le mot $x^b$ devrait \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$
comme un générateur aléatoire.
-Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de
-fournir des nombres selon une distribution uniforme
-La suite de ce document donnera
-une condition nécessaire est suffisante pour que
-cette propriété soit satisfaite.
-
-
-Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-avant
-à la génération de nombres pseudo aléatoires.
-On présente tout d'abord le générateur
-basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}),
-puis comment intégrer la contrainte de distributionuniforme
-de la sortie
-dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}).
-L'approche est évaluée dans la dernière section.
-\JFC{plan à revoir}
+
+Ce chapitre présente donc une application directe
+de la théorie développée ci-avant
+à la génération de nombres pseudo-aléatoires.
+La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} présente un état de l'art (incomplet) de l'exploitation de
+fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs.
+La section~\ref{sub:prng:algo}
+présente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de
+distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
+La chaoticité du générateur est étudiée en
+section~\ref{prng:unaire:chaos}.
+La section~\ref{sub:prng:algo} a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
+
+\section{Quelques PRNGs basés sur des fonctions aux itérations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres}
+
+Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des générateurs non linéaires définis par
+$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, où $f$ est une fonction au comportement chaotique.
+Les raisons qui expliquent l'intérêt de telles fonctions sont naturellement la sensibilité aux conditions initiales,
+leur imprévisibilité\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exécutent a une précision finie,
+les générateurs qui les embarquent peuvent avoir des périodes arbitrairement courtes,
+ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots
+D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}.
+Réduire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportés ci dessous.
+
+
+Parmi les suites simples classiquement embarquées dans les CPRNGs, on trouve principalement
+la suite logistique et
+la suite de Hénon. La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$
+avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
+La suite de Hénon~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui même, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$,
+est définie par
+$x_{t+1} = (1-a x_t^2)+y_t$ et $y_{t+1}= bx_{t+1}$, où $a$ et $b$ sont les paramètres canoniques.
+Pour $a=1,4$, $b=0,3$, $A=[-1,5;1,5]$ et $B=-[0,4;0,4]$ le comportement de cette suite est chaotique.
+
+La suite logistique est utilisée dans l'article~\cite{dabal2011chaos} dans lequel
+les auteurs utilisent une représentation des réels à virgule fixe.
+Les auteurs de~\cite{dabal2012fpga} comparent leur implantation de la suite logistique avec celle
+de la suite de Hénon.
+Les auteurs de~\cite{6868789} ont exploité la réécriture de la suite logistique sous la forme
+$x_{t+1} = (r \times x_t)-(r \times x_t^2)$ et la possibilité de paralléliser ceci
+pour accroître la fréquence du PRNG.
+Les auteurs de~\cite{liu2008improved} proposent de coupler deux suites logistiques,
+chacune étant paramétrée différemment ($x_0$, $r_1$ et $y_0$, $r_2$ respectivement). L'idée principale
+est de modifier iterrativement le paramètre $r_2$ à l'aide des itérés de $x_t$.
+Quant aux auteurs de~\cite{merahcoupling13}, ils couplent la suite logistique et celle de Hénon.
+La première suite sert à sélectionner les éléments parmi ceux générés par la seconde.
+Les auteurs de~\cite{mao2006design}, combinent spatialement $L$ suites logistiques
+et construisent ainsi $x_t(0)$, \dots, $x_t(L-1)$ selon l'équation suivante:
+\begin{equation}
+x_{t+1}(i) =
+(1- \varepsilon) f(x_t(i)) +
+\frac{\varepsilon}{2}
+(f(x_t(i-1)) + f(x_t(i+1))),
+\label{eq:cml}
+\end{equation}
+\noindent où
+$i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
+$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
+la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondération $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
+Certaines équations différentielles ont été à la base de PRNGs chaotiques.
+On pense aux équations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, à celles de Rössler~\cite{Rossler1976397}\ldots
+Celles-ci ont par exemple embarquées dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
+et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
+
-\section{ Nombres pseudo aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
+\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
\begin{algorithm}[h]
%\begin{scriptsize}
\KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$,
-une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
-\KwOut{une configuration $x$ ($n$ bits)}
+une configuration initiale $x^0$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
$x\leftarrow x^0$\;
-$k\leftarrow b $\;
%$k\leftarrow b + \textit{XORshift}(b+1)$\;
-\For{$i=1,\dots,k$}
+\For{$i=1,\dots,b$}
{
-$s\leftarrow{\textit{Random}(n)}$\;
+$s\leftarrow{\textit{Random}({\mathsf{N}})}$\;
%$s\leftarrow{\textit{XORshift}(n)}$\;
-$x\leftarrow{F_{f_u}(s,x)}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_u}(x,s)}$\;
}
return $x$\;
%\end{scriptsize}
-\caption{Algorithme de génération de nombres pseudo aléatoires
-à l'aide de la fonction chaotique $G_f$}
+\caption{PRNG basé sur les itérations unaires.}
\label{CI Algorithm}
\end{algorithm}
\subsection{Algorithme d'un générateur}
-On peut penser à construire un générateur de nombres pseudo
-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
+On peut penser à construire un générateur de nombres
+pseudo-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;
-un entier $b$, qui assure que le nombre d'itérations
-est compris entre $b+1 $ et $2b+1$ (et donc supérieur à $b$)
+un entier $b$, qui est le nombre d'itérations à effectuer entre deux sorties
et une configuration initiale $x^0$.
Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant
-la fonction $F_{f_u}$ vue au chapitre~\ref{chap:carachaos} et correspondant
+la fonction $F_{f_u}$ (équation~\ref{eq:iterations:unaires}
+vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant
à des itérations unaires.
En interne, il exploite un algorithme de génération
-de nombres pseudo aléatoires
-\textit{Random}$(l)$.
-Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur
-de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
-Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$
-selon une distributionuniforme et utilise
-\textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
-nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia.
-
-
-L'algorithme \textit{XORshift}
-exploite itérativement l'opérateur $\oplus$
-sur des nombres obtenus grâce à des decalages de bits.
-Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$,
-applique la fonction \og xor \fg{}
-aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
-Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné
-ci-dessous.
-
-\begin{algorithm}[h]
-%\SetLine
-\KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
-\KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
-$z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
-$y\leftarrow{z}$\;
-return $y$\;
-\medskip
-\caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
-\label{XORshift}
-\end{algorithm}
+de nombres pseudo-aléatoires donné en paramètre.
+Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la
+sortie est uniformément distribuée.
+Notre approche vise a donner des propriétés de chaos à ce générateur embarqué.
+
+
+% \textit{Random}$(l)$.
+% Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur
+% de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
+% Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$
+% selon une distribution uniforme et utilise
+% \textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
+% nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia.
+
+
+% L'algorithme \textit{XORshift}
+% exploite itérativement l'opérateur $\oplus$
+% sur des nombres obtenus grâce à des décalages de bits.
+% Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$,
+% applique la fonction \og xor \fg{}
+% aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
+% Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné
+% ci-dessous.
+
+% \begin{algorithm}[h]
+% %\SetLine
+% \KwIn{la configuration interne $z$ (un mot de 32-bit)}
+% \KwOut{$y$ (un mot de 32-bits)}
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll13)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\gg17)}}$\;
+% $z\leftarrow{z\oplus{(z\ll5)}}$\;
+% $y\leftarrow{z}$\;
+% return $y$\;
+% \medskip
+% \caption{Une boucle de l'algorithme de \textit{XORshift}}
+% \label{XORshift}
+% \end{algorithm}
Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que
$G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$
-si et seulement le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$
-doit être fortement connexe.
+si et seulement si le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$
+est fortement connexe.
Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
-Regardons comment l'uniformité de la distribution a
-contraint la fonction.
+
+Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombres pseudo-aléatoires
+se doit de fournir des nombres selon une distribution uniforme.
+Regardons comment l'uniformité de la distribution
+contraint la fonction $f$ à itérer.
\subsection{Un générateur à sortie uniformément distribuée}\label{sub:prng:unif}
si la propriété suivante est établie:
$$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
-On énonce enfin le théorème suivant liant les
-vecteur de probabilite
-et les chaines de Markov.
+On énonce le théorème classique suivant liant les
+vecteurs de probabilités
+et les chaînes de Markov.
Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$
possède un unique vecteur stationnaire de probabilités $\pi$
($\pi.M = \pi$).
