sdcs

[hdrcouchot.git] / sdd.tex

diff --git a/sdd.tex b/sdd.tex
index eb51e976503cd687809ef51356dfc8b4ad9adb62..c41efa9f35977fa5216b3cff07e52d3b124b0d1a 100644 (file)
--- a/sdd.tex
+++ b/sdd.tex
@@ -1,17 +1,7 @@
 
 

-\JFC{Chapeau chapitre à faire}

 
 
 
 
 
 

-% Cette section énonce quelques notions suffisantes 
-% à la compréhension de ce document.
-% Elle commence par formaliser ce que sont les systèmes dynamiques booléens 
-% (section \ref{sub:sdd}) 
-% et montre comment en extraire leur graphe d'itérations (section~\ref{sub:grIter})
-% et d'interactions (section~\ref{sub:sdd:inter}). 
-% Elle se termine en définissant une distance sur l'espace 
-% $\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$ (section~\ref{sub:metric}).
-

 
 
 
 
 
 


@@ -40,7 +30,7 @@ et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$
 Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
 $\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
 tels que $x_i \neq y_i$.
 Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
 $\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
 tels que $x_i \neq y_i$.

-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
+Soit enfin $f : \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant

 est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
 Pour chaque 
 $x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
 est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
 Pour chaque 
 $x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 


@@ -105,8 +95,8 @@ Pour $x=(0,1,0)$ les assertions suivantes se déduisent directement du tableau:
 \end{xpl}
 
 \subsection{Réseau booléen}
 \end{xpl}
 
 \subsection{Réseau booléen}

-Soit $n$ un entier naturel représentant le nombre 
-d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots).
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel représentant le nombre 
+d'éléments étudiés.

 Un réseau booléen  est 
 défini à partir d'une fonction booléenne:
 \[
 Un réseau booléen  est 
 défini à partir d'une fonction booléenne:
 \[


@@ -128,7 +118,7 @@ schémas suivants :
   défini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une séquence
   d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
   défini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une séquence
   d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 

-  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  Ce mode est défini pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par

   
 \begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   
 \begin{equation}
   x^{t+1}_i=


@@ -194,8 +184,10 @@ sont les éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:g
 est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
 \item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$
 est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
 \item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$

-est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
-et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ pour $x \neq$ si 
+et seulement s'il existe $i \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+Si $\Delta f(x)$ est vide, on ajoute l'arc $x \rightarrow x$.
+

 \item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
 est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
 \item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
 est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 


@@ -215,7 +207,7 @@ d'images (\textsc{Table}~\ref{table:xpl:images}).
 La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations 
 associés à $f$.
 
 La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations 
 associés à $f$.
 

-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]

   \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
       \begin{minipage}{0.33\textwidth}
   \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
       \begin{minipage}{0.33\textwidth}


@@ -282,7 +274,7 @@ On a la proposition suivante:
 
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}

-Le point $x$ est un point fixe si et seulement si 
+La configuration $x$ est un point fixe si et seulement si 

 $\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
 En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.
 $\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
 En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.


@@ -330,7 +322,7 @@ les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée
 
 \begin{theorem}
 Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, 
 
 \begin{theorem}
 Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, 

-$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e}, 
+$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e.}, 

 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
 
 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
 


@@ -339,7 +331,7 @@ $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 
 En outre, les interactions peuvent se  représenter à l'aide d'un 
 graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi: 
 
 En outre, les interactions peuvent se  représenter à l'aide d'un 
 graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi: 

-l'ensemble des sommet %s est 
+l'ensemble des sommets est 

 $[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
  $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
 un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. 
 $[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
  $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
 un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. 


@@ -420,7 +412,7 @@ $x_1$ et  de $x_3$
 Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
 La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète. 
 
 Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
 La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète. 
 

-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]

   \begin{center}
      \subfigure[Matrice jacobienne]{
        \begin{minipage}{0.90\textwidth}
   \begin{center}
      \subfigure[Matrice jacobienne]{
        \begin{minipage}{0.90\textwidth}


@@ -535,22 +527,21 @@ Parmi toutes les stratégies unaires de
 $[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
 \begin{itemize}
 \item \emph{périodiques} celles 
 $[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
 \begin{itemize}
 \item \emph{périodiques} celles 

-qui sont constituées par une répétition indéfinie 
+qui sont constituées par une répétition infinie 

 d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$.
 En particulier toute séquence périodique est complète.
 \item \emph{pseudo-périodiques} celles 
 d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$.
 En particulier toute séquence périodique est complète.
 \item \emph{pseudo-périodiques} celles 

-qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences 
+qui sont constituées par une succession infinie de séquences 

 (de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
 Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de
 (de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
 Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de

-$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient indéfiniment.
+$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient infiniment.

 \end{itemize}
 
 
 \end{itemize}
 
 

-François Robert~\cite{Rob95}
-a énoncé en 1995 le théorème suivant de convergence 
+On a le théorème suivant de convergence 

 dans le mode des itérations unaires.
 
 dans le mode des itérations unaires.
 

-\begin{theorem}\label{Th:conv:GIU}
+\begin{theorem}[~\cite{Rob95}]\label{Th:conv:GIU}

 Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
 pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint 
 l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.
 Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
 pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint 
 l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.


@@ -559,11 +550,11 @@ l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.
 Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément 
 s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
 Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une 
 Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément 
 s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
 Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une 

-succession indéfinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ 
+succession infinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ 

 dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
 dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.

-J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant:
+On a le théorème suivant.

 
 

-\begin{theorem}\label{Th:Bahi}
+\begin{theorem}[~\cite{Bah00}]\label{Th:Bahi}

 Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée
 est pseudo-périodique alors
 tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ (et donc de $\textsc{giu}(f)$) 
 Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée
 est pseudo-périodique alors
 tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ (et donc de $\textsc{giu}(f)$)