ajout d'intro et de conclusion

diff --git a/annexePreuveGrayEquilibre.tex b/annexePreuveGrayEquilibre.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..2d351e7
--- /dev/null
+++ b/annexePreuveGrayEquilibre.tex
@@ -0,0 +1,163 @@
+\theograyequilibre*
+
+
+
+
+\begin{proof}
+La preuve de ce théorème s'effectue par induction sur $\mathsf{N}$.
+On peut vérifier aisément que ce théorème est établi pour les 
+deux plus petites valeurs paires et impaires, \textit{i.e.} pour 
+$\mathsf{N}=3$ et $\mathsf{N}=4$.
+
+Pour le cas initial où $\mathsf{N}=3$, \textit{i.e.} $\mathsf{N-2}=1$ 
+on a:  $S_1=1,1$, $l=2$,  $u_0 = \emptyset$  et $v=\emptyset$.
+Ainsi, l'algorithme produit  
+$U= 1,2,1$, $V = 3$, $W= 2, 1, 1,3$ et  $W' = 1,2,1,3$.
+Finalement, $S_3=1,2,1,3,1,2,1,3$ qui vérifie le théorème.
+
+Pour le cas initial où  $\mathsf{N}=4$, \textit{i.e.} $\mathsf{N-2}=2$ 
+on a:  $S_1=1,2,1,2$, $l=4$, 
+$u_0,u_1,u_2 = \emptyset,\emptyset,\emptyset$ et $v=\emptyset$.
+Ainsi, l'algorithme produit  
+$U= 1,3,2,3,4,1,4,3,2$, $V = 4$, $W= 3, 1, 2, 1,2, 4$ et  $W' = 1, 3, 2, 1,2, 4 $.
+Finalement, $S_4 = 2,3,4,1,4,3,2,3,1,4,1,3,2,1,2,4$  et le code est 
+totalement équilibré.
+
+Pour le cas inductif, on définit tout d'abord quelques variables.
+Soit $c_{\mathsf{N}}$ (resp. $d_{\mathsf{N}}$) le nombre d'éléments dont le nombre 
+de transitions est exactement $a_{\mathsf{N}}$ (resp $a_{\mathsf{N}} +2$).
+Ces deux variables sont caractérisées par le système:
+ 
+\[
+\left\{
+\begin{array}{lcl}
+c_{\mathsf{N}} + d_{\mathsf{N}} & = & \mathsf{N} \\
+c_{\mathsf{N}}a_{\mathsf{N}} + d_{\mathsf{N}}(a_{\mathsf{N}}+2) & = & 2^{\mathsf{N}} 
+\end{array}
+\right.
+\Leftrightarrow 
+\left\{
+\begin{array}{lcl}
+d_{\mathsf{N}} & = & \dfrac{2^{\mathsf{N}} -\mathsf{N}.a_{\mathsf{N}}}{2} \\
+c_{\mathsf{N}} &= &\mathsf{N} -  d_{\mathsf{N}}
+\end{array}
+\right.
+\]
+
+Puisque $a_{\mathsf{N}}$ est pair, $d_{\mathsf{N}}$ est un entier.
+Prouvons d'abord que $c_{\mathsf{N}}$ et  $d_{\mathsf{N}}$ sont des entiers 
+positifs.
+Soit $q_{\mathsf{N}}$ et $r_{\mathsf{N}}$, définis respectivement  
+comme étant le quotient et le reste dans la division euclidienne de 
+$2^{\mathsf{N}}$ par $2\mathsf{N}$, \textit{i.e.} 
+$2^{\mathsf{N}} = q_{\mathsf{N}}.2\mathsf{N} + r_{\mathsf{N}}$, avec $0 \le r_{\mathsf{N}} <2\mathsf{N}$.
+Tout d'abord, l'entier $r$ est pair puisque $r_{\mathsf{N}}$ est un multiple de 2:
+$ r_{\mathsf{N}}= 2^{\mathsf{N}} - q_{\mathsf{N}}.2\mathsf{N}= 2(2^{\mathsf{N}-1} - q_{\mathsf{N}}.\mathsf{N})$. 
+Ensuite,  $a_{\mathsf{N}}$ vaut $\frac{2^{\mathsf{N}}-r_{\mathsf{N}}}{\mathsf{N}}$.
+Ainsi
+$d_{\mathsf{N}}$ vaut $r_{\mathsf{N}}/2$ est est donc un entier positif tel que  
+$0 \le d_{\mathsf{N}} <\mathsf{N}$.
+La preuve pour  $c_{\mathsf{N}}$ est évidente.
+
+
+Pour chaque $i$, $1 \le i \le \mathsf{N}$, soit $zi_{\mathsf{N}}$ (resp. $ti_{\mathsf{N}}$ et  $bi_{\mathsf{N}}$) le nombre d'occurrences de l'élément 
+$i$ dans la séquence $u_0, \dots, u_{l-2}$ 
+(resp. dans les séquences $s_{i_1}, \dots , s_{i_l}$ et $v$)
+à l'étape (\ref{item:nondet}) de l'algorithme.
+
+En raison de la définition de $u'$ à l'étape~(\ref{item:u'}), 
+$3.zi_{\mathsf{N}} + ti_{\mathsf{N}}$ est le nombre
+ d'occurrences de $i$ dans la  séquence $U$.
+Il est évident que le nombre d'occurrences de $i$ dans la séquence $V$ est 
+$2bi_{\mathsf{N}}$ en raison de l'étape (\ref{item:VW}). 
+On a ainsi le système suivant:
+$$
+\left\{
+\begin{array}{lcl}
+3.zi_{\mathsf{N}} + ti_{\mathsf{N}} + 2.bi_{\mathsf{N}} + \textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i) &= &\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i) \\
