Ce chapitre présente donc une application directe
de la théorie développée ci-avant
à la génération de nombres pseudo-aléatoires.
+La section~\ref{sec:PRNG:chaos:autres} présente un état de l'art (incomplet) de l'exploitation de
+fonctions au comportement chaotique pour obtenir des PRNGs.
La section~\ref{sub:prng:algo}
-présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de
+présente ensuite l'algorithme de PRNG. La contrainte de
distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
-La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en
+La chaoticité du générateur est étudiée en
section~\ref{prng:unaire:chaos}.
La section~\ref{sub:prng:algo} a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.
+\section{Quelques PRNGs basés sur des fonctions aux itérations chaotiques}\label{sec:PRNG:chaos:autres}
+
+Les PRNGs chaotiques (CPRNGs) sont des générateurs non linéaires définis par
+$x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{t+1} = f(x_t)$, où $f$ est une fonction au comportement chaotique.
+Les raisons qui expliquent l'intérêt de telles fonctions sont naturellement la sensibilité aux conditions initiales,
+leur imprévisibilité\ldots Cependant, comme l'ordinateur sur lequel elles s'exécutent a une précision finie,
+les générateurs qui les embarquent peuvent avoir des périodes arbitrairement courtes,
+ne pas fournir de sortie selon une distribution uniforme\ldots
+D'un point de vue cryptographique, ces CPRNGs sont critiquables~\cite{wiggins2003introduction}.
+Réduire ces critiques est l'objectif de nombreux travaux de recherche reportés ci dessous.
+
+
+Parmi les suites simples classiquement embarquées dans les CPRNGs, on trouve principalement
+la suite logistique et
+la suite de Hénon. La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$
+avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
+La suite de Hénon~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui même, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$,
+est définie par
+$x_{t+1} = (1-a x_t^2)+y_t$ et $y_{t+1}= bx_{t+1}$, où $a$ et $b$ sont les paramètres canoniques.
+Pour $a=1,4$, $b=0,3$, $A=[-1,5;1,5]$ et $B=-[0,4;0,4]$ le comportement de cette suite est chaotique.
+
+La suite logistique est utilisée dans l'article~\cite{dabal2011chaos} dans lequel
+les auteurs utilisent une représentation des réels à virgule fixe.
+Les auteurs de~\cite{dabal2012fpga} comparent leur implantation de la suite logistique avec celle
+de la suite de Hénon.
+Les auteurs de~\cite{6868789} ont exploité la réécriture de la suite logistique sous la forme
+$x_{t+1} = (r \times x_t)-(r \times x_t^2)$ et la possibilité de paralléliser ceci
+pour accroître la fréquence du PRNG.
+Les auteurs de~\cite{liu2008improved} proposent de coupler deux suites logistiques,
+chacune étant paramétrée différemment ($x_0$, $r_1$ et $y_0$, $r_2$ respectivement). L'idée principale
+est de modifier iterrativement le paramètre $r_2$ à l'aide des itérés de $x_t$.
+Quant aux auteurs de~\cite{merahcoupling13}, ils couplent la suite logistique et celle de Hénon.
+La première suite sert à sélectionner les éléments parmi ceux générés par la seconde.
+Les auteurs de~\cite{mao2006design}, combinent spatialement $L$ suites logistiques
+et construisent ainsi $x_t(0)$, \dots, $x_t(L-1)$ selon l'équation suivante:
+\begin{equation}
+x_{t+1}(i) =
+(1- \varepsilon) f(x_t(i)) +
+\frac{\varepsilon}{2}
+(f(x_t(i-1)) + f(x_t(i+1))),
+\label{eq:cml}
+\end{equation}
+\noindent où
+$i \in \dfrac{\Z}{L\Z}$,
+$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
+la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondération $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
+
+Certaines équations différentielles ont été à la base de PRNGs chaotiques.
+On pense aux équations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, à celles de Rössler~\cite{Rossler1976397}\ldots
+Celles-ci ont par exemple embarquées dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
+et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
+
\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
% \end{proof}
+
+
\section{Conclusion}
Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un
PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire
