paper.tex

   1 \documentclass[conference]{IEEEtran}
   2 \usepackage[ruled,vlined]{algorithm2e}
   3 \hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor}
   4 \bibliographystyle{IEEEtran}
   5
   6 \usepackage{amsfonts}
   7 \usepackage[utf8]{inputenc}
   8 \usepackage[T1]{fontenc}
   9 \usepackage[textsize=footnotesize]{todonotes}
  10 \newcommand{\LZK}[2][inline]{%
  11   \todo[color=red!10,#1]{\sffamily\textbf{LZK:} #2}\xspace}
  12 \newcommand{\RC}[2][inline]{%
  13   \todo[color=blue!10,#1]{\sffamily\textbf{RC:} #2}\xspace}
  14 \newcommand{\KG}[2][inline]{%
  15   \todo[color=green!10,#1]{\sffamily\textbf{KG:} #2}\xspace}
  16 \newcommand{\AS}[2][inline]{%
  17   \todo[color=orange!10,#1]{\sffamily\textbf{AS:} #2}\xspace}
  18
  19
  20 \begin{document}
  21
  22 \title{Two parallel implementations of Ehrlich-Aberth algorithm for root-finding of polynomials on multiple GPUs with OpenMP and MPI}
  23
  24 \author{\IEEEauthorblockN{Kahina Guidouche, Abderrahmane Sider }
  25   \IEEEauthorblockA{Laboratoire LIMED\\
  26     Faculté des sciences exactes\\
  27     Université de Bejaia, 06000, Algeria\\
  28 Email: \{kahina.ghidouche,ar.sider\}@univ-bejaia.dz}
  29 \and
  30 \IEEEauthorblockN{Lilia Ziane Khodja, Raphaël Couturier}
  31 \IEEEauthorblockA{FEMTO-ST Institute\\
  32   University of   Bourgogne Franche-Comte, France\\
  33 Email: zianekhodja.lilia@gmail.com\\ raphael.couturier@univ-fcomte.fr}}
  34
  35
  36 \maketitle
  37
  38 \begin{abstract}
  39 Finding roots of polynomials is a very important part of solving
  40 real-life problems but it is not so easy for polynomials of high
  41 degrees. In this paper, we present two different parallel algorithms
  42 of the Ehrlich-Aberth method to find roots of sparse and fully defined
  43 polynomials of high degrees. Both algorithms are based on CUDA
  44 technology to be implemented on multi-GPU computing platforms but each
  45 using different parallel paradigms: OpenMP or MPI. The experiments
  46 show a quasi-linear speedup by using up-to 4 GPU devices compared to 1
  47 GPU to find roots of polynomials of degree up-to 1.4
  48 million. Moreover, other experiments show it is possible to find roots
  49 of polynomials of degree up-to 5 millions.
  50 \end{abstract}
  51
  52 % no keywords
  53 \LZK{Faut pas mettre des keywords?}
  54
  55
  56 \IEEEpeerreviewmaketitle
  57
  58
  59 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  60 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  61 \section{Introduction}
  62
  63
  64 Finding roots of polynomials of very high degrees arises in many complex problems in various domains such as algebra, biology or physics. A polynomial $p(x)$ in $\mathbb{C}$ in one variable $x$ is an algebraic expression in $x$ of the form:
  65 \begin{equation}
  66 p(x) = \displaystyle\sum^n_{i=0}{a_ix^i},a_n\neq 0,
  67 \end{equation}
  68 where $\{a_i\}_{0\leq i\leq n}$ are complex coefficients and $n$ is a high integer number. If $a_n\neq0$ then $n$ is called the degree of the polynomial. The root-finding problem consists in finding the $n$ different values of the unknown variable $x$ for which $p(x)=0$. Such values are called roots of $p(x)$. Let $\{z_i\}_{1\leq i\leq n}$ be the roots of polynomial $p(x)$, then $p(x)$ can be written as :
  69 \begin{equation}
  70  p(x)=a_n\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-z_i), a_n\neq 0.