+zi_{\mathsf{N}} + ti_{\mathsf{N}}  + bi_{\mathsf{N}} & =& \textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i)
+\end{array}
+\right.
+\qquad 
+\Leftrightarrow 
+$$
+
+\begin{equation}
+\left\{
+\begin{array}{lcl}
+zi_{\mathsf{N}} &= & 
+\dfrac{\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i) - 2.\textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i) - bi_{\mathsf{N}}}{2}\\
+ti_{\mathsf{N}} &= & \textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i)-zi_{\mathsf{N}}-bi_{\mathsf{N}}
+\end{array}
+\right.
+\label{eq:sys:zt1}
+\end{equation}
+
+Dans ce système de 2 équations à trois inconnues, on pose $b_i=0$. 
+Puisque $\textit{TC}_{\mathsf{N}}$ est pair (égal à $a_{\mathsf{N}}$ 
+ou à $a_{\mathsf{N}}+2$), l'inconnue  $zi_{\mathsf{N}}$ est donc un entier.
+Prouvons alors que le système résultant admet toujours 
+une solution positive pour $z_i$ et pour $t_i$ telle $0 \le z_i, t_i \le \textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i)$ et telle que leur somme est égale à 
+  $\textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i)$. 
+On remarque que cette contrainte est toujours établie si le système admet une solution. On a donc le système suivant:
+
+
+
+\begin{equation}
+\left\{
+\begin{array}{lcl}
+zi_{\mathsf{N}} &= & 
+\dfrac{\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i) - 2.\textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i) }{2}\\
+ti_{\mathsf{N}} &= & \textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i)-zi_{\mathsf{N}}
+\end{array}
+\right.
+\label{eq:sys:zt2}
+\end{equation}
+
+La définition de $\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i)$ dépend de la valeur de $\mathsf{N}$. Pour $3 \le N \le 7$, on définit celles-ci comme suit:
+
+\begin{eqnarray*}
+\textit{TC}_{3} & = & [2,2,4] \\
+\textit{TC}_{5} & = & [6,6,8,6,6] \\
+\textit{TC}_{7} & = & [18,18,20,18,18,18,18] \\
+\\
+\textit{TC}_{4} & = & [4,4,4,4] \\
+\textit{TC}_{6} & = & [10,10,10,10,12,12] \\
+\end{eqnarray*}
+Il n'est pas difficile de vérifier que dans chacun des cas précédents, 
+le système  admet bien une solution.
+
+Pour  $N  \ge 8$, on définit $\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i)$ comme suit:
+\begin{equation}
+\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i) = \left\{
+\begin{array}{l} 
+a_{\mathsf{N}} \textrm{ si } 1 \le i \le c_{\mathsf{N}} \\
+a_{\mathsf{N}}+2 \textrm{ si } c_{\mathsf{N}} +1 \le i \le c_{\mathsf{N}} + d_{\mathsf{N}} 
+\end{array}
+\right.
+\label{eq:TCN:def}
+\end{equation}
+
+
+On a ainsi
+\[
+\begin{array}{rcl} 
+\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i) - 2.\textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i) 
+&\ge& 
+a_{\mathsf{N}} - 2(a_{\mathsf{N}-2}+2) \\
+&\ge& 
+\frac{2^{\mathsf{N}}-r_{\mathsf{N}}}{\mathsf{N}}
+-2 \left( \frac{2^{\mathsf{N-2}}-r_{\mathsf{N-2}}}{\mathsf{N-2}}+2\right)\\
+&\ge& 
+\frac{2^{\mathsf{N}}-2N}{\mathsf{N}}
+-2 \left( \frac{2^{\mathsf{N-2}}}{\mathsf{N-2}}+2\right)\\
+&\ge& 
+\frac{(\mathsf{N} -2).2^{\mathsf{N}}-2N.2^{\mathsf{N-2}}-6N(N-2)}{\mathsf{N.(N-2)}}\\
+\end{array}
+\]
+
+Une simple étude de variation de la fonction $t:\R \rightarrow \R$ telle que 
+$x \mapsto t(x) = (x -2).2^{x}-2x.2^{x-2}-6x(x-2)$ montre que 
+sa dérivée est strictement  positive pour $x \ge 6$ et que $t(8)=224$.
+L'entier $\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i) - 2.\textit{TC}_{\mathsf{N}-2}(i)$ est ainsi positif pour chaque  $\mathsf{N} \ge 8$, ce qui termine la preuve.
+\end{proof}

