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Private GIT Repository
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[kahina_paper2.git] / paper.tex
1
2 %% bare_conf.tex
3 %% V1.4b
4 %% 2015/08/26
5 %% by Michael Shell
6 %% See:
7 %% http://www.michaelshell.org/
8 %% for current contact information.
9 %%
10 %% This is a skeleton file demonstrating the use of IEEEtran.cls
11 %% (requires IEEEtran.cls version 1.8b or later) with an IEEE
12 %% conference paper.
13 %%
14 %% Support sites:
15 %% http://www.michaelshell.org/tex/ieeetran/
16 %% http://www.ctan.org/pkg/ieeetran
17 %% and
18 %% http://www.ieee.org/
19
20 %%*************************************************************************
21 %% Legal Notice:
22 %% This code is offered as-is without any warranty either expressed or
23 %% implied; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or
24 %% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE! 
25 %% User assumes all risk.
26 %% In no event shall the IEEE or any contributor to this code be liable for
27 %% any damages or losses, including, but not limited to, incidental,
28 %% consequential, or any other damages, resulting from the use or misuse
29 %% of any information contained here.
30 %%
31 %% All comments are the opinions of their respective authors and are not
32 %% necessarily endorsed by the IEEE.
33 %%
34 %% This work is distributed under the LaTeX Project Public License (LPPL)
35 %% ( http://www.latex-project.org/ ) version 1.3, and may be freely used,
36 %% distributed and modified. A copy of the LPPL, version 1.3, is included
37 %% in the base LaTeX documentation of all distributions of LaTeX released
38 %% 2003/12/01 or later.
39 %% Retain all contribution notices and credits.
40 %% ** Modified files should be clearly indicated as such, including  **
41 %% ** renaming them and changing author support contact information. **
42 %%*************************************************************************
43
44
45 % *** Authors should verify (and, if needed, correct) their LaTeX system  ***
46 % *** with the testflow diagnostic prior to trusting their LaTeX platform ***
47 % *** with production work. The IEEE's font choices and paper sizes can   ***
48 % *** trigger bugs that do not appear when using other class files.       ***                          ***
49 % The testflow support page is at:
50 % http://www.michaelshell.org/tex/testflow/
51
52
53
54 \documentclass[conference]{IEEEtran}
55 % Some Computer Society conferences also require the compsoc mode option,
56 % but others use the standard conference format.
57 %
58 % If IEEEtran.cls has not been installed into the LaTeX system files,
59 % manually specify the path to it like:
60 % \documentclass[conference]{../sty/IEEEtran}
61
62
63
64
65
66 % Some very useful LaTeX packages include:
67 % (uncomment the ones you want to load)
68
69
70 % *** MISC UTILITY PACKAGES ***
71 %
72 %\usepackage{ifpdf}
73 % Heiko Oberdiek's ifpdf.sty is very useful if you need conditional
74 % compilation based on whether the output is pdf or dvi.
75 % usage:
76 % \ifpdf
77 %   % pdf code
78 % \else
79 %   % dvi code
80 % \fi
81 % The latest version of ifpdf.sty can be obtained from:
82 % http://www.ctan.org/pkg/ifpdf
83 % Also, note that IEEEtran.cls V1.7 and later provides a builtin
84 % \ifCLASSINFOpdf conditional that works the same way.
85 % When switching from latex to pdflatex and vice-versa, the compiler may
86 % have to be run twice to clear warning/error messages.
87
88
89
90
91
92
93 % *** CITATION PACKAGES ***
94 %
95 %\usepackage{cite}
96 % cite.sty was written by Donald Arseneau
97 % V1.6 and later of IEEEtran pre-defines the format of the cite.sty package
98 % \cite{} output to follow that of the IEEE. Loading the cite package will
99 % result in citation numbers being automatically sorted and properly
100 % "compressed/ranged". e.g., [1], [9], [2], [7], [5], [6] without using
101 % cite.sty will become [1], [2], [5]--[7], [9] using cite.sty. cite.sty's
102 % \cite will automatically add leading space, if needed. Use cite.sty's
103 % noadjust option (cite.sty V3.8 and later) if you want to turn this off
104 % such as if a citation ever needs to be enclosed in parenthesis.
105 % cite.sty is already installed on most LaTeX systems. Be sure and use
106 % version 5.0 (2009-03-20) and later if using hyperref.sty.
107 % The latest version can be obtained at:
108 % http://www.ctan.org/pkg/cite
109 % The documentation is contained in the cite.sty file itself.
110
111
112
113
114
115
116 % *** GRAPHICS RELATED PACKAGES ***
117 %
118 \ifCLASSINFOpdf
119    \usepackage[pdftex]{graphicx}
120    
121   % declare the path(s) where your graphic files are
122   % \graphicspath{{../pdf/}{../jpeg/}}
123   % and their extensions so you won't have to specify these with
124   % every instance of \includegraphics
125   % \DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.jpeg,.png}
126 \else
127   % or other class option (dvipsone, dvipdf, if not using dvips). graphicx
128   % will default to the driver specified in the system graphics.cfg if no
129   % driver is specified.
130   % \usepackage[dvips]{graphicx}
131   % declare the path(s) where your graphic files are
132   % \graphicspath{{../eps/}}
133   % and their extensions so you won't have to specify these with
134   % every instance of \includegraphics
135   % \DeclareGraphicsExtensions{.eps}
136 \fi
137 % graphicx was written by David Carlisle and Sebastian Rahtz. It is
138 % required if you want graphics, photos, etc. graphicx.sty is already
139 % installed on most LaTeX systems. The latest version and documentation
140 % can be obtained at: 
141 % http://www.ctan.org/pkg/graphicx
142 % Another good source of documentation is "Using Imported Graphics in
143 % LaTeX2e" by Keith Reckdahl which can be found at:
144 % http://www.ctan.org/pkg/epslatex
145 %
146 % latex, and pdflatex in dvi mode, support graphics in encapsulated
147 % postscript (.eps) format. pdflatex in pdf mode supports graphics
148 % in .pdf, .jpeg, .png and .mps (metapost) formats. Users should ensure
149 % that all non-photo figures use a vector format (.eps, .pdf, .mps) and
150 % not a bitmapped formats (.jpeg, .png). The IEEE frowns on bitmapped formats
151 % which can result in "jaggedy"/blurry rendering of lines and letters as
152 % well as large increases in file sizes.
153 %
154 % You can find documentation about the pdfTeX application at:
155 % http://www.tug.org/applications/pdftex
156
157
158
159
160
161 % *** MATH PACKAGES ***
162 %
163 \usepackage{amsmath}
164 % A popular package from the American Mathematical Society that provides
165 % many useful and powerful commands for dealing with mathematics.
166 %
167 % Note that the amsmath package sets \interdisplaylinepenalty to 10000
168 % thus preventing page breaks from occurring within multiline equations. Use:
169 %\interdisplaylinepenalty=2500
170 % after loading amsmath to restore such page breaks as IEEEtran.cls normally
171 % does. amsmath.sty is already installed on most LaTeX systems. The latest
172 % version and documentation can be obtained at:
173 % http://www.ctan.org/pkg/amsmath
174
175
176
177
178
179 % *** SPECIALIZED LIST PACKAGES ***
180 %
181
182 % algorithmic.sty was written by Peter Williams and Rogerio Brito.