  71 \end{equation}
  72
  73 Most of the numerical methods that deal with the polynomial root-finding problem are simultaneous methods, \textit{i.e.} the iterative methods to find simultaneous approximations of the $n$ polynomial roots. These methods start from the initial approximations of all $n$ polynomial roots and give a sequence of approximations that converge to the roots of the polynomial. Two examples of well-known simultaneous methods for root-finding problem of polynomials are  Durand-Kerner method~\cite{Durand60,Kerner66} and Ehrlich-Aberth method~\cite{Ehrlich67,Aberth73}.
  74
  75 The main problem of the simultaneous methods is that the necessary
  76 time needed for the convergence increases with the increasing of the
  77 polynomial's degree. Many authors have treated the problem of
  78 implementing  simultaneous methods in
  79 parallel. Freeman~\cite{Freeman89} implemented and compared
  80 Durand-Kerner method, Ehrlich-Aberth method and another method of the
  81 fourth order of convergence proposed by Farmer and
  82 Loizou~\cite{Loizou83} on a 8-processor linear chain, for polynomials
  83 of degree up-to 8. The method of Farmer and Loizou~\cite{Loizou83}
  84 often diverges, but the first two methods (Durand-Kerner and
  85 Ehrlich-Aberth methods) have a speed-up equals to 5.5. Later, Freeman
  86 and Bane~\cite{Freemanall90} considered asynchronous algorithms in
  87 which each processor continues to update its approximations even
  88 though the latest values of other approximations $z^{k}_{i}$ have not
  89 been received from the other processors, in contrast with synchronous
  90 algorithms where it would wait those values before making a new
  91 iteration. Couturier et al.~\cite{Raphaelall01} proposed two methods
  92 of parallelization for a shared memory architecture with OpenMP and
  93 for a distributed memory one with MPI. They are able to compute the
  94 roots of sparse polynomials of degree 10,000 in 116 seconds with
  95 OpenMP and 135 seconds with MPI only by using 8 personal computers and
  96 2 communications per iteration. The authors showed an interesting
  97 speedup comparing to the sequential implementation which takes up-to
  98 3,300 seconds to obtain same results.
  99 \RC{si on donne des temps faut donner le proc, comme c'est vieux à mon avis faut supprimer ca, votre avis?}
 100 \LZK{Supprimons ces détails et mettons une référence s'il y en a une}
 101
 102 Very few work had been performed since then until the appearing of the Compute Unified Device Architecture (CUDA)~\cite{CUDA15}, a parallel computing platform and a programming model invented by NVIDIA. The computing power of GPUs (Graphics Processing Units) has exceeded that of traditional processors CPUs. However, CUDA adopts a totally new computing architecture to use the hardware resources provided by the GPU in order to offer a stronger computing ability to the massive data computing. Ghidouche et al.~\cite{Kahinall14} proposed an implementation of the Durand-Kerner method on a single GPU. Their main results showed that a parallel CUDA implementation is about 10 times faster than the sequential implementation on a single CPU for sparse polynomials of degree 48,000.
 103
 104 In this paper we propose the parallelization of Ehrlich-Aberth method which has a good convergence and it is suitable to be implemented in parallel computers. We use two parallel programming paradigms OpenMP and MPI on CUDA multi-GPU platforms. Our CUDA-MPI and CUDA-OpenMP codes are the first implementations of Ehrlich-Aberth method with multiple GPUs for finding roots of polynomials. Our major contributions include:
 105 \LZK{J'ai ajouté une phrase pour justifier notre choix de la méthode Ehrlich-Aberth. A revérifier.}
 106  \begin{itemize}
 107
 108 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a shared memory using OpenMP API. It is based on threads created from the same system process, such that each thread is attached to one GPU. In this case the communications between GPUs are done by OpenMP threads through shared memory.
 109 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a distributed memory using MPI API, such that each GPU is attached and managed by a MPI process. The GPUs exchange their data by message-passing communications.
 110  \end{itemize}
 111 This latter approach is more used on clusters to solve very complex problems that are too large for traditional supercomputers, which are very expensive to build and run.
