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[hdrcouchot.git] / annexePreuveMixage.tex

diff --git a/annexePreuveMixage.tex b/annexePreuveMixage.tex
index d4087d42d45e028686c795b2cf5b056815b0d194..71c1c8ecde9ab06b1b6abc4bf453d551557275e1 100644 (file)
--- a/annexePreuveMixage.tex
+++ b/annexePreuveMixage.tex
@@ -3,35 +3,33 @@ $\preceq$  entre les  classes d'équivalences.
 Formellement, \class{p}
 $\preceq$   \class{q}   
 s'il existe un chemin de longueur   $\alpha$
 Formellement, \class{p}
 $\preceq$   \class{q}   
 s'il existe un chemin de longueur   $\alpha$

-($0<\alpha<|\mathcal{K}|$)  entre un élément le la classe
+($0\le\alpha<|\mathcal{K}|$)  entre un élément le la classe

 \class{p} vers un élément  de
 \class{p} vers un élément  de

-\class{q}.  
-On remarque que si la  \class{p}$\preceq$\class{q}, 
-il n'est alors pas possible que  \class{q}$\preceq$\class{p}.
+\class{q}. 

 
 \begin{lemma}
 
 \begin{lemma}

-  Il existe un processus de renommage qui effecte un nouvel identifiant aux
-  élément  $i\in$ \class{p}  et $j  \in$ \class{q}  tel que 
+  Il existe un processus de renommage qui affecte un nouvel identifiant aux
+  éléments  $i\in$ \class{p}  et $j  \in$ \class{q}  tel que 

   $i  \le  j$ si et seulement si
   \class{p} $\preceq$ \class{q}.
   $i  \le  j$ si et seulement si
   \class{p} $\preceq$ \class{q}.

-  \begin{Proof}
+  \begin{proof}

     
     

-    Tout d'abord,  soit  \class{p_1},   \ldots,  \class{p_l}  des   classes 
-    contenant respectivement $n_1$,\ldots,  $n_l$  éléments respectively
+    Tout d'abord,  soient  \class{p_1},   \ldots,  \class{p_l}  des   classes 
+    contenant respectivement les éléments $n_1$,\ldots,  $n_l$

     qui ne dépendent d'aucune autre classe.  
     Les éléments de  \class{p_1} sont renommés par $1$, \ldots,  $n_1$,
     qui ne dépendent d'aucune autre classe.  
     Les éléments de  \class{p_1} sont renommés par $1$, \ldots,  $n_1$,

-    les elements  de \class{p_i},   $2  \le   i  \le   l$  sont renommés par 
+    les éléments  de \class{p_i},   $2  \le   i  \le   l$  sont renommés par 

     $1+
     \Sigma_{k=1}^{i-1}  n_k$, \ldots, $\Sigma_{k=1}^{i}  n_k$. 
     On considère maintenant les classes \class{p_1},  \ldots, \class{p_{l'}} 
     dont les éléments ont été renommés et soit 
     $1+
     \Sigma_{k=1}^{i-1}  n_k$, \ldots, $\Sigma_{k=1}^{i}  n_k$. 
     On considère maintenant les classes \class{p_1},  \ldots, \class{p_{l'}} 
     dont les éléments ont été renommés et soit 

-    $m$ le plus grand indice des elements de \class{p_1}, \ldots,
+    $m$ le plus grand indice des éléments de \class{p_1}, \ldots,

     \class{p_{l'}}.
     Soit une autre classe \class{p} qui dépend exclusivement d'une classe 
     \class{p_{l'}}.
     Soit une autre classe \class{p} qui dépend exclusivement d'une classe 

-    \class{p_i}, $1 \le i \le l'$ et qui contient $k$ elements. 
+    \class{p_i}, $1 \le i \le l'$ et qui contient $k$ éléments. 

     Les éléments de \class{p} sont renommés par  $m+1$, \ldots, $m+k$.
     Ce processus a été appliqué sur  $l'+1$ classes. Il se termine 
     Les éléments de \class{p} sont renommés par  $m+1$, \ldots, $m+k$.
     Ce processus a été appliqué sur  $l'+1$ classes. Il se termine 

-    puisqu'il diminue le nombre d'elements auquel il reste 
+    puisqu'il diminue le nombre d'éléments auquel il reste 

     à affecter un numéro. 
 
     Il reste à montrer que cette méthode de renommage vérifie la propriété 
     à affecter un numéro. 
 
