-\section{Derivatives in an Image}\label{sec:gradient}
+\section{Des dérivées dans une image}\label{sec:gradient}
-This section first recalls links between level curves, gradient, and
-Hessian matrix (Section~\ref{sub:general}).
-It next analyses them using kernels from signal theory
-(Section~\ref{sub:class:1} and Section~\ref{sub:class:2}).
+Cette section rappelle d'abord les liens entre lignes de niveau, gradient et
+matrice hessienne puis analyse ensuite leur construction à l'aide
+de noyaux de la théorie du signal.
-\subsection{Hessian Matrix}\label{sub:general}
-Let us consider that an image can be seen as a numerical function $P$ that
-associates a value $P(x,y)$ to each pixel of coordinates $(x,y)$.
-The variations of this function in $(x_0,y_0)$
-can be evaluated thanks to its gradient
-$\nabla{P}$, which is the vector whose two components
-are the partial derivatives in $x$ and in $y$ of $P$:
-
-\[\nabla{P}(x_0,y_0) = \left(\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)\right).
-\]
-
-In the context of two variables, the gradient vector
-points to the direction where the function has the highest increase.
-Pixels with close values thus follow level curve that is orthogonal
-to the one of highest increase.
-
-The variations of the gradient vector are expressed in the
-Hessian matrix $H$ of second-order partial derivatives of $P$.
+\subsection{Matrice hessienne}\label{sub:general}
+On considère qu'une image peut être assimilée à une fonction de $\R^+\times \R^+$
+dans $\R^+$ telle que la valeur $P(x,y)$ est associée à chaque pixel de coordonnées $(x,y)$.
+Les variations d'une telle fonction en $(x_0,y_0)$ peuvent être évaluées
+grace au gradient
+$\nabla{P}(x_0,y_0) = \left(\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)\right).
+$
+Le vecteur gradient pointe dans la direction où la fonction a le plus fort acroissement.
+Des pixels ayant des valeurs voisines sont sur des lignes de niveaux qui sont orthogonales
+à ce vecteur.
+Les variations du vecteur gradient s'expriment usuellement à l'aide de la matrice
+hessienne $H$ des dérivées partielles de second ordre de $P$.
\[
H = \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2} &
\end{bmatrix}.
\]
-
-
-
-In one pixel $(x_0,y_0)$, the larger the absolute values of this matrix are,
-the more the gradient is varying around $(x_0,y_0)$.
-We are then left to evaluate such an Hessian matrix.
-
-This task is not as easy as it appears since natural images are not defined
-with differentiable functions from $\R^2$ to $\R$.
-Following subsections provide various approaches to compute these
-Hessian matrices.
-
-\subsection{Classical Gradient Image Approaches}\label{sub:class:1}
-In the context of image values, the most used approaches to evaluate gradient vectors are the well-known ``Sobel'', ``Prewitt'', ``Central Difference'', and ``Intermediate Difference'' ones.
+En un pixel $(x_0,y_0)$, plus les valeurs de cette matrice sont éloignées de zéro,
+plus le gradient varie en ce point. Evaluer ce type de matrice est ainsi primordial
+en stéganographie. Cependant cette tâche n'est pas aussi triviale qu'elle n'y
+paraît puisque les images naturelles ne sont pas définies à l'aide
+de fonction différentiables de $\R^+\times \R^+$
+dans $\R^+$. La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices.
+
+\subsection{Approches classiques pour évaluer le gradient dans des images}\label{sub:class:1}
+Dans ce contexte, les approches les plus utilisées pour évaluer un gradient
+sont ``Sobel'', ``Prewitt'', ``Différence centrale'' et `` Difference intermediaire''.
+Chacune de ces approches applique un produit de convolution $*$ entre un noyau $K$
+(rappelé dans le tableau~\ref{table:kernels:usual}) et une fenêtre $A$ de taille
+$3\times 3$. Le résultat
+ $A * K$ est une approximation du gradient horizontal
+\textit{i.e.}, $\dfrac{\partial P}{\partial x}$.
+Soit $K\rl$ le résultat de la rotation d'un angle $\pi/2$ sur $K$.
+La composante verticale du gradient, $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ est obtenue
+de manière similaire en évaluant $A * K\rl$. Lorsqu'on applique ceci sur toute
+la matrice image, on obtient peu ou prou une matrice de même taille pour chacune des
+dérivées partielles.
+
+Les deux éléments de la première ligne (respectivement de la seconde ligne)
+de la matrice hessienne
+sont le résultat du calcul du gradient sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial x}$
+(resp. sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial y}$).
\begin{table}[ht]
-\caption{Kernels of usual image gradient operators\label{table:kernels:usual}
+\caption{Noyaux usuels pour évaluer des gradients d'images\label{table:kernels:usual}
}
\centering
\scriptsize
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
- Name& Sobel & Prewitt \\
+ Nom& Sobel & Prewitt \\
\hline
- Kernel & $\textit{Ks}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $ &
+ Noyau & $\textit{Ks}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $ &
$\textit{Kp}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -1 & 0 & +1 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $\\
\hline\hline
- Name & Central & Intermediate \\
- & Difference &Difference \\
+ Nom & Difference & Différence \\
+ & centrale & Intermediaire \\
\hline
- Kernel & $\textit{Kc}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ -\dfrac{1}{2} & 0 & +\dfrac{1}{2} \\ 0&0&0 \end{bmatrix} $ &
+ Noyau & $\textit{Kc}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ -\dfrac{1}{2} & 0 & +\dfrac{1}{2} \\ 0&0&0 \end{bmatrix} $ &
$\textit{Ki}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} $ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
-Each of these approaches applies a convolution product $*$ between a kernel $K$ (recalled in Table~\ref{table:kernels:usual}) and
- a $3\times 3$ window of pixel values $A$. The result
- $A * K$ is an evaluation of the horizontal gradient,
-\textit{i.e.}, $\dfrac{\partial P}{\partial x}$
-expressed as a matrix in $\R$.
-Let $K\rl$ be the result of a $\pi/2$ rotation applied on $K$.
-The vertical gradient $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ is similarly obtained by computing $A * K\rl$, which is again expressed as a matrix in $\R$.
-
-The two elements of the first line
-of the Hessian matrix are the result
-of applying the horizontal gradient calculus
-first on $\dfrac{\partial P}{\partial x}$ and next
-on $\dfrac{\partial P}{\partial y}$.
-Let us study these Hessian matrices in the next section.
-\subsection{Hessian Matrices induced by Gradient Image Approaches}\label{sub:class:2}
+\subsection{Matrices hessiennes induites par des approches
+de gradient d'images}\label{sub:class:2}
+Il est connu que
+$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} $ est égal à
+$\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$ si
+les méthode qui calculent le grandient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
+sont les mêmes.
-First of all, it is well known that
-$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} $ is equal to
-$\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$ if
-the approach that computes the gradient and the
-one which evaluates the Hessian matrix are the same.
For instance, in the Sobel approach,
it is easy to verify that the calculus of
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y}$
