paper.tex

   1 \documentclass[conference]{IEEEtran}
   2 \usepackage[ruled,vlined]{algorithm2e}
   3 \hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor}
   4 \bibliographystyle{IEEEtran}
   5
   6 \usepackage{amsfonts}
   7 \usepackage[utf8]{inputenc}
   8 \usepackage[T1]{fontenc}
   9 \usepackage[textsize=footnotesize]{todonotes}
  10 \newcommand{\LZK}[2][inline]{%
  11   \todo[color=red!10,#1]{\sffamily\textbf{LZK:} #2}\xspace}
  12 \newcommand{\RC}[2][inline]{%
  13   \todo[color=blue!10,#1]{\sffamily\textbf{RC:} #2}\xspace}
  14 \newcommand{\KG}[2][inline]{%
  15   \todo[color=green!10,#1]{\sffamily\textbf{KG:} #2}\xspace}
  16 \newcommand{\AS}[2][inline]{%
  17   \todo[color=orange!10,#1]{\sffamily\textbf{AS:} #2}\xspace}
  18
  19
  20 \begin{document}
  21
  22 \title{Two parallel implementations of Ehrlich-Aberth algorithm for root-finding of polynomials on multiple GPUs with OpenMP and MPI}
  23
  24 \author{\IEEEauthorblockN{Kahina Guidouche, Abderrahmane Sider }
  25   \IEEEauthorblockA{Laboratoire LIMED\\
  26     Faculté des sciences exactes\\
  27     Université de Bejaia, 06000, Algeria\\
  28 Email: \{kahina.ghidouche,ar.sider\}@univ-bejaia.dz}
  29 \and
  30 \IEEEauthorblockN{Lilia Ziane Khodja, Raphaël Couturier}
  31 \IEEEauthorblockA{FEMTO-ST Institute\\
  32   University of   Bourgogne Franche-Comte, France\\
  33 Email: zianekhodja.lilia@gmail.com\\ raphael.couturier@univ-fcomte.fr}}
  34
  35
  36 \maketitle
  37
  38 \begin{abstract}
  39 Finding roots of polynomials is a very important part of solving
  40 real-life problems but it is not so easy for polynomials of high
  41 degrees. In this paper, we present two different parallel algorithms
  42 of the Ehrlich-Aberth method to find roots of sparse and fully defined
  43 polynomials of high degrees. Both algorithms are based on CUDA
  44 technology to be implemented on multi-GPU computing platforms but each
  45 using different parallel paradigms: OpenMP or MPI. The experiments
  46 show a quasi-linear speedup by using up-to 4 GPU devices compared to 1
  47 GPU to find roots of polynomials of degree up-to 1.4
  48 million. Moreover, other experiments show it is possible to find roots
  49 of polynomials of degree up-to 5 millions.
  50 \end{abstract}
  51
  52 % no keywords
  53 \LZK{Faut pas mettre des keywords?}
  54
  55
  56 \IEEEpeerreviewmaketitle
  57
  58
  59 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  60 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  61 \section{Introduction}
  62
  63
  64 Finding roots of polynomials of very high degrees arises in many complex problems in various domains such as algebra, biology or physics. A polynomial $p(x)$ in $\mathbb{C}$ in one variable $x$ is an algebraic expression in $x$ of the form:
  65 \begin{equation}
  66 p(x) = \displaystyle\sum^n_{i=0}{a_ix^i},a_n\neq 0,
  67 \end{equation}
  68 where $\{a_i\}_{0\leq i\leq n}$ are complex coefficients and $n$ is a high integer number. If $a_n\neq0$ then $n$ is called the degree of the polynomial. The root-finding problem consists in finding the $n$ different values of the unknown variable $x$ for which $p(x)=0$. Such values are called roots of $p(x)$. Let $\{z_i\}_{1\leq i\leq n}$ be the roots of polynomial $p(x)$, then $p(x)$ can be written as :
  69 \begin{equation}
  70  p(x)=a_n\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-z_i), a_n\neq 0.