183 % This package provides an algorithmic environment fo describing algorithms.
184 % You can use the algorithmic environment in-text or within a figure
185 % environment to provide for a floating algorithm. Do NOT use the algorithm
186 % floating environment provided by algorithm.sty (by the same authors) or
187 % algorithm2e.sty (by Christophe Fiorio) as the IEEE does not use dedicated
188 % algorithm float types and packages that provide these will not provide
189 % correct IEEE style captions. The latest version and documentation of
190 % algorithmic.sty can be obtained at:
191 % http://www.ctan.org/pkg/algorithms
192 % Also of interest may be the (relatively newer and more customizable)
193 % algorithmicx.sty package by Szasz Janos:
194 % http://www.ctan.org/pkg/algorithmicx
195 \usepackage[ruled,vlined]{algorithm2e}
196
197
198
199 % *** ALIGNMENT PACKAGES ***
200 %
201 %\usepackage{array}
202 % Frank Mittelbach's and David Carlisle's array.sty patches and improves
203 % the standard LaTeX2e array and tabular environments to provide better
204 % appearance and additional user controls. As the default LaTeX2e table
205 % generation code is lacking to the point of almost being broken with
206 % respect to the quality of the end results, all users are strongly
207 % advised to use an enhanced (at the very least that provided by array.sty)
208 % set of table tools. array.sty is already installed on most systems. The
209 % latest version and documentation can be obtained at:
210 % http://www.ctan.org/pkg/array
211
212
213 % IEEEtran contains the IEEEeqnarray family of commands that can be used to
214 % generate multiline equations as well as matrices, tables, etc., of high
215 % quality.
216
217
218
219
220 % *** SUBFIGURE PACKAGES ***
221 %\ifCLASSOPTIONcompsoc
222 %  \usepackage[caption=false,font=normalsize,labelfont=sf,textfont=sf]{subfig}
223 %\else
224 %  \usepackage[caption=false,font=footnotesize]{subfig}
225 %\fi
226 % subfig.sty, written by Steven Douglas Cochran, is the modern replacement
227 % for subfigure.sty, the latter of which is no longer maintained and is
228 % incompatible with some LaTeX packages including fixltx2e. However,
229 % subfig.sty requires and automatically loads Axel Sommerfeldt's caption.sty
230 % which will override IEEEtran.cls' handling of captions and this will result
231 % in non-IEEE style figure/table captions. To prevent this problem, be sure
232 % and invoke subfig.sty's "caption=false" package option (available since
233 % subfig.sty version 1.3, 2005/06/28) as this is will preserve IEEEtran.cls
234 % handling of captions.
235 % Note that the Computer Society format requires a larger sans serif font
236 % than the serif footnote size font used in traditional IEEE formatting
237 % and thus the need to invoke different subfig.sty package options depending
238 % on whether compsoc mode has been enabled.
239 %
240 % The latest version and documentation of subfig.sty can be obtained at:
241 % http://www.ctan.org/pkg/subfig
242
243
244
245
246 % *** FLOAT PACKAGES ***
247 %
248 %\usepackage{fixltx2e}
249 % fixltx2e, the successor to the earlier fix2col.sty, was written by
250 % Frank Mittelbach and David Carlisle. This package corrects a few problems
251 % in the LaTeX2e kernel, the most notable of which is that in current
252 % LaTeX2e releases, the ordering of single and double column floats is not
253 % guaranteed to be preserved. Thus, an unpatched LaTeX2e can allow a
254 % single column figure to be placed prior to an earlier double column
255 % figure.
256 % Be aware that LaTeX2e kernels dated 2015 and later have fixltx2e.sty's
257 % corrections already built into the system in which case a warning will
258 % be issued if an attempt is made to load fixltx2e.sty as it is no longer
259 % needed.
260 % The latest version and documentation can be found at:
261 % http://www.ctan.org/pkg/fixltx2e
262
263
264 %\usepackage{stfloats}
265 % stfloats.sty was written by Sigitas Tolusis. This package gives LaTeX2e
266 % the ability to do double column floats at the bottom of the page as well
267 % as the top. (e.g., "\begin{figure*}[!b]" is not normally possible in
268 % LaTeX2e). It also provides a command:
269 %\fnbelowfloat
270 % to enable the placement of footnotes below bottom floats (the standard
271 % LaTeX2e kernel puts them above bottom floats). This is an invasive package
272 % which rewrites many portions of the LaTeX2e float routines. It may not work
273 % with other packages that modify the LaTeX2e float routines. The latest
274 % version and documentation can be obtained at:
275 % http://www.ctan.org/pkg/stfloats
276 % Do not use the stfloats baselinefloat ability as the IEEE does not allow
277 % \baselineskip to stretch. Authors submitting work to the IEEE should note
278 % that the IEEE rarely uses double column equations and that authors should try
279 % to avoid such use. Do not be tempted to use the cuted.sty or midfloat.sty
280 % packages (also by Sigitas Tolusis) as the IEEE does not format its papers in
281 % such ways.
282 % Do not attempt to use stfloats with fixltx2e as they are incompatible.
283 % Instead, use Morten Hogholm'a dblfloatfix which combines the features
284 % of both fixltx2e and stfloats:
285 %
286 % \usepackage{dblfloatfix}
287 % The latest version can be found at:
288 % http://www.ctan.org/pkg/dblfloatfix
289
290
291
292
293 % *** PDF, URL AND HYPERLINK PACKAGES ***
294 %
295 %\usepackage{url}
296 % url.sty was written by Donald Arseneau. It provides better support for
297 % handling and breaking URLs. url.sty is already installed on most LaTeX
298 % systems. The latest version and documentation can be obtained at:
299 % http://www.ctan.org/pkg/url
300 % Basically, \url{my_url_here}.
301
302
303
304
305 % *** Do not adjust lengths that control margins, column widths, etc. ***
306 % *** Do not use packages that alter fonts (such as pslatex).         ***
307 % There should be no need to do such things with IEEEtran.cls V1.6 and later.
308 % (Unless specifically asked to do so by the journal or conference you plan
309 % to submit to, of course. )
310
311
312 % correct bad hyphenation here
313 \hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor}
314 %\usepackage{graphicx}
315 \bibliographystyle{IEEEtran}
316 % argument is your BibTeX string definitions and bibliography database(s)
317 %\bibliography{IEEEabrv,../bib/paper}
318 %\bibliographystyle{elsarticle-num}
319
320
321
322
323 \usepackage{amsfonts}
324 \usepackage[utf8]{inputenc}
325 \usepackage[T1]{fontenc}
326 \usepackage[textsize=footnotesize]{todonotes}
327 \newcommand{\LZK}[2][inline]{%
328   \todo[color=red!10,#1]{\sffamily\textbf{LZK:} #2}\xspace}
329 \newcommand{\RC}[2][inline]{%
330   \todo[color=blue!10,#1]{\sffamily\textbf{RC:} #2}\xspace}
331 \newcommand{\KG}[2][inline]{%
332   \todo[color=green!10,#1]{\sffamily\textbf{KG:} #2}\xspace}
333 \newcommand{\AS}[2][inline]{%
334   \todo[color=orange!10,#1]{\sffamily\textbf{AS:} #2}\xspace}
335
336
337
338
339 \begin{document}
340 %
341 % paper title
342 % Titles are generally capitalized except for words such as a, an, and, as,
343 % at, but, by, for, in, nor, of, on, or, the, to and up, which are usually
344 % not capitalized unless they are the first or last word of the title.