 112 \LZK{Pas d'autres contributions possibles? J'ai supprimé les deux premiers points proposés précédemment.}
 113
 114 The paper is organized as follows. In Section~\ref{sec2} we present three different parallel programming models OpenMP, MPI and CUDA. In Section~\ref{sec3} we present the implementation of the Ehrlich-Aberth algorithm on a single GPU. In Section~\ref{sec4} we present the parallel implementations of the Ehrlich-Aberth algorithm on multiple GPUs using the OpenMP and MPI approaches. In section~\ref{sec5} we present our experiments and discuss them. Finally, Section~\ref{sec6} concludes this paper and gives some hints for future research directions in this topic.
 115
 116
 117 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 118 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 119
 120 \section{Parallel programming models}
 121 \label{sec2}
 122 Our objective consists in implementing a root-finding algorithm of polynomials on multiple GPUs. To this end, it is primordial to know how to manage CUDA contexts of different GPUs. A direct method for controlling the various GPUs is to use as many threads or processes as GPU devices. We investigate two parallel paradigms: OpenMP and MPI. In this case, the GPU indices are defined according to the identifiers of the OpenMP threads or the ranks of the MPI processes. In this section we present the parallel programming models: OpenMP, MPI and CUDA.
 123
 124 \subsection{OpenMP}
 125
 126
 127 OpenMP (Open Multi-processing) is an application programming interface for parallel programming~\cite{openmp13}. It is a portable approach based on the multithreading designed for shared memory computers, where a master thread forks a number of slave threads which execute blocks of code in parallel. An OpenMP program alternates sequential regions and parallel regions of code, where the sequential regions are executed by the master thread and the parallel ones may be executed by multiple threads. During the execution of an OpenMP program the threads communicate their data (read and modified) in the shared memory. One advantage of OpenMP is the global view of the memory address space of an application. This allows relatively a fast development of parallel applications with easier maintenance. However, it is often difficult to get high rates of performances in large scale-applications.
 128
 129 \subsection{MPI}
 130
 131
 132 MPI (Message Passing Interface) is a portable message passing style of the parallel programming designed especially for the distributed memory architectures~\cite{Peter96}. In most MPI implementations, a computation contains a fixed set of processes created at the initialization of the program in such way one process is created per processor. The processes synchronize their computations and communicate by sending/receiving messages to/from other processes. In this case, the data are explicitly exchanged by message passing while the data exchanges are implicit in a multithread programming model like OpenMP and Pthreads. However in the MPI programming model, the processes may either execute different programs referred to as multiple program multiple data (MPMD) or every process executes the same program (SPMD). The MPI approach is one of most used HPC programming model to solve large scale and complex applications.
 133
 134 \subsection{CUDA}
 135
 136
 137 CUDA (Compute Unified Device Architecture) is a parallel computing architecture developed by NVIDIA~\cite{CUDA15} for GPUs. It provides a high level GPGPU-based programming model to program GPUs for general purpose computations and non-graphic applications. The GPU is viewed as an accelerator such that data-parallel operations of a CUDA program running on a CPU are off-loaded onto GPU and executed by this later. The data-parallel operations executed by GPUs are called kernels. The same kernel is executed in parallel by a large number of threads organized in grids of thread blocks, such that each GPU multiprocessor executes one or more thread blocks in SIMD fashion (Single Instruction, Multiple Data) and in turn each core of the multiprocessor executes one or more threads within a block. Threads within a block can cooperate by sharing data through a fast shared memory and coordinate their execution through synchronization points. In contrast, within a grid of thread blocks, there is no synchronization at all between blocks. The GPU only works on data filled in the global memory and the final results of the kernel executions must be transferred out of the GPU. In the GPU, the global memory has lower bandwidth than the shared memory associated to each multiprocessor. Thus in the CUDA programming, it is necessary to design carefully the arrangement of the thread blocks in order to ensure low latency and a proper usage of the shared memory, and the global memory accesses should be minimized.