  71 \end{equation}
  72
  73 Most of the numerical methods that deal with the polynomial root-finding problem are simultaneous methods, \textit{i.e.} the iterative methods to find simultaneous approximations of the $n$ polynomial roots. These methods start from the initial approximations of all $n$ polynomial roots and give a sequence of approximations that converge to the roots of the polynomial. Two examples of well-known simultaneous methods for root-finding problem of polynomials are  Durand-Kerner method~\cite{Durand60,Kerner66} and Ehrlich-Aberth method~\cite{Ehrlich67,Aberth73}.
  74
  75 The main problem of the simultaneous methods is that the necessary
  76 time needed for the convergence increases with the increasing of the
  77 polynomial's degree. Many authors have treated the problem of
  78 implementing  simultaneous methods in
  79 parallel. Freeman~\cite{Freeman89} implemented and compared
  80 Durand-Kerner method, Ehrlich-Aberth method and another method of the
  81 fourth order of convergence proposed by Farmer and
  82 Loizou~\cite{Loizou83} on a 8-processor linear chain, for polynomials
  83 of degree up-to 8. The method of Farmer and Loizou~\cite{Loizou83}
  84 often diverges, but the first two methods (Durand-Kerner and
  85 Ehrlich-Aberth methods) have a speed-up equals to 5.5. Later, Freeman
  86 and Bane~\cite{Freemanall90} considered asynchronous algorithms in
  87 which each processor continues to update its approximations even
  88 though the latest values of other approximations $z^{k}_{i}$ have not
  89 been received from the other processors, in contrast with synchronous
  90 algorithms where it would wait those values before making a new
  91 iteration. Couturier et al.~\cite{Raphaelall01} proposed two methods
  92 of parallelization for a shared memory architecture with OpenMP and
  93 for a distributed memory one with MPI. They are able to compute the
  94 roots of sparse polynomials of degree 10,000 in 116 seconds with
  95 OpenMP and 135 seconds with MPI only by using 8 personal computers and
  96 2 communications per iteration. The authors showed an interesting
  97 speedup comparing to the sequential implementation which takes up-to
  98 3,300 seconds to obtain same results.
  99 \RC{si on donne des temps faut donner le proc, comme c'est vieux à mon avis faut supprimer ca, votre avis?}
 100 \LZK{Supprimons ces détails et mettons une référence s'il y en a une}
 101
 102 Very few work had been performed since then until the appearing of the Compute Unified Device Architecture (CUDA)~\cite{CUDA15}, a parallel computing platform and a programming model invented by NVIDIA. The computing power of GPUs (Graphics Processing Units) has exceeded that of traditional processors CPUs. However, CUDA adopts a totally new computing architecture to use the hardware resources provided by the GPU in order to offer a stronger computing ability to the massive data computing. Ghidouche et al.~\cite{Kahinall14} proposed an implementation of the Durand-Kerner method on a single GPU. Their main results showed that a parallel CUDA implementation is about 10 times faster than the sequential implementation on a single CPU for sparse polynomials of degree 48,000.
 103
 104 In this paper we propose the parallelization of Ehrlich-Aberth method which has a good convergence and it is suitable to be implemented in parallel computers. We use two parallel programming paradigms OpenMP and MPI on CUDA multi-GPU platforms. Our CUDA-MPI and CUDA-OpenMP codes are the first implementations of Ehrlich-Aberth method with multiple GPUs for finding roots of polynomials. Our major contributions include:
 105 \LZK{J'ai ajouté une phrase pour justifier notre choix de la méthode Ehrlich-Aberth. A revérifier.}
 106  \begin{itemize}
 107
 108 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a shared memory using OpenMP API. It is based on threads created from the same system process, such that each thread is attached to one GPU. In this case the communications between GPUs are done by OpenMP threads through shared memory.
 109 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a distributed memory using MPI API, such that each GPU is attached and managed by a MPI process. The GPUs exchange their data by message-passing communications.
 110  \end{itemize}
 111 This latter approach is more used on clusters to solve very complex problems that are too large for traditional supercomputers, which are very expensive to build and run.