diff --git a/conclusion.tex b/conclusion.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..e2eac3e
--- /dev/null
+++ b/conclusion.tex
@@ -0,0 +1,160 @@
+
+\subsection{Synthèses des contributions}
+
+Les principales contributions gravitent autour des mathématiques discrètes et plus particulièrement 
+les itérations de systèmes dynamiques discrets.
+
+Pour chacun des modes et des conditions de synchronisme,
+il existe des critères  (suffisants) de convergence
+globale ou locale.
+
+Nous avons formalisé le mode des 
+\emph{itérations mixtes} (introduit par Pr. J. M.  Bahi en 2005 notamment)
+qui combine synchronisme et asynchronisme (chapitre~\ref{chap:sdd})
+et leur extension  les \emph{itérations mixtes avec délais uniformes}.
+Nous avons pu ainsi énoncer puis démontrer des résultats
+établissant que pour des conditions classiques de convergence des itérations
+synchrones, les itérations mixtes à délai uniforme
+convergent aussi vers le même point fixe.
+
+Nous avons de plus démontré (chapitre~\ref{chap:promela}) qu'on peut simuler 
+des SDDs selon tous les modes avec l'outil SPIN de \emph{Model-Checking} pour établir 
+formellement leur convergence (ou pas).
+Nous avons énoncé puis prouvé ensuite la  correction et la complétude de la démarche.
+Des données pratiques comme la complexité et des synthèses d'expérimentation
+ont aussi été fournies.
+
+Nous nous sommes ensuite intéressés à l'étude du problème dual 
+de l'étude de divergence d'un SDD. 
+Nous avons proposé plusieurs méthodes de construction de 
+fonctions permettant d'obtenir des itérations chaotiques.
+La première non naïve est basée sur des
+conditions suffisantes sur le graphe d'interaction à $\mathsf{N}$ sommets 
+(chapitre~\ref{chap:carachaos}).
+Une seconde méthode plus efficace permet en plus de disposer d'une chaîne de Markov doublement 
+stochastique  et s'appuie sur les cycles hamiltoniens du graphe des
+itérations. Elle est présentée au chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}.
+Ces méthodes ont permis d'étendre à l'infini la classe des fonctions 
+dont les itérations sont chaotiques.
+
+Nous de plus entrepris d'étudier ces itérations et plus particulièrement leur 
+apprentissage par un réseau de neurones. 
+Nous avons notamment pu contribuer à montrer pratiquement qu'il
+est très difficile (voir impossible) de les prédire 
+à l'aide d'outils d'intelligence artificielle (chapitre~\ref{chp:ANN}).
+
+Avec la production d'une grande collection de fonctions à itérations chaotiques, 
+Nous avons donc proposé de répondre à la question suivante: comment engendrer des fonctions 
+dont les itérations vont produire des nombres simulant correctement l'aléa. 
+En d'autres termes, quelles fonctions peuvent être embarquées dans un PRNG? 
+Nous avons d'abord caractérisé les fonctions dont les itérations produisent des nombres 
+selon une distribution uniforme (chapitre~\ref{chap:PRNG:chao}). Pour cela il a fallu réécrire
+l'algorithme de génération comme une marche aléatoire dans une partie du $\mathsf{N}$-cube,
+de se ramener à une chaîne de Markov puis d'utiliser la théorie élaborée sur ce sujet 
+pour conclure (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).
+
+Parmi les fonctions retenues, celles issues de la suppression 
+d'un cycle hamiltonien dans un $\mathsf{N}$ ont retenu notre attention. 
+Nous nous sommes aussi attaché à montrer l'importance de l'équilibrage du cycle
+hamiltonien à enlever (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).
+Nous avons de plus entrepris dans ce chapitre 
+de trouver un majorant du nombre d'itérations suffisant à
+l'obtention d'une distribution uniforme 
+
+Nous avons renforcé la thématique de marquage de document numérique de l'équipe AND en 
+embarquant ces fonctions dans des outils de watermarking.
+Nous avons participé à la formalisation de la méthode de
+marquage de médias (chapitre~\ref{chap:watermarking}) et particularisé
+ceci à des images numériques fournissant un 
+nouveau contexte pour l'étude théorique et mathématique d'algorithmes de marquage.
+Des instances de ces algorithmes ont été présentées en sélectionnant de manière 
+pertinente les fonctions à itérer  pour garantir une robustesse 
+élevée.
+
+D'autre méthodes de watermarking ont été investies (mais plus dans le domaine discret), 
+particulièrement celles basées sur la Quantization Index Modulation (QIM), méthodes 
+étant supposées comme les plus robustes. Nos principales contributions 
+sur ce travail ont été 
+d'intégrer ceci à du marquage de document PDF puis de 
+présenter ce problème comme un problème d'optimisation (chapitre~\ref{chap:watermarking:pdf}).
+
+Nous avons de plus conçu l'algorithme STABYLO (chapitre~\ref{chap:stabylo})