     Il reste à montrer que cette méthode de renommage vérifie la propriété 


@@ -43,7 +41,7 @@ il n'est alors pas possible que  \class{q}$\preceq$\class{p}.
     dépend immédiatement de 
     \class{p},  \textit{i.e.} 
     le chemin le plus long entre les éléments de   \class{p} et les 
     dépend immédiatement de 
     \class{p},  \textit{i.e.} 
     le chemin le plus long entre les éléments de   \class{p} et les 

-    elements de \class{q} est de longueur 1.  
+    éléments de \class{q} est de longueur 1.  

     En raison de la méthode renommage, chaque numéro d'élément
     \class{q}  est plus grand que tous ceux de  \class{p} et la preuve est 
     établie.
     En raison de la méthode renommage, chaque numéro d'élément
     \class{q}  est plus grand que tous ceux de  \class{p} et la preuve est 
     établie.


@@ -61,7 +59,7 @@ il n'est alors pas possible que  \class{q}$\preceq$\class{p}.
     \class{p}  $\preceq$ \class{q'}  et pour chaque  $i$, $k$  tels que $i  \in$
     \class{p} et  $k \in$ \class{q'}, $i \le k$
     et le résultat est établi.
     \class{p}  $\preceq$ \class{q'}  et pour chaque  $i$, $k$  tels que $i  \in$
     \class{p} et  $k \in$ \class{q'}, $i \le k$
     et le résultat est établi.

-  \end{Proof}
+  \end{proof}

 \end{lemma}
 
 On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes 
 \end{lemma}
 
 On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes 


@@ -72,7 +70,7 @@ On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes
 %   Processes numbers are already compliant with the order $\preceq$.
 % \end{xpl}
 
 %   Processes numbers are already compliant with the order $\preceq$.
 % \end{xpl}
 

-\begin{Proof}[of Theorem~\ref{th:cvg}]
+\begin{proof}[du théorème~\ref{th:cvg}]

 
   Le reste de la preuve est fait par induction sur le numéro de classe. 
   Considérons la première  classe \class{b_1} de $n_1$ éléments 
 
   Le reste de la preuve est fait par induction sur le numéro de classe. 
   Considérons la première  classe \class{b_1} de $n_1$ éléments 


@@ -83,24 +81,24 @@ On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes
   fini d'itérations. %pseudo periods. % [[JFC : borner m1/n1]].
   Ainsi toutes les  \emph{classes sources} 
   (indépendantes de toutes les  autres classes) vont aussi converger 
   fini d'itérations. %pseudo periods. % [[JFC : borner m1/n1]].
   Ainsi toutes les  \emph{classes sources} 
   (indépendantes de toutes les  autres classes) vont aussi converger 

-  dans le mode mixe. 
-  On peut ainsi  supposer que le  mode d'itération mixe avec délais 
+  dans le mode mixte. 
+  On peut ainsi  supposer que le  mode d'itération mixte avec délais 

   uniformes fait converger les classes \class{b_1},  \ldots, \class{b_k}
   en  un temps $t_k$.
   Par construction, la classe \class{b_{k+1}}  dépend uniquement 
   de certaines classes de  \class{b_1}, \ldots,
   \class{b_k} et éventuellement d'elle-même.
   uniformes fait converger les classes \class{b_1},  \ldots, \class{b_k}
   en  un temps $t_k$.
   Par construction, la classe \class{b_{k+1}}  dépend uniquement 
   de certaines classes de  \class{b_1}, \ldots,
   \class{b_k} et éventuellement d'elle-même.

-  Il existe un nombre d'iteration suffisamment grand 
-  $t_0$  tel que  $D^{t_0}_{p_{k+1}p_j}$  est suppérieur ou égal à   $t_k$ 
+  Il existe un nombre d'itérations suffisamment grand 
+  $t_0$  tel que  $D^{t_0}_{p_{k+1}p_j}$  est supérieur ou égal à   $t_k$ 

   pour chaque 
   $p_{k+1} \in$ \class{b_{k+1}} et $p_j \in$ \class{b_j}, $1 \le j \le k$.
 
   pour chaque 
   $p_{k+1} \in$ \class{b_{k+1}} et $p_j \in$ \class{b_j}, $1 \le j \le k$.
 

-  Il nous reste donc des itérations synchronous entre les 
-  elements  of \class{b_{k+1}} en démarant dans des configurations
+  Il ne reste donc que des itérations synchrones entre les 
+  éléments  de \class{b_{k+1}} en démarrant dans des configurations

   où tous les éléments de  \class{b_j}, $1 \le j
   où tous les éléments de  \class{b_j}, $1 \le j

-  \le k$, on des valeurs constantes.  
+  \le k$, ont  des valeurs constantes.  

   D'après les hypothèses du théorème, cela converge.
   D'après les hypothèses du théorème, cela converge.

-\end{Proof}
+\end{proof}