 112 \LZK{Pas d'autres contributions possibles? J'ai supprimé les deux premiers points proposés précédemment.}
 113
 114 The paper is organized as follows. In Section~\ref{sec2} we present three different parallel programming models OpenMP, MPI and CUDA. In Section~\ref{sec3} we present the implementation of the Ehrlich-Aberth algorithm on a single GPU. In Section~\ref{sec4} we present the parallel implementations of the Ehrlich-Aberth algorithm on multiple GPUs using the OpenMP and MPI approaches. In section~\ref{sec5} we present our experiments and discuss them. Finally, Section~\ref{sec6} concludes this paper and gives some hints for future research directions in this topic.
 115
 116
 117 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 118 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 119
 120 \section{Parallel programming models}
 121 \label{sec2}
 122 Our objective consists in implementing a root-finding algorithm of polynomials on multiple GPUs. To this end, it is primordial to know how to manage CUDA contexts of different GPUs. A direct method for controlling the various GPUs is to use as many threads or processes as GPU devices. We investigate two parallel paradigms: OpenMP and MPI. In this case, the GPU indices are defined according to the identifiers of the OpenMP threads or the ranks of the MPI processes. In this section we present the parallel programming models: OpenMP, MPI and CUDA.
 123
 124 \subsection{OpenMP}
 125
 126
 127 OpenMP (Open Multi-processing) is an application programming interface for parallel programming~\cite{openmp13}. It is a portable approach based on the multithreading designed for shared memory computers, where a master thread forks a number of slave threads which execute blocks of code in parallel. An OpenMP program alternates sequential regions and parallel regions of code, where the sequential regions are executed by the master thread and the parallel ones may be executed by multiple threads. During the execution of an OpenMP program the threads communicate their data (read and modified) in the shared memory. One advantage of OpenMP is the global view of the memory address space of an application. This allows relatively a fast development of parallel applications with easier maintenance. However, it is often difficult to get high rates of performances in large scale-applications.
 128
 129 \subsection{MPI}
 130
 131
 132 MPI (Message Passing Interface) is a portable message passing style of the parallel programming designed especially for the distributed memory architectures~\cite{Peter96}. In most MPI implementations, a computation contains a fixed set of processes created at the initialization of the program in such way one process is created per processor. The processes synchronize their computations and communicate by sending/receiving messages to/from other processes. In this case, the data are explicitly exchanged by message passing while the data exchanges are implicit in a multithread programming model like OpenMP and Pthreads. However in the MPI programming model, the processes may either execute different programs referred to as multiple program multiple data (MPMD) or every process executes the same program (SPMD). The MPI approach is one of most used HPC programming model to solve large scale and complex applications.
 133
 134 \subsection{CUDA}
 135
 136
 137 CUDA (Compute Unified Device Architecture) is a parallel computing architecture developed by NVIDIA~\cite{CUDA15} for GPUs. It provides a high level GPGPU-based programming model to program GPUs for general purpose computations and non-graphic applications. The GPU is viewed as an accelerator such that data-parallel operations of a CUDA program running on a CPU are off-loaded onto GPU and executed by this later. The data-parallel operations executed by GPUs are called kernels. The same kernel is executed in parallel by a large number of threads organized in grids of thread blocks, such that each GPU multiprocessor executes one or more thread blocks in SIMD fashion (Single Instruction, Multiple Data) and in turn each core of the multiprocessor executes one or more threads within a block. Threads within a block can cooperate by sharing data through a fast shared memory and coordinate their execution through synchronization points. In contrast, within a grid of thread blocks, there is no synchronization at all between blocks. The GPU only works on data filled in the global memory and the final results of the kernel executions must be transferred out of the GPU. In the GPU, the global memory has lower bandwidth than the shared memory associated to each multiprocessor. Thus in the CUDA programming, it is necessary to design carefully the arrangement of the thread blocks in order to ensure low latency and a proper usage of the shared memory, and the global memory accesses should be minimized.