 138
 139
 140 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 141 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 142
 143 \section{The Ehrlich-Aberth algorithm on a GPU}
 144 \label{sec3}
 145
 146 \subsection{The Ehrlich-Aberth method}
 147
 148 The Ehrlich-Aberth method is a simultaneous method~\cite{Aberth73} using the following iteration
 149 \begin{equation}
 150 \label{Eq:EA1}
 151 z^{k+1}_{i}=z_{i}^{k}-\frac{\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}}
 152 {1-\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}{\frac{1}{(z_{i}^{k}-z_{j}^{k})}}}, i=1,\ldots,n
 153 \end{equation}
 154
 155 This method contains 4 steps. The first step consists in the
 156 initializing the polynomial. The second step initializes the solution
 157 vector $Z$ using the Guggenheimer method~\cite{Gugg86} to ensure that
 158 initial roots are all distinct from each other. In step 3, the
 159 iterative function based on the Newton's method~\cite{newt70} and
 160 Weiestrass operator~\cite{Weierstrass03} is applied. In our case, the
 161 Ehrlich-Aberth is applied as in~(\ref{Eq:EA1}). Iterations of the
 162 Ehrlich-Aberth method will converge to the roots of the considered
 163 polynomial. In order to stop the iterative function, a stop condition
 164 is applied, this is the 4th step. This condition checks that all the
 165 root modules are lower than a fixed value $\epsilon$.
 166
 167 \begin{equation}
 168 \label{eq:Aberth-Conv-Cond}
 169 \forall i\in[1,n],~\vert\frac{z_i^k-z_i^{k-1}}{z_i^k}\vert<\epsilon
 170 \end{equation}
 171
 172 \subsection{Improving Ehrlich-Aberth method}
 173 With high degree polynomials, the Ehrlich-Aberth method suffers from floating point overflows due to the mantissa of floating points representations. This induces errors in the computation of $p(z)$ when $z$ is large.
 174
 175
 176 In order to solve this problem, we propose to modify the iterative
 177 function by using the logarithm and the exponential of a complex and
 178 we propose a new version of the Ehrlich-Aberth method.  This method
 179 allows us to exceed the computation of the polynomials of degree
 180 100,000 and to reach a degree up to more than 1,000,000. The reformulation of the iteration~(\ref{Eq:EA1}) of the Ehrlich-Aberth method with exponential and logarithm is defined as follows, for $i=1,\dots,n$:
 181
 182 \begin{equation}
 183 \label{Log_H2}
 184 z^{k+1}_i = z_i^k - \exp(\ln(p(z_i^k)) - \ln(p'(z^k_i)) - \ln(1-Q(z^k_i))),
 185 \end{equation}
 186
 187 where:
 188
 189 \begin{equation}
 190 \label{Log_H1}
 191 Q(z^k_i) = \exp(\ln(p(z^k_i)) - \ln(p'(z^k_i)) + \ln(\sum_{i\neq j}^n\frac{1}{z^k_i-z^k_j})).
 192 \end{equation}
 193
 194
 195
 196 Using the logarithm  and the exponential operators, we can replace any multiplications and divisions with additions and subtractions. Consequently, computations manipulate lower values in absolute values~\cite{Karimall98}.
 197
 198
 199 \subsection{The Ehrlich-Aberth parallel implementation on CUDA}
 200
 201
 202
 203
 204 The code is organized as kernels which are parts of code that are run
 205 on GPU devices. Algorithm~\ref{alg1-cuda} describes the CUDA
 206 implementation of the Ehrlich-Aberth on a GPU.  This algorithms starts
 207 by initializinf the polynomial and its derivative (line 1). The
 208 initialization of the roots is performed (line 2). Data are transfered
 209 from the CPU to the GPU (after allocation of the required memory on
 210 the GPU) (line 3). Then at each iteration, if the error is greater
 211 than a threshold, the following operations are performed. The previous
 212 roots are saved using a kernel (line 5). Then the new root with the
 213 new iterations are computed using the EA method with a Gauss Seidel
 214 iteration modes in order to use the lastest roots updated (line
 215 6). This improves the convergence. This kernel is, in pratice, very
 216 long since it performs all the operations with complex numbers with
 217 the normal mode of the EA method but also with the
 218 logarithm-exponential one. Then the error is computed with a final
 219 kernel (line 7). Finally when the EA method has converged, the roots
 220 are transferred from the GPU to the CPU.