+qui est un schéma de stéganographie basé sur l'enfouissement de l'information dans les contours 
+présents dans une image. Cet algorithme présente un bon compromis entre sécurité
+fournie et complexité algorithmique.
+Nous avons enfin proposé d'exprimer les fonctions de distorsion classiquement utilisées en stéganographie 
+comme des méthodes de calcul de gradient 
+ou de matrice Hessienne. Grâce à l'étude de ces matrices, nous avons proposé un nouveau schéma de 
+stéganographie sécurisé (chapitre~\ref{chap:th:yousra}).
+
+\subsection{Quelques perspectives}
+
+\subsubsection{Étendons les PRNGs}
+La démarche actuelle de génération de nombres pseudo-aléatoires
+consiste à marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube en choisissant son chemin
+à l'aide d'un générateur fourni en entrée. Or ces générateurs sont tous des 
+fonctions de $\{0,1\}^{\mathsf{N}}$ dans lui-même. Cette approche
+semble pouvoir se réécrire comme un produit synchrone de deux automates.
+L'intérêt d'une telle réécriture est qu'on pourrait exploiter 
+les résultats théoriques et pratiques déjà connus dans la communauté
+des automates. 
+Nous  pensons investiguer cette voie pour améliorer notre approche, 
+s'affranchir, à terme, de tout autre générateur et améliorer la
+connaissance à ce sujet.
+
+De plus, marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube est le modèle théorique que 
+nous avons établi pour notre classe de générateurs. On a vu, via les itérations généralisées 
+qu'on pouvait modifier plusieurs bits 
+en une seule itération. Les premiers travaux pratiques réalisés ont montré 
+que le nombre d'itérations suffisant pour converger vers une distribution uniforme
+est plus petit que celui obtenu en marchant et qu'il diminue à mesure que $\mathsf{N}$ 
+augmente. Pour l'instant, nous n'avons pas réussi à obtenir une majoration du nombre d'itérations 
+pour le temps d'arrêt, ce qui pourrait être une perspective.
+
+\subsubsection{Des codes de Gray localement et globalement équilibrés}
+Enfin, pour générer une fonction dont la matrice de Markov est doublement
+stochastique
+--condition nécessaire pour fournir une sortie uniformément distribuée--, 
+nous avons proposé principalement la méthode de
+suppression de chemin hamiltonien dans un $\mathsf{N}$-cube. 
+Nous avons fait sauter un premier verrou en proposant une méthode déterministe à l'extension
+de Robinson-Cohn. Il est apparu récemment des algorithmes permettant d'obtenir des codes de Gray 
+localement équilibrés, c.-à-d. où la longueur du plus grand nombre d'étapes entre 
+deux changements d'un même bit est aussi petite que possible.
+Dans tous les cas, aucun des ces codes n'est globalement équilibré ni même presque équilibré.
+Cette double propriété serait cependant très intéressante aussi bien théoriquement que pratiquement
+pour nos générateurs.
+Un second verrou consistera à adapter ces algorithmes pour proposer des codes possédant les 
+deux propriétés d'équilibrage.
+ 
+\subsubsection{Stéganalyse par deep learning}
+
+Les démarches de stéganalyse sont souvent composées de 2 étapes: 
+caractérisation puis classification. 
+On extrait au préalable une grande quantité des caractéristiques du média 
+puis on utilise une méthode de 
+classification basée sur celles-ci. La communauté voit souvent cette 
+seconde étape comme une boite noire et se concentre 
+sur la construction de l'ensemble des caractéristiques les plus discriminantes.
+Autant que nous sachions, les méthodes algébriques 
+de réduction de domaine (analyse par composant principaux, SVD) 
+ont rarement été utilisées comme une étape intermédiaire entre la caractérisation et 
+la classification. Ces méthodes ont déjà été 
+appliquées avec succès lorsqu'elles sont combinées avec des méthodes 
+d'apprentissage, par exemple dans de la reconnaissance faciale.
+Je propose d'étudier cette piste dans ce domaine. 
+
+
+De plus les résultats obtenus en stéganalyse à l'aide de deep learning à base de convolutions
+sont très prometteurs  lorsque la clef qui a servi à l'embarquement est constante. 
+Malheureusement, lorsque la clef varie, nous n'avons pas réussi à généraliser ces avancées.
+Les démarches les plus efficaces demeurent 
+celles obtenues par des approches classiques à base de caractéristiques statistiques (features) 
+d'images.
+Cependant, en étudiant plus finement les features, on constate que nombreuses sont celles qui sont aussi
+basées sur des produits de convolution.
+Je propose d'étudier exhaustivement ces features pour d'abord traduire
+en deep-learning celles qui sont des convolutions directes. Il restera ensuite 
+à adapter l'outil de deep learning aux caractéristiques restantes ce qui est un autre challenge 
+scientifique. 
+