- De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite}
+ De plus, si $\pi^0$ est un {vecteur de probabilités}
et si on définit
la suite $(\pi^{k})^{k \in \Nats}$ par
$\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$
- alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$
+ alors la {chaîne de Markov} $\pi^k$
converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
\end{theorem}
Montrons sur un exemple jouet à deux éléments
que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de
-nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non.
-Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions de $\Bool^2$
+nombres pseudo-aléatoires est uniformément distribuée ou non.
+Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions de $\Bool^2$
définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
vérifient les hypothèses du théorème~\ref{th:Adrien}.
Leurs graphes d'itérations
-sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures
-\ref{fig:g:iter} et \ref{fig:h:iter}.
+sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter}
+et~\ref{fig:h:iter}.
\textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées
-dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et
+dans un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et
que cela l'est pour $h$.
\end{minipage}
\label{fig:h:iter}
} \end{center}
- \caption{Graphes d'itérations de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
+ \caption{Graphes des itérations unaires
+ de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
\label{fig:xplgraphIter}
\end{figure}
d'un tel processus
est $M_g = \frac{1}{2} \check{M}_g$,
où $\check{M}_g$ est la matrice d' adjacence donnée en
-figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$.
+figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et de manière similaire pour $M_h$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a
$\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et
$\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$.
-Ainsi la chaîne de Markov associé à $h$ tend vers une
+Ainsi la chaîne de Markov associée à $h$ tend vers une
distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$.
On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans
-un générateur de nombres pseudo aléatoires.
+un générateur de nombres pseudo-aléatoires.
Au contraire,
$h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm},
pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives
le vecteur d’état de la chaîne de Markov
ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
-On énnonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}.
-\begin{theorem}
+\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son
graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
- et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$ définie comme dans le lemme précédent.
+ et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$
+ définie par
+ $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors
- la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par
+ la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par
l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui
tend vers la distribution uniforme si
et seulement si $M$ est une matrice doublement stochastique.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
\subsection{Quelques exemples}
-On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G} à la section~\ref{sec:11FCT}.
-On a vu qu'il y avait 520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$,
-dont seulement 16 d'entre elles possédent une matrice doublement stochastique.
+On considère le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné
+en figure~\ref{fig:G}. C'est le même qui a été présenté
+à la section~\ref{sec:11FCT}.
+On a vu qu'il y avait 520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$.
+Seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique.
La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en
définissant les images des éléments de la liste
0, 1, 2,\ldots, 14, 15 en respectant l'ordre.
colonne utilisé comme le paramètre $b$
dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$.
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$.
Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$,
du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité
d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov
-- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
est inférieure
à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
- $b$. Ainsi, on a
-$$
+ $b$.
+Ainsi, on a
+\begin{equation}
b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket}
-\{
-\min \{
+\left\{
+\min \left\{
t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
-\}
-\}.
-$$
+\right\}
+\right\}.
+\label{eq:mt:ex}
+\end{equation}
+
+\noindent Par la suite, ce nombre sera appelé \emph{temps de mélange}.
+
+
\begin{figure}%[h]
\begin{center}
La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite
de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres
-pseudo aléatoires par le
+pseudo-aléatoires par le
\emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
passent avec succès cette batterie de tests.
Pour conclure cette section, on remarque que le générateur de nombres pseudo-aléatoires
-a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorqu'il y a une sortie pour chaque itération.
-Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformémement distribuée:
+a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorsqu'il y a une sortie pour chaque itération.
+Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformément distribuée:
se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé
d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire
d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près.
-Montrer les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées demeurent chaotiques
+Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées demeurent chaotiques
est l'objectif de la section suivante.
-\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }
+\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos}
Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires
-pésenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente
+présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente
est chaotique sur cet espace.
\subsection{Un espace $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ pour le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}}
On ordonne les $\mathsf{p}$ éléments de $\mathcal{P}$ comme suit:
$\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$
et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$.
+
Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm},
$\mathsf{p}$ vaut 1 et $p_1=b$.
-
-
-Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la function $F_{f_u}$.
+Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
-$F_{{f_u},p_i} : \mathds{B}^\mathsf{N} \times \llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{p_i}
+$F_{{f_u},p_i} : \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
\rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
$$
$$
-on construit l'espace
+On construit l'espace
$\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}= \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
$\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
-\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{\Nats}\times
+[\mathsf{N}]^{\Nats}\times
\mathcal{P}^{\Nats}$.
Chaque élément de l'espace est une paire où le premier élément est
un $\mathsf{N}$-uplet de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$).
-Le second élément est aussi une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
+Le second élément est une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
-Définissons la fonction de décallage $\Sigma$ pour chaque élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+Définissons la fonction de décalage $\Sigma$ pour chaque élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
$$\begin{array}{cccc}
\Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow
&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\
\end{array}
$$
En d'autres termes, $\Sigma$ reçoit deux suites $u$ et $v$ et
-effectue $v^0$ décallage vers la droite sur la première et un décallage vers la droite
+effectue $v^0$ décalage vers la droite sur la première et un décalage vers la droite
sur la seconde.
$\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $,
où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} =
\mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$.
+\begin{enumerate}
+\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$.
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les
+décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le
+le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue
+la partie entière de $d(X,\check{X})$.
+\item la partie décimale est construite à partir des différences entre
+$v^0$ et $\check{v}^0$, suivie des différences entre les séquences finies
+$u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, suivie par les différences entre $v^1$ et $\check{v}^1$,
+suivie par les différences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et
+$\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
+
+Plus précisément, soit
+$p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et
+$n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$
+ écrits en base 10 et sur $p$ indices;
+\item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent
+ à évaluer de combien $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ diffère de
+ $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$.
+ Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de
+$|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc.
+\begin{enumerate}
+\item Si
+$v^0=\check{v}^0$,
+alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la
+partie décimale de $d(X,\check{X})$ est complétée par des 0
+jusqu'à atteindre
+$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
+\item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$ blocs de $n$
+éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin.
+\item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
+\end{enumerate}
+\item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+
+
+La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:
+$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
+où: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
\begin{itemize}
-\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. The Hamming distance
-on their binary decomposition, that is, the number of dissimilar binary digits, constitutes the integral
-part of $d(X,\check{X})$.
-\item The fractional part is constituted by the differences between $v^0$ and $\check{v}^0$, followed by the differences
-between finite sequences $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ and $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, followed by
- differences between $v^1$ and $\check{v}^1$, followed by the differences
-between $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ and $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
-More precisely, let $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ and $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
-\begin{itemize}
-\item The $p$ first digits of $d(x,\check{x})$ is $|v^0-\check{v}^0|$ written in decimal numeration (and with $p$ digits).
-\item The next $n\times \max{(\mathcal{P})}$ digits aim at measuring how much $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ differs from $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. The $n$ first
-digits are $|u^0-\check{u}^0|$. They are followed by
-$|u^1-\check{u}^1|$ written with $n$ digits, etc.
-\begin{itemize}
-\item If
-$v^0=\check{v}^0$, then the process is continued until $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ and the fractional
-part of $d(X,\check{X})$ is completed by 0's until reaching
-$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ digits.
-\item If $v^0<\check{v}^0$, then the $ \max{(\mathcal{P})}$ blocs of $n$
-digits are $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
-$\check{u}^{v^0}$ (on $n$ digits), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (on $n$ digits), followed by 0's if required.
-\item The case $v^0>\check{v}^0$ is dealt similarly.
-\end{itemize}
-\item The next $p$ digits are $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
-\end{itemize}
+\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ est la distance de Hamming,
+\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline
+$$\begin{array}{rcl}
+ d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
+ \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}}
+ \bigg(|v^k - \check{v}^k| \\
+ & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1}
+ \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
+ \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1}
+ \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
+\end{array}
+$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
\end{itemize}
-
\begin{xpl}
-Consider for instance that $\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ (so $\mathsf{p}=3$), and that
+On considère par exemple
+$\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ ($\mathsf{p}$ vaut ainsi $3$),
+et
$s=\left\{
\begin{array}{l}
u=\underline{6,} ~ \underline{11,5}, ...\\
v=1,2,...