 138
 139
 140 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 141 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 142
 143 \section{The Ehrlich-Aberth algorithm on a GPU}
 144 \label{sec3}
 145
 146 \subsection{The Ehrlich-Aberth method}
 147
 148 The Ehrlich-Aberth method is a simultaneous method~\cite{Aberth73} using the following iteration
 149 \begin{equation}
 150 \label{Eq:EA1}
 151 z^{k+1}_{i}=z_{i}^{k}-\frac{\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}}
 152 {1-\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}{\frac{1}{(z_{i}^{k}-z_{j}^{k})}}}, i=1,\ldots,n
 153 \end{equation}
 154
 155 This method contains 4 steps. The first step consists in the
 156 initializing the polynomial. The second step initializes the solution
 157 vector $Z$ using the Guggenheimer method~\cite{Gugg86} to ensure that
 158 initial roots are all distinct from each other. In step 3, the
 159 iterative function based on the Newton's method~\cite{newt70} and
 160 Weiestrass operator~\cite{Weierstrass03} is applied. In our case, the
 161 Ehrlich-Aberth is applied as in~(\ref{Eq:EA1}). Iterations of the
 162 Ehrlich-Aberth method will converge to the roots of the considered
 163 polynomial. In order to stop the iterative function, a stop condition
 164 is applied, this is the 4th step. This condition checks that all the
 165 root modules are lower than a fixed value $\epsilon$.
 166
 167 \begin{equation}
 168 \label{eq:Aberth-Conv-Cond}
 169 \forall i\in[1,n],~\vert\frac{z_i^k-z_i^{k-1}}{z_i^k}\vert<\epsilon
 170 \end{equation}
 171
 172 \subsection{Improving Ehrlich-Aberth method}
 173 With high degree polynomials, the Ehrlich-Aberth method suffers from floating point overflows due to the mantissa of floating points representations. This induces errors in the computation of $p(z)$ when $z$ is large.
 174
 175
 176 In order to solve this problem, we propose to modify the iterative
 177 function by using the logarithm and the exponential of a complex and
 178 we propose a new version of the Ehrlich-Aberth method.  This method
 179 allows us to exceed the computation of the polynomials of degree
 180 100,000 and to reach a degree up to more than 1,000,000. The reformulation of the iteration~(\ref{Eq:EA1}) of the Ehrlich-Aberth method with exponential and logarithm is defined as follows, for $i=1,\dots,n$:
 181
 182 \begin{equation}
 183 \label{Log_H2}
 184 z^{k+1}_i = z_i^k - \exp(\ln(p(z_i^k)) - \ln(p'(z^k_i)) - \ln(1-Q(z^k_i))),
 185 \end{equation}
 186
 187 where:
 188
 189 \begin{equation}
 190 \label{Log_H1}
 191 Q(z^k_i) = \exp(\ln(p(z^k_i)) - \ln(p'(z^k_i)) + \ln(\sum_{i\neq j}^n\frac{1}{z^k_i-z^k_j})).
 192 \end{equation}
 193
 194
 195
 196 Using the logarithm  and the exponential operators, we can replace any multiplications and divisions with additions and subtractions. Consequently, computations manipulate lower values in absolute values~\cite{Karimall98}.
 197
 198
 199 \subsection{The Ehrlich-Aberth parallel implementation on CUDA}
 200
 201
 202
 203
 204 The code is organized as kernels which are parts of code that are run
 205 on GPU devices. Algorithm~\ref{alg1-cuda} describes the CUDA
 206 implementation of the Ehrlich-Aberth on a GPU.  This algorithms starts
 207 by initializinf the polynomial and its derivative (line 1). The
 208 initialization of the roots is performed (line 2). Data are transfered
 209 from the CPU to the GPU (after allocation of the required memory on
 210 the GPU) (line 3). Then at each iteration, if the error is greater
 211 than a threshold, the following operations are performed. The previous
 212 roots are saved using a kernel (line 5). Then the new root with the
 213 new iterations are computed using the EA method with a Gauss Seidel
 214 iteration modes in order to use the lastest roots updated (line
 215 6). This improves the convergence. This kernel is, in pratice, very
 216 long since it performs all the operations with complex numbers with
 217 the normal mode of the EA method but also with the
 218 logarithm-exponential one. Then the error is computed with a final
 219 kernel (line 7). Finally when the EA method has converged, the roots
 220 are transferred from the GPU to the CPU.