345 % Linebreaks \\ can be used within to get better formatting as desired.
346 % Do not put math or special symbols in the title.
347 \title{Two parallel implementations of Ehrlich-Aberth algorithm for root-finding of polynomials on multiple GPUs with OpenMP and MPI}
348
349
350 % author names and affiliations
351 % use a multiple column layout for up to three different
352 % affiliations
353 \author{\IEEEauthorblockN{Kahina Guidouche, Abderrahmane Sider }
354   \IEEEauthorblockA{Laboratoire LIMED\\
355     Faculté des sciences exactes\\
356     Université de Bejaia, 06000, Algeria\\
357 Email: \{kahina.ghidouche,ar.sider\}@univ-bejaia.dz}
358 \and
359 \IEEEauthorblockN{Lilia Ziane Khodja, Raphaël Couturier}
360 \IEEEauthorblockA{FEMTO-ST Institute\\
361   University of   Bourgogne Franche-Comte, France\\
362 Email: zianekhodja.lilia@gmail.com\\ raphael.couturier@univ-fcomte.fr}}
363
364 % conference papers do not typically use \thanks and this command
365 % is locked out in conference mode. If really needed, such as for
366 % the acknowledgment of grants, issue a \IEEEoverridecommandlockouts
367 % after \documentclass
368
369 % for over three affiliations, or if they all won't fit within the width
370 % of the page, use this alternative format:
371
372 %\author{\IEEEauthorblockN{Michael Shell\IEEEauthorrefmark{1},
373 %Homer Simpson\IEEEauthorrefmark{2},
374 %James Kirk\IEEEauthorrefmark{3}, 
375 %Montgomery Scott\IEEEauthorrefmark{3} and
376 %Eldon Tyrell\IEEEauthorrefmark{4}}
377 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{1}School of Electrical and Computer Engineering\\
378 %Georgia Institute of Technology,
379 %Atlanta, Georgia 30332--0250\\ Email: see http://www.michaelshell.org/contact.html}
380 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{2}Twentieth Century Fox, Springfield, USA\\
381 %Email: homer@thesimpsons.com}
382 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{3}Starfleet Academy, San Francisco, California 96678-2391\\
383 %Telephone: (800) 555--1212, Fax: (888) 555--1212}
384 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{4}Tyrell Inc., 123 Replicant Street, Los Angeles, California 90210--4321}}
385
386
387
388
389 % use for special paper notices
390 %\IEEEspecialpapernotice{(Invited Paper)}
391
392
393
394
395 % make the title area
396 \maketitle
397
398 % As a general rule, do not put math, special symbols or citations
399 % in the abstract
400 \begin{abstract}
401 Finding roots of polynomials is a very important part of solving
402 real-life problems but it is not so easy for polynomials of high
403 degrees. In this paper, we present two different parallel algorithms
404 of the Ehrlich-Aberth method to find roots of sparse and fully defined
405 polynomials of high degrees. Both algorithms are based on CUDA
406 technology to be implemented on multi-GPU computing platforms but each
407 using different parallel paradigms: OpenMP or MPI. The experiments
408 show a quasi-linear speedup by using up-to 4 GPU devices compared to 1
409 GPU to find roots of polynomials of degree up-to 1.4
410 million. Moreover, other experiments show it is possible to find roots
411 of polynomials of degree up-to 5 millions.
412 \end{abstract}
413
414 % no keywords
415 \LZK{Faut pas mettre des keywords?}
416
417
418
419
420 % For peer review papers, you can put extra information on the cover
421 % page as needed:
422 % \ifCLASSOPTIONpeerreview
423 % \begin{center} \bfseries EDICS Category: 3-BBND \end{center}
424 % \fi
425 %
426 % For peerreview papers, this IEEEtran command inserts a page break and
427 % creates the second title. It will be ignored for other modes.
428 \IEEEpeerreviewmaketitle
429
430
431 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
432 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
433 \section{Introduction}
434 %Polynomials are mathematical algebraic structures that play an important role in science and engineering by capturing physical phenomena and expressing any outcome as a function of some unknown variables. Formally speaking, a polynomial $p(x)$ of degree $n$ having $n$ coefficients in the complex plane $\mathbb{C}$ is:
435 %\begin{equation}
436 %p(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}.
437 %\end{equation}
438 %\LZK{Dans ce cas le polynôme a $n+1$ coefficients et non pas $n$!}
439
440 %The issue of finding the roots of polynomials of very high degrees arises in many complex problems in various fields, such as algebra, biology, finance, physics or climatology [1]. In algebra for example, finding eigenvalues or eigenvectors of any real/complex matrix amounts to that of finding the roots of the so-called characteristic polynomial.
441
442 Finding roots of polynomials of very high degrees arises in many complex problems in various domains such as algebra, biology or physics. A polynomial $p(x)$ in $\mathbb{C}$ in one variable $x$ is an algebraic expression in $x$ of the form:
443 \begin{equation}
444 p(x) = \displaystyle\sum^n_{i=0}{a_ix^i},a_n\neq 0, 
445 \end{equation}
446 where $\{a_i\}_{0\leq i\leq n}$ are complex coefficients and $n$ is a high integer number. If $a_n\neq0$ then $n$ is called the degree of the polynomial. The root-finding problem consists in finding the $n$ different values of the unknown variable $x$ for which $p(x)=0$. Such values are called roots of $p(x)$. Let $\{z_i\}_{1\leq i\leq n}$ be the roots of polynomial $p(x)$, then $p(x)$ can be written as :
447 \begin{equation}
448  p(x)=a_n\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-z_i), a_n\neq 0.
449 \end{equation}
450 %\LZK{Pourquoi $a_0a_n\neq 0$ ?: $a_0$ pour la premiere equation et $a_n$ pour la deuxieme equation }
451
452 %The problem of finding the roots of polynomials can be encountered in numerous applications. \LZK{A mon avis on peut supprimer cette phrase}
453 Most of the numerical methods that deal with the polynomial root-finding problem are simultaneous methods, \textit{i.e.} the iterative methods to find simultaneous approximations of the $n$ polynomial roots. These methods start from the initial approximations of all $n$ polynomial roots and give a sequence of approximations that converge to the roots of the polynomial. Two examples of well-known simultaneous methods for root-finding problem of polynomials are  Durand-Kerner method~\cite{Durand60,Kerner66} and Ehrlich-Aberth method~\cite{Ehrlich67,Aberth73}.