diff --git a/intro.tex b/intro.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..90611ec
--- /dev/null
+++ b/intro.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+  
+Introduire mathématiques discrètes
+
+Systèmes dynamiques discrets
+
+convergence vs divergence
+
+chaos <=> aléa
+
+PRNG 
+
+codes de Gray
+
+générateur  c Sécurité informatique: régularité -> marquage
+
+Dérivées partielles discrete pour la sétagno

diff --git a/main.tex b/main.tex
index 86c917eee69064a32dea9f0d1e49d95c926a518d..94edfdba154cfca7e5a7d001c82da89a560c01cf 100644 (file)
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -168,13 +168,13 @@
 
 \chapter*{Introduction}
 
 
 \chapter*{Introduction}
 

-Blabla blabla.
+\input{intro}

 
 \mainmatter
 
 \part{Réseaux discrets}
 
 
 \mainmatter
 
 \part{Réseaux discrets}
 

-\chapter{Iterations discrètes de réseaux booléens}
+\chapter{Iterations discrètes de réseaux booléens}\label{chap:sdd}

 
 Ce chapitre formalise tout d'abord ce qu'est 
 un réseau booléen (section~\ref{sec:sdd:formalisation}. On y revoit 
 
 Ce chapitre formalise tout d'abord ce qu'est 
 un réseau booléen (section~\ref{sec:sdd:formalisation}. On y revoit 


@@ -256,7 +256,7 @@ Le chapitre suivant s'intéresse à essayer de prédire le comportement
 de telles fonctions. 
 
 
 de telles fonctions. 
 