 221
 222 \begin{algorithm}[htpb]
 223 \label{alg1-cuda}
 224 \LinesNumbered
 225 \SetAlgoNoLine
 226 \caption{Finding roots of polynomials with the Ehrlich-Aberth method on a GPU}
 227 \KwIn{ $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 228 \KwOut{$Z$ (solution vector of roots)}
 229 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 230 Set the initial values of vector $Z$\;
 231 Copy $P$, $P'$ and $Z$ from CPU to GPU\;
 232 \While{$error > \epsilon$}{
 233   $Z^{prev}$ = KernelSave($Z$)\;
 234   $Z$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 235   $error$ = KernelComputeError($Z,Z^{prev}$)\;
 236 }
 237 Copy $Z$ from GPU to CPU\;
 238 \end{algorithm}
 239
 240
 241 The development of this code is a rather long task, as the development
 242 of corresponding kernels with CUDA is longer than on a CPU host. This
 243 comes in particular from the fact that it is very difficult to debug
 244 CUDA running threads like threads on a CPU host.  In the following
 245 section the GPU parallel implementation of Ehrlich-Aberth method with
 246 OpenMP and MPI is presented.
 247
 248
 249
 250
 251
 252 \section{The EA algorithm on multiple GPUs}
 253 \label{sec4}
 254 \subsection{an OpenMP-CUDA approach}
 255 Our OpenMP-CUDA implementation of EA algorithm is based on the hybrid
 256 OpenMP and CUDA programming model. This algorithm is presented in
 257 Algorithm~\ref{alg2-cuda-openmp}.  All the data are shared with OpenMP
 258 amoung all the OpenMP threads. The shared data are the solution vector
 259 $Z$, the polynomial to solve $P$, its derivative $P'$, and the error
 260 vector $error$. The number of OpenMP threads is equal to the number of
 261 GPUs, each OpenMP thread binds to one GPU, and it controls a part of
 262 the shared memory. More precisely each OpenMP thread will be
 263 responsible to update its owns part of the vector $Z$. This part is
 264 called $Z_{loc}$ in the following. Then all GPUs will have a grid of
 265 computation organized according to the device performance and the size
 266 of data on which it runs the computation kernels.
 267
 268 To compute one iteration of the EA method each GPU performs the
 269 followings steps. First roots are shared with OpenMP and the
 270 computation of the local size for each GPU is performed (line 4). Each
 271 thread starts by copying all the previous roots inside its GPU (line
 272 5). At each iteration, the following operations are performed. First
 273 the vector $Z$ is transferred from the CPU to the GPU (line 7).  Each
 274 GPU copies the previous roots (line 8) and it computes an iteration of
 275 the EA method on its own roots (line 9).  For that all the other roots
 276 are used. The local error is computed on the new roots (line 10) and
 277 the max of the local errors is computed on all OpenMP threads (lien 11). At
 278 the end of an iteration, the updated roots are copied from the GPU to
 279 the CPU (line 12) by direcly updating its own roots in the shared
 280 memory arrays containing all the roots.