454 %\LZK{Pouvez-vous donner des références pour les deux méthodes?, c'est fait}
455
456 %The first method of this group is Durand-Kerner method:
457 %\begin{equation}
458 %\label{DK}
459 % DK: z_i^{k+1}=z_{i}^{k}-\frac{P(z_i^{k})}{\prod_{i\neq j}(z_i^{k}-z_j^{k})},   i = 1, \ldots, n,
460 %\end{equation}
461 %where $z_i^k$ is the $i^{th}$ root of the polynomial $p$ at the iteration $k$. Another method discovered by Borsch-Supan~\cite{ Borch-Supan63} and also described by Ehrlich~\cite{Ehrlich67} and Aberth~\cite{Aberth73} uses a different iteration form as follows:
462 %%\begin{center}
463 %\begin{equation}
464 %\label{Eq:EA}
465  %EA: z_i^{k+1}=z_i^{k}-\frac{1}{{\frac {P'(z_i^{k})} {P(z_i^{k})}}-{\sum_{i\neq j}\frac{1}{(z_i^{k}-z_j^{k})}}}, i = 1, \ldots, n,
466 %\end{equation}
467 %%\end{center}
468 %where $p'(z)$ is the polynomial derivative of $p$ evaluated in the point $z$.
469
470 %Aberth, Ehrlich and Farmer-Loizou~\cite{Loizou83} have proved that
471 %the Ehrlich-Aberth method (EA) has a cubic order of convergence for simple roots whereas the Durand-Kerner has a quadratic order of %convergence.
472
473 The main problem of the simultaneous methods is that the necessary
474 time needed for the convergence increases with the increasing of the
475 polynomial's degree. Many authors have treated the problem of
476 implementing  simultaneous methods in
477 parallel. Freeman~\cite{Freeman89} implemented and compared
478 Durand-Kerner method, Ehrlich-Aberth method and another method of the
479 fourth order of convergence proposed by Farmer and
480 Loizou~\cite{Loizou83} on a 8-processor linear chain, for polynomials
481 of degree up-to 8. The method of Farmer and Loizou~\cite{Loizou83}
482 often diverges, but the first two methods (Durand-Kerner and
483 Ehrlich-Aberth methods) have a speed-up equals to 5.5. Later, Freeman
484 and Bane~\cite{Freemanall90} considered asynchronous algorithms in
485 which each processor continues to update its approximations even
486 though the latest values of other approximations $z^{k}_{i}$ have not
487 been received from the other processors, in contrast with synchronous
488 algorithms where it would wait those values before making a new
489 iteration. Couturier et al.~\cite{Raphaelall01} proposed two methods
490 of parallelization for a shared memory architecture with OpenMP and
491 for a distributed memory one with MPI. They are able to compute the
492 roots of sparse polynomials of degree 10,000 in 116 seconds with
493 OpenMP and 135 seconds with MPI only by using 8 personal computers and
494 2 communications per iteration. The authors showed an interesting
495 speedup comparing to the sequential implementation which takes up-to
496 3,300 seconds to obtain same results. 
497 \RC{si on donne des temps faut donner le proc, comme c'est vieux à mon avis faut supprimer ca, votre avis?} 
498 \LZK{Supprimons ces détails et mettons une référence s'il y en a une}
499
500 Very few work had been performed since then until the appearing of the Compute Unified Device Architecture (CUDA)~\cite{CUDA15}, a parallel computing platform and a programming model invented by NVIDIA. The computing power of GPUs (Graphics Processing Units) has exceeded that of traditional processors CPUs. However, CUDA adopts a totally new computing architecture to use the hardware resources provided by the GPU in order to offer a stronger computing ability to the massive data computing. Ghidouche et al.~\cite{Kahinall14} proposed an implementation of the Durand-Kerner method on a single GPU. Their main results showed that a parallel CUDA implementation is about 10 times faster than the sequential implementation on a single CPU for sparse polynomials of degree 48,000.
501
502 %Finding polynomial roots rapidly and accurately is the main objective of our work. In this paper we propose the parallelization of Ehrlich-Aberth method using two parallel programming paradigms OpenMP and MPI on multi-GPU platforms. We consider two architectures: shared memory and distributed memory computers. The first parallel algorithm is implemented on shared memory computers by using OpenMP API. It is based on threads created from the same system process, such that each thread is attached to one GPU. In this case the communications between GPUs are done by OpenMP threads through shared memory. The second parallel algorithm uses the MPI API, such that each GPU is attached and managed by a MPI process. The GPUs exchange their data by message-passing communications. This latter approach is more used on distributed memory clusters to solve very complex problems that are too large for traditional supercomputers, which are very expensive to build and run.
503 %\LZK{Cette partie est réécrite. \\ Sinon qu'est ce qui a été fait pour l'accuracy dans ce papier (Finding polynomial roots rapidly and accurately is the main objective of our work.)?}
504 %\LZK{Les contributions ne sont pas définies !!}
505
506 %In this paper we propose the parallelization of Ehrlich-Aberth method using two parallel programming paradigms OpenMP and MPI on CUDA multi-GPU platforms. Our CUDA-MPI and CUDA-OpenMP codes are the first implementations of Ehrlich-Aberth method with multiple GPUs for finding roots of polynomials. Our major contributions include:
507 %\LZK{Pourquoi la méthode Ehrlich-Aberth et pas autres? the Ehrlich-Aberth have very good convergence  and it is suitable to be implemented in parallel computers.}
508 In this paper we propose the parallelization of Ehrlich-Aberth method which has a good convergence and it is suitable to be implemented in parallel computers. We use two parallel programming paradigms OpenMP and MPI on CUDA multi-GPU platforms. Our CUDA-MPI and CUDA-OpenMP codes are the first implementations of Ehrlich-Aberth method with multiple GPUs for finding roots of polynomials. Our major contributions include:
509 \LZK{J'ai ajouté une phrase pour justifier notre choix de la méthode Ehrlich-Aberth. A revérifier.}
510  \begin{itemize}
511  %\item An improvements for the Ehrlich-Aberth method using the exponential logarithm in order to be able to solve sparse and full polynomial of degree up to 1, 000, 000.\RC{j'ai envie de virer ca, car c'est pas la nouveauté dans ce papier}
512  %\item A parallel implementation of Ehrlich-Aberth method on single GPU with CUDA.\RC{idem}
513 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a shared memory using OpenMP API. It is based on threads created from the same system process, such that each thread is attached to one GPU. In this case the communications between GPUs are done by OpenMP threads through shared memory.
514 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a distributed memory using MPI API, such that each GPU is attached and managed by a MPI process. The GPUs exchange their data by message-passing communications. 
515  \end{itemize}
516 This latter approach is more used on clusters to solve very complex problems that are too large for traditional supercomputers, which are very expensive to build and run.