 221
 222 \begin{algorithm}[htpb]
 223 \label{alg1-cuda}
 224 \LinesNumbered
 225 \SetAlgoNoLine
 226 \caption{Finding roots of polynomials with the Ehrlich-Aberth method on a GPU}
 227 \KwIn{ $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 228 \KwOut{$Z$ (solution vector of roots)}
 229 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 230 Set the initial values of vector $Z$\;
 231 Copy $P$, $P'$ and $Z$ from CPU to GPU\;
 232 \While{$error > \epsilon$}{
 233   $Z^{prev}$ = KernelSave($Z$)\;
 234   $Z$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 235   $error$ = KernelComputeError($Z,Z^{prev}$)\;
 236 }
 237 Copy $Z$ from GPU to CPU\;
 238 \end{algorithm}
 239
 240
 241 The development of this code is a rather long task, as the development
 242 of corresponding kernels with CUDA is longer than on a CPU host. This
 243 comes in particular from the fact that it is very difficult to debug
 244 CUDA running threads like threads on a CPU host.  In the following
 245 section the GPU parallel implementation of Ehrlich-Aberth method with
 246 OpenMP and MPI is presented.
 247
 248
 249
 250
 251
 252 \section{The EA algorithm on multiple GPUs}
 253 \label{sec4}
 254 \subsection{an OpenMP-CUDA approach}
 255 Our OpenMP-CUDA implementation of EA algorithm is based on the hybrid
 256 OpenMP and CUDA programming model.  All the data are shared with
 257 OpenMP amoung all the OpenMP threads. The shared data are the solution
 258 vector $Z$, the polynomial to solve $P$, and the error vector $\Delta
 259 z$. The number of OpenMP threads is equal to the number of GPUs, each
 260 OpenMP thread binds to one GPU, and it controls a part of the shared
 261 memory. More precisely each OpenMP thread will be responsible to
 262 update its owns part of the vector Z. This part is call $Z_{loc}$ in
 263 the following. Then all GPUs will have a grid of computation organized
 264 according to the device performance and the size of data on which it
 265 runs the computation kernels.
 266
 267 To compute one iteration of the EA method each GPU performs the
 268 followings steps. First roots are shared with OpenMP and the
 269 computation of the local size for each GPU is performed (lines 5-7 in
 270 Algorithm \ref{alg2-cuda-openmp}). Each thread starts by copying all the
 271 previous roots inside its GPU (line 9). Then each GPU will copy the
 272 previous roots (line 10) and it will compute an iteration of the EA
 273 method on its own roots (line 11).  For that all the other roots are
 274 used. The convergence is checked on the new roots (line 12). At the end
 275 of an iteration, the updated roots are copied from the GPU to the
 276 CPU (line 14) by direcly updating its own roots in the shared memory
 277 arrays containing all the roots.