 281
 282
 283
 284 \begin{algorithm}[htpb]
 285 \label{alg2-cuda-openmp}
 286 \LinesNumbered
 287 \SetAlgoNoLine
 288 \caption{Finding roots of polynomials with the Ehrlich-Aberth method on multiple GPUs using OpenMP}
 289 \KwIn{ $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 290 \KwOut{$Z$ (solution vector of roots)}
 291 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 292 Set the initial values of vector $Z$\;
 293 Start of a parallel part with OpenMP ($Z$, $error$, $P$, $P'$ are shared variables)\;
 294 Determine the local part of the OpenMP thread\;
 295 Copy $P$, $P'$ from CPU to GPU\;
 296 \While{$error > \epsilon$}{
 297   Copy $Z$ from CPU to GPU\;
 298   $Z^{prev}_{loc}$ = KernelSave($Z_{loc}$)\;
 299   $Z_{loc}$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 300   $error_{loc}$ = KernelComputeError($Z_{loc},Z^{prev}_{loc}$)\;
 301   $error = max(error_{loc})$\;
 302   Copy $Z_{loc}$ from GPU to $Z$ in CPU\;
 303 }
 304 \end{algorithm}
 305
 306
 307
 308
 309
 310 \subsection{a MPI-CUDA approach}
 311
 312 Our parallel implementation of EA to find roots of polynomials using a
 313 CUDA-MPI approach follows a similar approach to the one used in
 314 CUDA-OpenMP. Each process is responsible to compute its own part of
 315 roots using all the roots computed by other processors at the previous
 316 iteration. The difference between both approaches lies in the way
 317 processes communicate and exchange data. With MPI, processors need to
 318 send and receive data explicitely. So in
 319 Algorithm~\ref{alg2-cuda-mpi}, after the initialization all the
 320 processors have the same $Z$ vector. Then they need to compute the
 321 parameters used by the $MPI\_AlltoAll$ routines (line 4). In practise,
 322 each processor needs to compute its offset and its local
 323 size. Processors need to allocate memory on their GPU and need to copy
 324 their data on the GPU (line 5). At the beginning of each iteration, a
 325 processor starts by transfering the whole vector Z from the CPU to the
 326 GPU (line 7). Only the local part of $Z^{prev}$ is saved (line
 327 8). After that, a processor is able to compute an updated version of
 328 its own roots (line 9) with the EA method. The local error is computed
 329 (ligne 10) and the global error using $MPI\_Reduce$ (line 11). Then
 330 the local roots are transfered from the GPU memory to the CPU memory
 331 (line 12) before being exchanged between all processors (lige 13) in
 332 order to give to all processors the last version of the roots (with
 333 the MPI\_AlltoAll routine). If the convergence is not statisfied, an
 334 new iteration is executed.
 335
 336
 337
 338 \begin{algorithm}[htpb]
 339 \label{alg2-cuda-mpi}
 340 \LinesNumbered
 341 \SetAlgoNoLine
 342 \caption{CUDA-MPI Algorithm to find roots with the Ehrlich-Aberth method}
 343
 344 \KwIn{  $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 345
 346 \KwOut {$Z$ (solution vector of roots)}
 347
 348 \BlankLine
 349 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 350 Set the initial values of vector $Z$\;
 351 Determine the local part of the MPI process\;
 352 Computation of the parameters for the $MPI\_AlltoAll$\;
 353 Copy $P$, $P'$ from CPU to GPU\;
 354 \While {$error > \epsilon$}{
 355   Copy $Z$ from CPU to GPU\;
 356   $Z^{prev}_{loc}$ = KernelSave($Z_{loc}$)\;
 357   $Z_{loc}$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 358   $error_{loc}$ = KernelComputeError($Z_{loc},Z^{prev}_{loc}$)\;
 359   $error=MPI\_Reduce(error_{loc})$\;
 360   Copy $Z_{loc}$ from GPU to CPU\;
 361   $Z=MPI\_AlltoAll(Z_{loc})$\;
 362 }
 363 \end{algorithm}
 364
 365
 366 \section{Experiments}
 367 \label{sec5}
 368 We study two categories of polynomials: sparse polynomials and full polynomials.\\
 369 {\it A sparse polynomial} is a polynomial for which only some coefficients are not null. In this paper, we consider sparse polynomials for which the roots are distributed on 2 distinct circles:
 370 \begin{equation}
 371         \forall \alpha_{1} \alpha_{2} \in C,\forall n_{1},n_{2} \in N^{*}; P(z)= (z^{n_{1}}-\alpha_{1})(z^{n_{2}}-\alpha_{2})
 372 \end{equation}\noindent
 373 {\it A full polynomial} is, in contrast, a polynomial for which all the coefficients are not null. A full polynomial is defined by:
 374 %%\begin{equation}
 375         %%\forall \alpha_{i} \in C,\forall n_{i}\in N^{*}; P(z)= \sum^{n}_{i=1}(z^{n^{i}}.a_{i})
 376 %%\end{equation}
 377
 378 \begin{equation}
 379      {\Large \forall a_{i} \in C, i\in N;  p(x)=\sum^{n}_{i=0} a_{i}.x^{i}}
 380 \end{equation}
 381
 382 For our test, 4 cards GPU tesla Kepler K40 are used.  In order to
 383 evaluate both the GPU and Multi-GPU approaches, we performed a set of
 384 experiments on a single GPU and multiple GPUs using OpenMP or MPI with
 385 the EA algorithm, for both sparse and full polynomials of different
 386 sizes.  All experimental results obtained are perfomed with double
 387 precision float data and the convergence threshold of the EA method is
 388 set to $10^{-7}$.  The initialization values of the vector solution of
 389 the methods are given by Guggenheimer method~\cite{Gugg86}.