517 \LZK{Pas d'autres contributions possibles? J'ai supprimé les deux premiers points proposés précédemment.}
518
519 %This paper is organized as follows. In Section~\ref{sec2} we recall the Ehrlich-Aberth method. In section~\ref{sec3} we present EA algorithm on single GPU. In section~\ref{sec4} we propose the EA algorithm implementation on Multi-GPU for (OpenMP-CUDA) approach and (MPI-CUDA) approach. In sectioné\ref{sec5} we present our experiments and discus it. Finally, Section~\ref{sec6} concludes this paper and gives some hints for future research directions in this topic.}
520
521 The paper is organized as follows. In Section~\ref{sec2} we present three different parallel programming models OpenMP, MPI and CUDA. In Section~\ref{sec3} we present the implementation of the Ehrlich-Aberth algorithm on a single GPU. In Section~\ref{sec4} we present the parallel implementations of the Ehrlich-Aberth algorithm on multiple GPUs using the OpenMP and MPI approaches. In section~\ref{sec5} we present our experiments and discuss them. Finally, Section~\ref{sec6} concludes this paper and gives some hints for future research directions in this topic. 
522 %\LZK{A revoir toute cette organization: je viens de la revoir}
523
524 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
525 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
526  
527 \section{Parallel programming models}
528 \label{sec2}
529 Our objective consists in implementing a root-finding algorithm of polynomials on multiple GPUs. To this end, it is primordial to know how to manage CUDA contexts of different GPUs. A direct method for controlling the various GPUs is to use as many threads or processes as GPU devices. We investigate two parallel paradigms: OpenMP and MPI. In this case, the GPU indices are defined according to the identifiers of the OpenMP threads or the ranks of the MPI processes. In this section we present the parallel programming models: OpenMP, MPI and CUDA.
530  
531 \subsection{OpenMP}
532 %Open Multi-Processing (OpenMP) is a shared memory architecture API that provides multi thread capacity~\cite{openmp13}. OpenMP is a portable approach for parallel programming on shared memory systems based on compiler directives, that can be included in order to parallelize a loop. In this way, a set of loops can be distributed along the different threads that will access to different data allocated in local shared memory. One of the advantages of OpenMP is its global view of application memory address space that allows relatively fast development of parallel applications with easier maintenance. However, it is often difficult to get high rates of performance in large scale applications. Although usage of OpenMP  threads and managed data explicitly done with MPI can be considered, this approcache undermines the advantages of OpenMP.
533
534 %\subsection{OpenMP} 
535 %OpenMP is a shared memory programming API based on threads from
536 %the same system process. Designed for multiprocessor shared memory UMA or
537 %NUMA [10], it relies on the execution model SPMD ( Single Program, Multiple Data Stream )
538 %where the thread "master" and threads "slaves" asynchronously execute their codes
539 %communicate / synchronize via shared memory [7]. It also helps to build
540 %the loop parallelism and is very suitable for an incremental code parallelization
541 %Sequential natively. Threads share some or all of the available memory and can
542 %have private memory areas [6].
543
544 OpenMP (Open Multi-processing) is an application programming interface for parallel programming~\cite{openmp13}. It is a portable approach based on the multithreading designed for shared memory computers, where a master thread forks a number of slave threads which execute blocks of code in parallel. An OpenMP program alternates sequential regions and parallel regions of code, where the sequential regions are executed by the master thread and the parallel ones may be executed by multiple threads. During the execution of an OpenMP program the threads communicate their data (read and modified) in the shared memory. One advantage of OpenMP is the global view of the memory address space of an application. This allows relatively a fast development of parallel applications with easier maintenance. However, it is often difficult to get high rates of performances in large scale-applications. 
545
546 \subsection{MPI} 
547 %The MPI (Message Passing Interface) library allows to create computer programs that run on a distributed memory architecture. The various processes have their own environment of execution and execute their code in a asynchronous way, according to the MIMD model  (Multiple Instruction streams, Multiple Data streams); they communicate and synchronize by exchanging messages~\cite{Peter96}. MPI messages are explicitly sent, while the exchanges are implicit within the framework of a multi-thread programming environment like OpenMP or Pthreads.
548
549 MPI (Message Passing Interface) is a portable message passing style of the parallel programming designed especially for the distributed memory architectures~\cite{Peter96}. In most MPI implementations, a computation contains a fixed set of processes created at the initialization of the program in such way one process is created per processor. The processes synchronize their computations and communicate by sending/receiving messages to/from other processes. In this case, the data are explicitly exchanged by message passing while the data exchanges are implicit in a multithread programming model like OpenMP and Pthreads. However in the MPI programming model, the processes may either execute different programs referred to as multiple program multiple data (MPMD) or every process executes the same program (SPMD). The MPI approach is one of most used HPC programming model to solve large scale and complex applications.
550  
551 \subsection{CUDA}
552 %CUDA (is an acronym of the Compute Unified Device Architecture) is a parallel computing architecture developed by NVIDIA~\cite{CUDA10}.The unit of execution in CUDA is called a thread. Each thread executes a kernel by the streaming processors in parallel. In CUDA, a group of threads that are executed together is called a thread block, and the computational grid consists of a grid of thread blocks. Additionally, a thread block can use the shared memory on a single multiprocessor while the grid executes a single CUDA program logically in parallel. Thus in CUDA programming, it is necessary to design carefully the arrangement of the thread blocks in order to ensure low latency and a proper usage of shared memory, since it can be shared only in a thread block scope. The effective bandwidth of each memory space depends on the memory access pattern. Since the global memory has lower bandwidth than the shared memory, the global memory accesses should be minimized.
553
554 CUDA (Compute Unified Device Architecture) is a parallel computing architecture developed by NVIDIA~\cite{CUDA15} for GPUs. It provides a high level GPGPU-based programming model to program GPUs for general purpose computations and non-graphic applications. The GPU is viewed as an accelerator such that data-parallel operations of a CUDA program running on a CPU are off-loaded onto GPU and executed by this later. The data-parallel operations executed by GPUs are called kernels. The same kernel is executed in parallel by a large number of threads organized in grids of thread blocks, such that each GPU multiprocessor executes one or more thread blocks in SIMD fashion (Single Instruction, Multiple Data) and in turn each core of the multiprocessor executes one or more threads within a block. Threads within a block can cooperate by sharing data through a fast shared memory and coordinate their execution through synchronization points. In contrast, within a grid of thread blocks, there is no synchronization at all between blocks. The GPU only works on data filled in the global memory and the final results of the kernel executions must be transferred out of the GPU. In the GPU, the global memory has lower bandwidth than the shared memory associated to each multiprocessor. Thus in the CUDA programming, it is necessary to design carefully the arrangement of the thread blocks in order to ensure low latency and a proper usage of the shared memory, and the global memory accesses should be minimized.
555
556 %We introduced three paradigms of parallel programming. Our objective consists in implementing a root finding polynomial algorithm on multiple GPUs. To this end, it is primordial to know how to manage CUDA contexts of different GPUs. A direct method for controlling the various GPUs is to use as many threads or processes as GPU devices. We can choose the GPU index based on the identifier of OpenMP thread or the rank of the MPI process. Both approaches will be investigated.
557
558 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
559 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
560
561 \section{The Ehrlich-Aberth algorithm on a GPU}
562 \label{sec3}
563
564 \subsection{The Ehrlich-Aberth method}
565 %A cubically convergent iteration method to find zeros of
566 %polynomials was proposed by O. Aberth~\cite{Aberth73}. The
567 %Ehrlich-Aberth (EA is short) method contains 4 main steps, presented in what
568 %follows.