 

-\chapter{Prédiction des systèmes chaotiques}
+\chapter{Prédiction des systèmes chaotiques}\label{chp:ANN}

 \input{chaosANN}
 
 
 \input{chaosANN}
 
 


@@ -264,10 +264,10 @@ de telles fonctions.
 
 \part{Applications à la génération de nombres pseudo aléatoires}
 
 
 \part{Applications à la génération de nombres pseudo aléatoires}
 

-\chapter{Caractérisation des générateurs chaotiques}
+\chapter{Caractérisation des générateurs chaotiques}\label{chap:PRNG:chao}

 \input{15RairoGen}
 
 \input{15RairoGen}
 

-\chapter{Les générateurs issus des codes de Gray}
+\chapter{Les générateurs issus des codes de Gray}\label{chap:PRNG:gray}

 \input{14Secrypt}
 
 
 \input{14Secrypt}
 
 


@@ -278,63 +278,27 @@ de telles fonctions.
 \chapter{Des embarquements préservant le chaos}\label{chap:watermarking} 
 \input{oxford}
 
 \chapter{Des embarquements préservant le chaos}\label{chap:watermarking} 
 \input{oxford}
 

-\chapter{Une démarche de  marquage de PDF}
+\chapter{Une démarche de  marquage de PDF}\label{chap:watermarking:pdf}

 \input{ahmad}
 
 \input{ahmad}
 

-\chapter{Une démarches plus classique de dissimulation: STABYLO}
+\chapter{Une démarches plus classique de dissimulation: STABYLO}\label{chap:stabylo}

  \input{stabylo}
 
  \input{stabylo}
 

-\chapter{Schéma de stéganographie: les dérivées du second ordre}
+\chapter{Schéma de stéganographie: les dérivées du second ordre}\label{chap:th:yousra}

  \input{stegoyousra}
 
 
 
 \part{Conclusion et Perspectives}
 
  \input{stegoyousra}
 
 
 
 \part{Conclusion et Perspectives}
 

+\input{conclusion}

 
 
 
 
 
 

-\JFC{Perspectives pour SDD->Promela}
-Among drawbacks of the method,  one can argue that bounded delays is only 
-realistic in practice for close systems. 
-However, in real large scale distributed systems where bandwidth is weak, 
-this restriction is too strong. In that case, one should only consider that 
-matrix $s^{t}$ follows the  iterations of the system, \textit{i.e.},
-for all $i$, $j$, $1 \le i \le j \le n$,  we have$
-\lim\limits_{t \to \infty} s_{ij}^t = + \infty$. 
-One challenge of this work should consist in weakening this constraint. 
-We plan as future work to take into account other automatic approaches 
-to discharge proofs notably by deductive analysis~\cite{CGK05}. 
-
-\JFC{Perspective ANN}
-
-In  future  work we  intend  to  enlarge  the comparison  between  the
-learning   of  truly   chaotic  and   non-chaotic   behaviors.   Other
-computational intelligence tools such  as support vector machines will
-be investigated  too, to  discover which tools  are the  most relevant
-when facing a truly chaotic phenomenon.  A comparison between learning
-rate  success  and  prediction  quality will  be  realized.   Concrete
-consequences in biology, physics, and computer science security fields
-will then be stated.
-Ajouter lefait que le codede gray n'est pas optimal.
-On pourrait aussi travailler à établir un classement qui préserverait 
-le fait que deux configurations voisines seraient représentées 
-par deux entiers voisins. Par optimisation? 
- 
-\JFC{Perspectives pour les générateurs} : marcher ou sauter... comment on 
-pourrait étendre, ce que l'on a déjà, ce qu'il reste à faire.
-
-
-\JFC{prespectives watermarking : réécrire l'algo nicolas dans le formalisme
-du chapitre 8}
-
-% TSI 2015 

 
 
 
 
 
 

-% \chapter{Conclusion}

 
 

-% Blabla blabla.

 
 
 \appendix
 
 
 \appendix