 390
 391
 392 \subsection{Evaluation of the CUDA-OpenMP approach}
 393
 394 Here we report some experiments witt full and sparse polynomials of
 395 different degrees with multiple GPUs.
 396 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
 397
 398 In this experiments we report the execution time of the EA algorithm, on single GPU and multi-GPUs with (2,3,4) GPUs, for different sparse polynomial degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
 399
 400 \begin{figure}[htbp]
 401 \centering
 402   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_omp}
 403 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 404   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
 405 \label{fig:01}
 406 \end{figure}
 407
 408 Figure~\ref{fig:01} shows that the CUDA-OpenMP approach scales well
 409 with multiple GPUs. This version allows us to solve sparse polynomials
 410 of very high degrees.
 411
 412 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve full polynomials on multiple GPUs}
 413
 414 These experiments show the execution times of the EA algorithm, on a single GPU and on multiple GPUs using the CUDA OpenMP approach for full polynomials of degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
 415
 416 \begin{figure}[htbp]
 417 \centering
 418   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_omp}
 419 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 420   solve full polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
 421 \label{fig:02}
 422 \end{figure}
 423
 424 In Figure~\ref{fig:02}, we can observe that with full polynomials the EA version with
 425 CUDA-OpenMP scales also well. Using 4 GPUs allows us to achieve a
 426 quasi-linear speedup.
 427
 428 \subsection{Evaluation of the CUDA-MPI approach}
 429 In this part we perform some experiments to evaluate the CUDA-MPI
 430 approach to solve full and sparse polynomials of degrees ranging from
 431 100,000 to 1,400,000.
 432
 433 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
 434
 435 \begin{figure}[htbp]
 436 \centering
 437   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_mpi}
 438 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 439   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-MPI.}
 440 \label{fig:03}
 441 \end{figure}
 442 Figure~\ref{fig:03} shows the execution times of te EA algorithm,
 443 for a single GPU, and multiple GPUs (2, 3, 4) with the CUDA-MPI approach.
 444
 445 \subsubsection{Execution time of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials on multiple GPUs using the Multi-GPU appraoch}
 446
 447 \begin{figure}[htbp]
 448 \centering
 449  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_mpi}
 450 \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for
 451   full polynomials on  multiple GPUs with CUDA-MPI.}
 452 \label{fig:04}
 453 \end{figure}
 454
 455 In Figure~\ref{fig:04}, we can also observe that the CUDA-MPI approach
 456 is also efficient to solve full polynimails on multiple GPUs.
 457
 458 \subsection{Comparison of  the CUDA-OpenMP and the CUDA-MPI approaches}
 459
 460 In the previuos section we saw that both approches are very effecient
 461 to  reduce the execution times the  sparse and full polynomials. In
 462 this section we try to compare these two approaches.
 463
 464 \subsubsection{Solving sparse polynomials}
 465 In this experiment three sparse polynomials of size 200K, 800K and 1,4M are investigated.
 466 \begin{figure}[htbp]
 467 \centering
 468  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse}
 469 \caption{Execution times  to solvs sparse polynomials of three
 470   distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP with the
 471   Ehrlich-Aberth method}
 472 \label{fig:05}
 473 \end{figure}
 474 In Figure~\ref{fig:05} there is one curve for CUDA-MPI and another one
 475 for CUDA-OpenMP. We can see that the results are quite similar between
 476 OpenMP and MPI for the polynomials size of 200K. For the size of 800K,
 477 the MPI version is a little bit slower than the OpenMP approach but for
 478 the 1,4 millions size, there is a slight advantage for the MPI
 479 version.