569
570 %The Aberth method is a purely algebraic derivation. 
571 %To illustrate the derivation, we let $w_{i}(z)$ be the product of linear factors 
572
573 %\begin{equation}
574 %w_{i}(z)=\prod_{j=1,j \neq i}^{n} (z-x_{j})
575 %\end{equation}
576
577 %And let a rational function $R_{i}(z)$ be the correction term of the
578 %Weistrass method~\cite{Weierstrass03}
579
580 %\begin{equation}
581 %R_{i}(z)=\frac{p(z)}{w_{i}(z)} , i=1,2,...,n.
582 %\end{equation}
583
584 %Differentiating the rational function $R_{i}(z)$ and applying the
585 %Newton method, we have:
586
587 %\begin{equation}
588 %\frac{R_{i}(z)}{R_{i}^{'}(z)}= \frac{p(z)}{p^{'}(z)-p(z)\frac{w_{i}(z)}{w_{i}^{'}(z)}}= \frac{p(z)}{p^{'}(z)-p(z) \sum _{j=1,j \neq i}^{n}\frac{1}{z-x_{j}}}, i=1,2,...,n
589 %\end{equation}
590 %where R_{i}^{'}(z)is the rational function derivative of F evaluated in the point z 
591 %Substituting $x_{j}$ for $z_{j}$ we obtain the Aberth iteration method.% 
592
593
594 %\subsubsection{Polynomials Initialization}
595 %The initialization of a polynomial $p(z)$ is done by setting each of the $n$ complex coefficients %$a_{i}$:
596
597 %\begin{equation}
598 %\label{eq:SimplePolynome}
599 %  p(z)=\sum{a_{i}z^{n-i}} , a_{n} \neq 0,a_{0}=1, a_{i}\subset C
600 %\end{equation}
601
602
603 %\subsubsection{Vector $Z^{(0)}$ Initialization}
604 %\label{sec:vec_initialization}
605 %As for any iterative method, we need to choose $n$ initial guess points $z^{0}_{i}, i = 1, . . . , %n.$
606 %The initial guess is very important since the number of steps needed by the iterative method to %reach
607 %a given approximation strongly depends on it.
608 %In~\cite{Aberth73} the Ehrlich-Aberth iteration is started by selecting $n$
609 %equi-distant points on a circle of center 0 and radius r, where r is
610 %an upper bound to the moduli of the zeros. Later, Bini and al.~\cite{Bini96}
611 %performed this choice by selecting complex numbers along different
612 %circles which relies on the result of~\cite{Ostrowski41}.
613
614 %\begin{equation}
615 %\label{eq:radiusR}
616 %%\begin{align}
617 %\sigma_{0}=\frac{u+v}{2};u=\frac{\sum_{i=1}^{n}u_{i}}{n.max_{i=1}^{n}u_{i}};
618 %v=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}v_{i}}{n.min_{i=0}^{n-1}v_{i}};\\
619 %%\end{align}
620 %\end{equation}
621 %Where:
622 %\begin{equation}
623 %u_{i}=2.|a_{i}|^{\frac{1}{i}};
624 %v_{i}=\frac{|\frac{a_{n}}{a_{i}}|^{\frac{1}{n-i}}}{2}.
625 %\end{equation}
626
627 %\subsubsection{Iterative Function}
628 %The operator used by the Aberth method  corresponds to the
629 %equation~\ref{Eq:EA1}, it enables the convergence towards
630 %the polynomials zeros, provided all the roots are distinct.
631
632 %Here we give a second form of the iterative function used by the Ehrlich-Aberth method: 
633
634 %\begin{equation}
635 %\label{Eq:EA-1}
636 %EA: z^{k+1}_{i}=z_{i}^{k}-\frac{\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}}
637 %{1-\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}{\frac{1}{(z_{i}^{k}-z_{j}^{k})}}}, %i=1,. . . .,n
638 %\end{equation}
639
640 %\subsubsection{Convergence Condition}
641 %The convergence condition determines the termination of the algorithm. It consists in stopping the %iterative function  when the roots are sufficiently stable. We consider that the method converges %sufficiently when:
642
643 %\begin{equation}
644 %\label{eq:AAberth-Conv-Cond}
645 %\forall i \in [1,n];\vert\frac{z_{i}^{k}-z_{i}^{k-1}}{z_{i}^{k}}\vert<\xi
646 %\end{equation}
647
648
649 %\begin{figure}[htbp]
650 %\centering
651  % \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{EA-Algorithm}
652 %\caption{The Ehrlich-Aberth algorithm on single GPU}
653 %\label{fig:03}
654 %\end{figure}
655
656 %the Ehrlich-Aberth method is an iterative  method, contain 4 steps, start from the initial approximations of all the roots of the polynomial,the second step initialize the solution vector $Z$ using the Guggenheimer method to assure the distinction of the initial vector roots, than in step 3 we apply the the iterative function based on the Newton's method and Weiestrass operator~\cite{,}, witch will make it possible to converge to the roots solution, provided that all the root are different.
657
658 The Ehrlich-Aberth method is a simultaneous method~\cite{Aberth73} using the following iteration
659 \begin{equation}
660 \label{Eq:EA1}
661 z^{k+1}_{i}=z_{i}^{k}-\frac{\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}}
662 {1-\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}{\frac{1}{(z_{i}^{k}-z_{j}^{k})}}}, i=1,\ldots,n
663 \end{equation}
664
665 This method contains 4 steps. The first step consists in the initializing the polynomial. The second step initializes the solution vector $Z$ using the Guggenheimer method~\cite{Gugg86} to ensure that initial roots are all distinct from each other. In step 3, the iterative function based on the Newton's method~\cite{newt70} and Weiestrass operator~\cite{Weierstrass03} is applied. In our case, the Ehrlich-Aberth is applied as in~(\ref{Eq:EA1}). Iterations of the Ehrlich-Aberth method will converge to the roots of the considered polynomial. In order to stop the iterative function, a stop condition is applied, this is the 4th step. This condition checks that all the root modules are lower than a fixed value $\epsilon$.
666
667 \begin{equation}
668 \label{eq:Aberth-Conv-Cond}
669 \forall i\in[1,n],~\vert\frac{z_i^k-z_i^{k-1}}{z_i^k}\vert<\epsilon
670 \end{equation}
671
672 \subsection{Improving Ehrlich-Aberth method}
673 With high degree polynomials, the Ehrlich-Aberth method suffers from floating point overflows due to the mantissa of floating points representations. This induces errors in the computation of $p(z)$ when $z$ is large.
674  
675 %Experimentally, it is very difficult to solve polynomials with the Ehrlich-Aberth method and have roots which except the circle of unit, represented by the radius $r$ evaluated as: 
676
677 %\begin{equation}
678 %\label{R.EL}
679 %R = exp(log(DBL\_MAX)/(2*n) );
680 %\end{equation}
681
682
683
684 % where \verb=DBL_MAX= stands for the maximum representable \verb=double= value.