 278
 279
 280
 281 \begin{algorithm}[htpb]
 282 \label{alg2-cuda-openmp}
 283 \LinesNumbered
 284 \SetAlgoNoLine
 285 \caption{Finding roots of polynomials with the Ehrlich-Aberth method on multiple GPUs using OpenMP}
 286 \KwIn{ $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 287 \KwOut{$Z$ (solution vector of roots)}
 288 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 289 Set the initial values of vector $Z$\;
 290 Start of a parallel part with OpenMP ($Z$, $error$, $P$, $P'$ are shared variables)\;
 291 Determine the local part of the OpenMP thread\;
 292 Copy $P$, $P'$ from CPU to GPU\;
 293 \While{$error > \epsilon$}{
 294   Copy $Z$ from CPU to GPU\;
 295   $Z^{prev}_{loc}$ = KernelSave($Z_{loc}$)\;
 296   $Z_{loc}$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 297   $error_{loc}$ = KernelComputeError($Z_{loc},Z^{prev}_{loc}$)\;
 298   $error = max(error_{loc})$\;
 299   Copy $Z_{loc}$ from GPU to $Z$ in CPU\;
 300 }
 301 \end{algorithm}
 302
 303
 304
 305
 306
 307 \subsection{a MPI-CUDA approach}
 308
 309 Our parallel implementation of EA to find root of polynomials using a
 310 CUDA-MPI approach follows a similar computing approach to the one used
 311 in CUDA-OpenMP. Each process is responsible to compute its own part of
 312 roots using all the roots computed by other processors at the previous
 313 iteration. The difference between both approaches lies in the way
 314 processes communicate and exchange data. With MPI processors need to
 315 send and receive data explicitely. So in
 316 Algorithm~\ref{alg2-cuda-mpi}, after the initialization all the
 317 processors have the same $Z$ vector. Then they need to compute the
 318 parameters used by the $MPI\_AlltoAll$ routines (line 4). In practise,
 319 each processor needs to compute its offset and its local size. Then
 320 processors need to allocate memory on their GPU (line 5). At the
 321 beginning of each iteration, a processor starts by transfering the
 322 whole vector Z from the CPU to the GPU (line 7). Then only the local
 323 part of $Z^{prev}$ is saved (line 8). After that, a processor is able
 324 to compute its own roots (line 9). Next, the local error can be
 325 computed (ligne 10) and the global error (line 11). Then the local
 326 roots are transfered from the GPU memory to the CPU memory (line 12)
 327 before being exchanged between all processors (linge 13) in order to
 328 give to all processors the last version of the roots. If the
 329 convergence is not statisfied, an new iteration is executed.
 330
 331
 332
 333 \begin{algorithm}[htpb]
 334 \label{alg2-cuda-mpi}
 335 \LinesNumbered
 336 \SetAlgoNoLine
 337 \caption{CUDA-MPI Algorithm to find roots with the Ehrlich-Aberth method}
 338
 339 \KwIn{  $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 340
 341 \KwOut {$Z$ (solution vector of roots)}
 342
 343 \BlankLine
 344 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 345 Set the initial values of vector $Z$\;
 346 Determine the local part of the MPI process\;
 347 Computation of the parameters for the $MPI\_AlltoAll$\;
 348 Copy $P$, $P'$ from CPU to GPU\;
 349 \While {$error > \epsilon$}{
 350   Copy $Z$ from CPU to GPU\;
 351   $Z^{prev}_{loc}$ = KernelSave($Z_{loc}$)\;
 352   $Z_{loc}$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 353   $error_{loc}$ = KernelComputeError($Z_{loc},Z^{prev}_{loc}$)\;
 354   $error=MPI\_Reduce(error_{loc})$\;
 355   Copy $Z_{loc}$ from GPU to CPU\;
 356   $Z=MPI\_AlltoAll(Z_{loc})$\;
 357 }
 358 \end{algorithm}
 359
 360
 361 \section{Experiments}
 362 \label{sec5}
 363 We study two categories of polynomials: sparse polynomials and full polynomials.\\
 364 {\it A sparse polynomial} is a polynomial for which only some coefficients are not null. In this paper, we consider sparse polynomials for which the roots are distributed on 2 distinct circles:
 365 \begin{equation}
 366         \forall \alpha_{1} \alpha_{2} \in C,\forall n_{1},n_{2} \in N^{*}; P(z)= (z^{n_{1}}-\alpha_{1})(z^{n_{2}}-\alpha_{2})
 367 \end{equation}\noindent
 368 {\it A full polynomial} is, in contrast, a polynomial for which all the coefficients are not null. A full polynomial is defined by:
 369 %%\begin{equation}
 370         %%\forall \alpha_{i} \in C,\forall n_{i}\in N^{*}; P(z)= \sum^{n}_{i=1}(z^{n^{i}}.a_{i})
 371 %%\end{equation}
 372
 373 \begin{equation}
 374      {\Large \forall a_{i} \in C, i\in N;  p(x)=\sum^{n}_{i=0} a_{i}.x^{i}}
 375 \end{equation}
 376
 377 For our test, 4 cards GPU tesla Kepler K40 are used.  In order to
 378 evaluate both the GPU and Multi-GPU approaches, we performed a set of
 379 experiments on a single GPU and multiple GPUs using OpenMP or MPI with
 380 the EA algorithm, for both sparse and full polynomials of different
 381 sizes.  All experimental results obtained are perfomed with double
 382 precision float data and the convergence threshold of the EA method is
 383 set to $10^{-7}$.  The initialization values of the vector solution of
 384 the methods are given by Guggenheimer method~\cite{Gugg86}.