 480
 481 \subsubsection{Solving full polynomials}
 482 \begin{figure}[htbp]
 483 \centering
 484  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full}
 485 \caption{Execution time for solving full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP approaches using Ehrlich-Aberth}
 486 \label{fig:06}
 487 \end{figure}
 488 In Figure~\ref{fig:06}, we can see that when it comes to full polynomials, both approaches are almost equivalent.
 489
 490 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-MPI}
 491
 492 In this experiment we compare the execution time of the EA algorithm
 493 according to the number of GPUs to solve sparse and full
 494 polynomials on multiples GPUs using MPI. We chose three sparse and full
 495 polynomials of size 200K, 800K and 1,4M.
 496 \begin{figure}[htbp]
 497 \centering
 498  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{MPI}
 499 \caption{Execution times to solve sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI.}
 500 \label{fig:07}
 501 \end{figure}
 502 In Figure~\ref{fig:07} we can see that CUDA-MPI can solve sparse and
 503 full polynomials of high degrees, the execution times with sparse
 504 polynomial are very low compared to full polynomials. With sparse
 505 polynomials the number of monomials is reduced, consequently the number
 506 of operations is reduced and the execution time decreases.
 507
 508 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-OpenMP}
 509
 510 \begin{figure}[htbp]
 511 \centering
 512  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{OMP}
 513 \caption{Execution time for solving sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using OpenMP}
 514 \label{fig:08}
 515 \end{figure}
 516
 517 Figure ~\ref{fig:08} shows the impact of sparsity on the effectiveness of the CUDA-OpenMP approach. We can see that the impact follows the same pattern, a difference in execution time in favor of the sparse polynomials.
 518
 519 \subsection{Scalability of the EA method on multiple GPUs to solve very high degree polynomials}
 520 These experiments report the execution times of the EA method for
 521 sparse and full polynomials ranging from 1,000,000 to 5,000,000.
 522 \begin{figure}[htbp]
 523 \centering
 524  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{big}
 525  \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials of high degree on 4 GPUs for sizes ranging from 1M to 5M}
 526 \label{fig:09}
 527 \end{figure}
 528 In Figure~\ref{fig:09} we can see that both approaches are scalable
 529 and can solve very high degree polynomials. In addition, with full polynomial as well as sparse ones, both
 530 approaches give very similar results.
 531
 532 %SIDER JE viens de virer \c ca For sparse polynomials here are a noticeable difference in favour of MPI when the degree is
 533 %above 4 millions. Between 1  and 3 millions, OpenMP is more effecient.
 534 %Under 1 million, OpenMPI and MPI are almost equivalent.
 535
 536 %SIDER : il faut une explication sur les différences ici aussi.
 537
 538
 539 \section{Conclusion}
 540 \label{sec6}
 541 In this paper, we have presented a parallel implementation of
 542 Ehrlich-Aberth algorithm to solve full and sparse polynomials, on
 543 single GPU with CUDA and on multiple GPUs using two parallel
 544 paradigms: shared memory with OpenMP and distributed memory with
 545 MPI. These architectures were addressed by a CUDA-OpenMP approach and
 546 CUDA-MPI approach, respectively.  Experiments show that, using
 547 parallel programming model like (OpenMP, MPI). We can efficiently
 548 manage multiple graphics cards to solve the same
 549 problem and accelerate the parallel execution with 4 GPUs and solve a
 550 polynomial of degree up to 5,000,000, four times faster than on single
 551 GPU.
 552
 553
 554 Our next objective is to extend the model presented here with clusters
 555 of GPU nodes, with a three-level scheme: inter-node communication via
 556 MPI processes (distributed memory), management of multi-GPU node by
 557 OpenMP threads (shared memory).
 558
 559
 560 \section*{Acknowledgment}
 561
 562 Computations have been performed on the supercomputer facilities of
 563 the Mésocentre de calcul de Franche-Comté. We also would like to thank
 564 Nvidia for hardware donation under CUDA Research Center 2014.
 565
 566
 567
 568 \bibliography{mybibfile}
 569
 570 \end{document}
 571
 572