685  
686 In order to solve this problem, we propose to modify the iterative
687 function by using the logarithm and the exponential of a complex and
688 we propose a new version of the Ehrlich-Aberth method.  This method
689 allows us to exceed the computation of the polynomials of degree
690 100,000 and to reach a degree up to more than 1,000,000. The reformulation of the iteration~(\ref{Eq:EA1}) of the Ehrlich-Aberth method with exponential and logarithm is defined as follows, for $i=1,\dots,n$:
691
692 \begin{equation}
693 \label{Log_H2}
694 z^{k+1}_i = z_i^k - \exp(\ln(p(z_i^k)) - \ln(p'(z^k_i)) - \ln(1-Q(z^k_i))),
695 \end{equation}
696
697 where:
698
699 \begin{equation}
700 \label{Log_H1}
701 Q(z^k_i) = \exp(\ln(p(z^k_i)) - \ln(p'(z^k_i)) + \ln(\sum_{i\neq j}^n\frac{1}{z^k_i-z^k_j})).
702 \end{equation}
703
704
705 %We propose to use the logarithm and the exponential of a complex in order to compute the power at a high exponent. 
706 Using the logarithm  and the exponential operators, we can replace any multiplications and divisions with additions and subtractions. Consequently, computations manipulate lower values in absolute values~\cite{Karimall98}. 
707
708 %This problem was discussed earlier in~\cite{Karimall98} for the Durand-Kerner method. The authors
709 %propose to use the logarithm and the exponential of a complex in order to compute the power at a high exponent. Using the logarithm  and the exponential operators, we can replace any multiplications and divisions with additions and subtractions. Consequently, computations manipulate lower absolute values and the roots for large polynomial degrees can be looked for successfully~\cite{Karimall98}.
710
711 \subsection{The Ehrlich-Aberth parallel implementation on CUDA}
712 %We introduced three paradigms of parallel programming.
713
714 Our objective consists in implementing a root finding polynomial
715 algorithm on multiple GPUs. To this end, it is primordial to know how
716 to manage CUDA contexts of different GPUs. A direct method for
717 controlling the various GPUs is to use as many threads or processes as
718 GPU devices. We can choose the GPU index based on the identifier of
719 OpenMP thread or the rank of the MPI process. Both approaches will be
720 investigated. \LZK{Répétition! Le même texte est déjà écrit comme
721   intro dans la section II. Sinon ici on parle seulement de
722   l'implémentation cuda sans mpi et openmp! \RC{Je suis d'accord à
723     revoir après, quand les 2 parties suivantes seront plus stables}}
724
725
726
727
728 Like any parallel code, a GPU parallel implementation first requires to determine the sequential code and the data-parallel operations of a algorithm. In fact, all the operations that are easy to execute in parallel must be made by the GPU to accelerate the execution, like the steps 3 and 4. On the other hand, all the sequential operations and the operations that have data dependencies between CUDA threads or recursive computations must be executed by only one CUDA thread or a CPU thread (the steps 1 and 2).\LZK{La méthode est déjà mal présentée, dans ce cas c'est encore plus difficile de comprendre que représentent ces différentes étapes!} Initially, we specify the organization of parallel threads by specifying the dimension of the grid \verb+Dimgrid+, the number of blocks per grid \verb+DimBlock+ and the number of threads per block.
729
730 The code is organized as kernels which are parts of code that are run on GPU devices. For step 3, there are two kernels, the first is named \textit{save} is used to save vector $Z^{K-1}$ and the second one is
731 named \textit{update} and is used to update the $Z^{K}$ vector. For
732 step 4, a kernel tests the convergence of the method. In order to
733 compute the function H, we have two possibilities: either to use the
734 Jacobi mode, or the Gauss-Seidel mode of iterating which uses the most
735 recent computed roots. It is well known that the Gauss-Seidel mode
736 converges more quickly. So, we use Gauss-Seidel iterations. To
737 parallelize the code, we create kernels and many functions to be
738 executed on the GPU for all the operations dealing with the
739 computation on complex numbers and the evaluation of the
740 polynomials. As said previously, we manage both functions of
741 evaluation: the normal method, based on the method of
742 Horner and the method based on the logarithm of the polynomial. All
743 these methods were rather long to implement, as the development of
744 corresponding kernels with CUDA is longer than on a CPU host. This
745 comes in particular from the fact that it is very difficult to debug
746 CUDA running threads like threads on a CPU host. In the following
747 paragraph Algorithm~\ref{alg1-cuda} shows the GPU parallel
748 implementation of Ehrlich-Aberth method.
749 \LZK{Vaut mieux expliquer l'implémentation en faisant référence à l'algo séquentiel que de parler des différentes steps.}
750
751 %\begin{algorithm}[htpb]
752 %\label{alg1-cuda}
753 %\LinesNumbered
754 %\SetAlgoNoLine
755 %\caption{CUDA Algorithm to find polynomial roots with the Ehrlich-Aberth method}
756 %\KwIn{$Z^{0}$ (Initial vector of roots), $\epsilon$ (Error tolerance threshold), P (Polynomial to solve), Pu (Derivative of P), $n$ (Polynomial degree), $\Delta z_{max}$ (Maximum value of stop condition)}
757 %\KwOut{$Z$ (Solution vector of roots)}
758
759 %\BlankLine
760
761 %Initialization of P\; 
762 %Initialization of Pu\;
763 %Initialization of the solution vector $Z^{0}$\;
764 %Allocate and copy initial data to the GPU global memory\;
765 %\While {$\Delta z_{max} > \epsilon$}{
766 %   $ ZPres=kernel\_save(Z)$\;
767 %   $ Z=kernel\_update(Z,P,Pu)$\;
768 % $\Delta z_{max}=kernel\_testConv(Z,ZPrec)$\;
769
770 %}
771 %Copy results from GPU memory to CPU memory\;
772 %\end{algorithm}
773
774 \begin{algorithm}[htpb]
775 \LinesNumbered
776 \SetAlgoNoLine
777 \caption{Finding roots of polynomials with the Ehrlich-Aberth method on a GPU}
778 \KwIn{$n$ (polynomial's degree), $\epsilon$ (tolerance threshold)}
779 \KwOut{$Z$ (solution vector of roots)}
780 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
781 Set the initial values of vector $Z$\;
782 Copy $P$, $P'$ and $Z$ from the CPU memory to the GPU memory\;
783 \While{\emph{not convergence}}{
784   $Z_{prev}$ = Kernel\_Save($Z$)\;
785   $Z$ = Kernel\_Update($P,P',Z$)\;
786   Kernel\_Test\_Convergence($Z,Z_{prev},\epsilon$)\;
787 }
788 Copy $Z$ from the GPU memory to the CPU memory\;
789 \label{alg1-cuda}
790 \end{algorithm}
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801 \RC{Si l'algo vous convient, il faudrait le détailler précisément}
802  
803 \section{The EA algorithm on Multiple GPUs}
804 \label{sec4}
805 \subsection{an OpenMP-CUDA approach}
806 Our OpenMP-CUDA implementation of EA algorithm is based on the hybrid
807 OpenMP and CUDA programming model.  All the data are shared with
808 OpenMP amoung all the OpenMP threads. The shared data are the solution
809 vector $Z$, the polynomial to solve $P$, and the error vector $\Delta
810 z$. The number of OpenMP threads is equal to the number of GPUs, each
811 OpenMP thread binds to one GPU, and it controls a part of the shared
812 memory. More precisely each OpenMP thread will be responsible to
813 update its owns part of the vector Z. This part is call $Z_{loc}$ in
814 the following. Then all GPUs will have a grid of computation organized
815 according to the device performance and the size of data on which it
816 runs the computation kernels.
