidth}
-      \begin{center}
-        \includegraphics[scale=0.5]{gf}
-      \end{center}
-      \label{fig:f:interaction}
-    \end{minipage}
-    }
-    
-    \subfigure[Matrice d'incidence]{
-      \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+     \subfigure[Matrice d'incidence]{
+       \begin{minipage}{0.25\textwidth}

         \begin{center}
           $
           B(f) =
         \begin{center}
           $
           B(f) =


@@ -481,6 +474,16 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt
         \label{fig:f:incidence}
     \end{minipage}
   }
         \label{fig:f:incidence}
     \end{minipage}
   }

+
+    ~ 
+    \subfigure[Graphe d'interaction]{
+      \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+      \begin{center}
+        \includegraphics[scale=0.5]{gf}
+      \end{center}
+      \label{fig:f:interaction}
+    \end{minipage}
+    }

 \end{center}  
 \caption{Représentations des dépendances entre les éléments 
 de la fonction 
 \end{center}  
 \caption{Représentations des dépendances entre les éléments 
 de la fonction