 385
 386
 387 \subsection{Evaluation of the CUDA-OpenMP approach}
 388
 389 Here we report some experiments witt full and sparse polynomials of
 390 different degrees with multiple GPUs.
 391 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
 392
 393 In this experiments we report the execution time of the EA algorithm, on single GPU and multi-GPUs with (2,3,4) GPUs, for different sparse polynomial degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
 394
 395 \begin{figure}[htbp]
 396 \centering
 397   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_omp}
 398 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 399   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
 400 \label{fig:01}
 401 \end{figure}
 402
 403 Figure~\ref{fig:01} shows that the CUDA-OpenMP approach scales well
 404 with multiple GPUs. This version allows us to solve sparse polynomials
 405 of very high degrees.
 406
 407 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve full polynomials on multiple GPUs}
 408
 409 These experiments show the execution times of the EA algorithm, on a single GPU and on multiple GPUs using the CUDA OpenMP approach for full polynomials of degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
 410
 411 \begin{figure}[htbp]
 412 \centering
 413   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_omp}
 414 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 415   solve full polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
 416 \label{fig:02}
 417 \end{figure}
 418
 419 In Figure~\ref{fig:02}, we can observe that with full polynomials the EA version with
 420 CUDA-OpenMP scales also well. Using 4 GPUs allows us to achieve a
 421 quasi-linear speedup.
 422
 423 \subsection{Evaluation of the CUDA-MPI approach}
 424 In this part we perform some experiments to evaluate the CUDA-MPI
 425 approach to solve full and sparse polynomials of degrees ranging from
 426 100,000 to 1,400,000.
 427
 428 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
 429
 430 \begin{figure}[htbp]
 431 \centering
 432   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_mpi}
 433 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 434   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-MPI.}
 435 \label{fig:03}
 436 \end{figure}
 437 Figure~\ref{fig:03} shows the execution times of te EA algorithm,
 438 for a single GPU, and multiple GPUs (2, 3, 4) with the CUDA-MPI approach.
 439
 440 \subsubsection{Execution time of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials on multiple GPUs using the Multi-GPU appraoch}
 441
 442 \begin{figure}[htbp]
 443 \centering
 444  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_mpi}
 445 \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for
 446   full polynomials on  multiple GPUs with CUDA-MPI.}
 447 \label{fig:04}
 448 \end{figure}
 449
 450 In Figure~\ref{fig:04}, we can also observe that the CUDA-MPI approach
 451 is also efficient to solve full polynimails on multiple GPUs.
 452
 453 \subsection{Comparison of  the CUDA-OpenMP and the CUDA-MPI approaches}
 454
 455 In the previuos section we saw that both approches are very effecient
 456 to  reduce the execution times the  sparse and full polynomials. In
 457 this section we try to compare these two approaches.
 458
 459 \subsubsection{Solving sparse polynomials}
 460 In this experiment three sparse polynomials of size 200K, 800K and 1,4M are investigated.
 461 \begin{figure}[htbp]
 462 \centering
 463  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse}
 464 \caption{Execution times  to solvs sparse polynomials of three
 465   distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP with the
 466   Ehrlich-Aberth method}
 467 \label{fig:05}
 468 \end{figure}
 469 In Figure~\ref{fig:05} there is one curve for CUDA-MPI and another one
 470 for CUDA-OpenMP. We can see that the results are quite similar between
 471 OpenMP and MPI for the polynomials size of 200K. For the size of 800K,
 472 the MPI version is a little bit slower than the OpenMP approach but for
 473 the 1,4 millions size, there is a slight advantage for the MPI
 474 version.