\end{array}
\right.$
-while
+avec
$\check{s}=\left\{
\begin{array}{l}
\check{u}=\underline{6,4} ~ \underline{1}, ...\\
\check{v}=2,1,...
\end{array}
\right.$.
-
-So $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.010004000000000000000000011005 ...$
-Indeed, the $p=2$ first digits are 01, as $|v^0-\check{v}^0|=1$,
-and we use $p$ digits to code this difference ($\mathcal{P}$ being $\{1,2,11\}$, this difference can be equal to 10). We then take the $v^0=1$ first terms of $u$, each term being coded in $n=2$ digits, that is, 06. As we can iterate
-at most $\max{(\mathcal{P})}$ times, we must complete this
-value by some 0's in such a way that the obtained result
-has $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ digits, that is:
-0600000000000000000000. Similarly, the $\check{v}^0=2$ first
-terms in $\check{u}$ are represented by 0604000000000000000000, and the absolute value of their
-difference is equal to 0004000000000000000000. These digits are concatenated to 01, and
-we start again with the remainder of the sequences.
+Ainsi
+\[
+d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) =
+0.01~0004000000000000000000~01~1005 \dots\]
+En effet, les $p=2$ premiers éléments sont 01, c'est-à-dire
+$|v^0-\check{v}^0|=1$,
+et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence
+(Comme $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$, cette différence peut valoir 10).
+On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
+chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
+Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois,
+on complète cette valeur par des 0 de sorte que
+la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+0600000000000000000000.
+De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
+termes de $\check{u}$ sont représentés par
+0604000000000000000000.
+La valeur absolue de leur différence est égale à
+0004000000000000000000.
+Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de
+la séquence.
\end{xpl}
-\begin{xpl}
-Consider now that $\mathsf{N}=9$, and $\mathcal{P}=\{2,7\}$, and that
+% \begin{xpl}
+% On considère à présent que $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
+% $$s=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
+% v=2,2,...
+% \end{array}
+% \right.$$
+% avec
+% $$\check{s}=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% \check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
+% \check{v}=7,2,...
+% \end{array}
+% \right.
+% $$
-$s=\left\{
-\begin{array}{l}
-u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
-v=2,2,...
-\end{array}
-\right.$
-while
-$\check{s}=\left\{
-\begin{array}{l}
-\check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
-\check{v}=7,2,...
-\end{array}
-\right.$
+% Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$,
+% puisque
+% $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
+% et $|9800000-4200000| = 5600000$.
+% \end{xpl}
-So $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, as $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
-and $|9800000-4200000| = 5600000$.
-\end{xpl}
+On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}.
-$d$ can be more rigorously written as follows:
-$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
-where: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
+
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}
+$d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+\end{restatable}
+
+
+\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$}
+
+A partir de $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on
+définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
\begin{itemize}
-\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ is the Hamming distance,
-\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline
-$$\begin{array}{rcl}
- d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
- \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}}
- \bigg(|v^k - \check{v}^k| \\
- & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1}
- \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
- \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1}
- \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
-\end{array}
-$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
+\item les n{\oe}uds sont les $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
+%\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples
+% having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
+\item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque
+$k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a
+ $u_k$ qui appartient à $[\mathsf{N}]$ et
+$y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
\end{itemize}
+Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
-Let us show that,
-\begin{prpstn}
-$d$ is a distance on $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
-\end{prpstn}
-\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$}
+
+\begin{figure}%[t]
+ \begin{center}
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.30\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.5]{images/h2prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h2prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.5]{images/h3prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h3prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.5]{images/h23prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h23prng}
+ }
+
+ \end{center}
+ \caption{Graphes d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+ %\label{fig:xplgraphIter}
+ \end{figure}
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On reprend l'exemple où $\mathsf{N}=2$ et
+$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détaillé
+à la section~\ref{sub:prng:unif}.
+
+Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
+Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$ et
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}.
+Le premier (respectivement le second)
+illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement
+2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
+Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
+à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat.
+
+\end{xpl}
+
\subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
+Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
+La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur
+ $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si
+le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$
+est fortement connexe.
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant
+
+% \begin{corollary}
+% Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé
+% à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+% n'est pas chaotique
+% sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+% Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+% Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+% n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
+
+
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un
+PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois
+possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.
+
+
+