 475
 476 \subsubsection{Solving full polynomials}
 477 \begin{figure}[htbp]
 478 \centering
 479  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full}
 480 \caption{Execution time for solving full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP approaches using Ehrlich-Aberth}
 481 \label{fig:06}
 482 \end{figure}
 483 In Figure~\ref{fig:06}, we can see that when it comes to full polynomials, both approaches are almost equivalent.
 484
 485 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-MPI}
 486
 487 In this experiment we compare the execution time of the EA algorithm
 488 according to the number of GPUs to solve sparse and full
 489 polynomials on multiples GPUs using MPI. We chose three sparse and full
 490 polynomials of size 200K, 800K and 1,4M.
 491 \begin{figure}[htbp]
 492 \centering
 493  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{MPI}
 494 \caption{Execution times to solve sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI.}
 495 \label{fig:07}
 496 \end{figure}
 497 In Figure~\ref{fig:07} we can see that CUDA-MPI can solve sparse and
 498 full polynomials of high degrees, the execution times with sparse
 499 polynomial are very low compared to full polynomials. With sparse
 500 polynomials the number of monomials is reduced, consequently the number
 501 of operations is reduced and the execution time decreases.
 502
 503 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-OpenMP}
 504
 505 \begin{figure}[htbp]
 506 \centering
 507  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{OMP}
 508 \caption{Execution time for solving sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using OpenMP}
 509 \label{fig:08}
 510 \end{figure}
 511
 512 Figure ~\ref{fig:08} shows the impact of sparsity on the effectiveness of the CUDA-OpenMP approach. We can see that the impact follows the same pattern, a difference in execution time in favor of the sparse polynomials.
 513
 514 \subsection{Scalability of the EA method on multiple GPUs to solve very high degree polynomials}
 515 These experiments report the execution times of the EA method for
 516 sparse and full polynomials ranging from 1,000,000 to 5,000,000.
 517 \begin{figure}[htbp]
 518 \centering
 519  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{big}
 520  \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials of high degree on 4 GPUs for sizes ranging from 1M to 5M}
 521 \label{fig:09}
 522 \end{figure}
 523 In Figure~\ref{fig:09} we can see that both approaches are scalable
 524 and can solve very high degree polynomials. In addition, with full polynomial as well as sparse ones, both
 525 approaches give very similar results.
 526
 527 %SIDER JE viens de virer \c ca For sparse polynomials here are a noticeable difference in favour of MPI when the degree is
 528 %above 4 millions. Between 1  and 3 millions, OpenMP is more effecient.
 529 %Under 1 million, OpenMPI and MPI are almost equivalent.
 530
 531 %SIDER : il faut une explication sur les différences ici aussi.
 532
 533
 534 \section{Conclusion}
 535 \label{sec6}
 536 In this paper, we have presented a parallel implementation of
 537 Ehrlich-Aberth algorithm to solve full and sparse polynomials, on
 538 single GPU with CUDA and on multiple GPUs using two parallel
 539 paradigms: shared memory with OpenMP and distributed memory with
 540 MPI. These architectures were addressed by a CUDA-OpenMP approach and
 541 CUDA-MPI approach, respectively.  Experiments show that, using
 542 parallel programming model like (OpenMP, MPI). We can efficiently
 543 manage multiple graphics cards to solve the same
 544 problem and accelerate the parallel execution with 4 GPUs and solve a
 545 polynomial of degree up to 5,000,000, four times faster than on single
 546 GPU.
 547
 548
 549 Our next objective is to extend the model presented here with clusters
 550 of GPU nodes, with a three-level scheme: inter-node communication via
 551 MPI processes (distributed memory), management of multi-GPU node by
 552 OpenMP threads (shared memory).
 553
 554
 555 \section*{Acknowledgment}
 556
 557 Computations have been performed on the supercomputer facilities of
 558 the Mésocentre de calcul de Franche-Comté. We also would like to thank
 559 Nvidia for hardware donation under CUDA Research Center 2014.
 560
 561
 562
 563 \bibliography{mybibfile}
 564
 565 \end{document}
 566
 567