817
818 To compute one iteration of the EA method each GPU performs the
819 followings steps. First roots are shared with OpenMP and the
820 computation of the local size for each GPU is performed (lines 5-7 in
821 Algo\ref{alg2-cuda-openmp}). Each thread starts by copying all the
822 previous roots inside its GPU (line 9). Then each GPU will copy the
823 previous roots (line 10) and it will compute an iteration of the EA
824 method on its own roots (line 11).  For that all the other roots are
825 used. The convergence is checked on the new roots (line 12). At the end
826 of an iteration, the updated roots are copied from the GPU to the
827 CPU (line 14) by direcly updating its own roots in the shared memory
828 arrays containing all the roots.
829
830 %In principle a grid is set by two parameter DimGrid, the number of block per grid, DimBloc: the number of threads per block. The following schema  shows the architecture of (CUDA,OpenMP).
831
832 %\begin{figure}[htbp]
833 %\centering
834  % \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{OpenMP-CUDA}
835 %\caption{The OpenMP-CUDA architecture}
836 %\label{fig:03}
837 %\end{figure}
838 %Each thread OpenMP compute the kernels on GPUs,than after each iteration they copy out the data from GPU memory to CPU shared memory. The kernels are re-runs is up to the roots converge sufficiently. Here are below the corresponding algorithm:
839
840 %% \RC{Surement à virer ou réécrire pour etre compris sans algo}
841 %% $num\_gpus$ OpenMP threads  are created using
842 %% \verb=omp_set_num_threads();=function (step $3$, Algorithm
843 %% \ref{alg2-cuda-openmp}), the shared memory is created using
844 %% \verb=#pragma omp parallel shared()= OpenMP function (line $5$,
845 %% Algorithm\ref{alg2-cuda-openmp}), then each OpenMP thread allocates
846 %% memory and copies initial data from CPU memory to GPU global memory,
847 %% executes the kernels on GPU, but computes only his portion of roots
848 %% indicated with variable \textit{index} initialized in (line 5,
849 %% Algorithm \ref{alg2-cuda-openmp}), used as input data in the
850 %% $kernel\_update$ (line 10, Algorithm \ref{alg2-cuda-openmp}). After
851 %% each iteration, all OpenMP threads synchronize using
852 %% \verb=#pragma omp barrier;= to gather all the correct values of
853 %% $\Delta z$, thus allowing the computation the maximum stop condition
854 %% on vector $\Delta z$ (line 12, Algorithm
855 %% \ref{alg2-cuda-openmp}). Finally, threads copy the results from GPU
856 %% memories to CPU memory. The OpenMP threads execute kernels until the
857 %% roots sufficiently converge.
858
859
860 \begin{algorithm}[h]
861 \label{alg2-cuda-openmp}
862 \LinesNumbered
863 \SetAlgoNoLine
864 \caption{CUDA-OpenMP Algorithm to find roots with the Ehrlich-Aberth method}
865
866 \KwIn{$Z^{0}$ (Initial root's vector), $\varepsilon$ (Error tolerance
867   threshold), P (Polynomial to solve), Pu (Derivative of P), $n$ (Polynomial degree), $\Delta z$ ( Vector of errors for stop condition), $num\_gpus$ (number of OpenMP threads/ Number of GPUs), $Size$ (number of roots)}
868
869 \KwOut {$Z$ ( Root's vector), $ZPrec$ (Previous root's vector)}
870
871 \BlankLine
872
873 Initialization of P\;
874 Initialization of Pu\;
875 Initialization of the solution vector $Z^{0}$\;
876 Start of a parallel part with OpenMP (Z, $\Delta z$, P are shared variables)\;
877 gpu\_id=cudaGetDevice()\; 
878 Allocate memory on GPU\;
879 Compute local size and offet according to gpu\_id\;
880 \While {$error > \epsilon$}{
881   copy Z from CPU to GPU\;
882 $ ZPrec_{loc}=kernel\_save(Z_{loc})$\;
883 $ Z_{loc}=kernel\_update(Z,P,Pu)$\;
884 $\Delta z[gpu\_id] = kernel\_testConv(Z_{loc},ZPrec_{loc})$\;
885 $  error= Max(\Delta z)$\;
886   copy $Z_{loc}$ from GPU to Z in CPU
887 }
888 \end{algorithm}
889
890
891
892 \subsection{an MPI-CUDA approach}
893 %\begin{figure}[htbp]
894 %\centering
895  % \includegraphics[angle=-90,width=0.2\textwidth]{MPI-CUDA}
896 %\caption{The MPI-CUDA architecture }
897 %\label{fig:03}
898 %\end{figure}
899 Our parallel implementation of EA to find root of polynomials using a CUDA-MPI approach is a data parallel approach. It splits input data of the polynomial to solve among MPI processes. In Algorithm \ref{alg2-cuda-mpi}, input data are the polynomial to solve $P$, the solution vector $Z$, the previous solution vector $ZPrev$, and the value of errors of stop condition $\Delta z$. Let $p$ denote the number of MPI processes on and $n$ the degree of the polynomial to be solved. The algorithm performs a simple data partitioning by creating $p$ portions, of at most $\lceil n/p \rceil$ roots to find per MPI process, for each $Z$ and $ZPrec$. Consequently, each MPI process of rank $k$ will have its own solution vector $Z_{k}$ and $ZPrec$, the error related to the stop condition $\Delta z_{k}$, enabling each MPI process to compute $\lceil n/p \rceil$ roots.
900
901 Since a GPU works only on data already allocated in its memory, all local input data, $Z_{k}$, $ZPrec$ and $\Delta z_{k}$, must be transferred from CPU memories to the corresponding GPU memories. Afterwards, the same EA algorithm (Algorithm \ref{alg1-cuda}) is run by all processes but on different polynomial subset of roots $ p(x)_{k}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}x^{i}, k=1,...,p$.  Each MPI process executes the  loop \verb=(While(...)...do)= containing the CUDA kernels but each MPI process  computes only its own portion of the roots according to the rule ``''owner computes``''. The local range of roots is indicated with the \textit{index} variable initialized at (line 5, Algorithm \ref{alg2-cuda-mpi}), and passed as an input variable to $kernel\_update$ (line 10, Algorithm \ref{alg2-cuda-mpi}). After each iteration, MPI processes synchronize  (\verb=MPI_Allreduce= function) by a reduction on $\Delta z_{k}$ in order to compute the maximum error related to the stop condition.   Finally, processes copy the values of new computed roots  from GPU memories to CPU memories, then communicate their results to other processes with \verb=MPI_Alltoall= broadcast. If the stop condition is not verified ($error > \epsilon$) then processes stay withing the loop \verb= while(...)...do= until all the roots sufficiently converge.
902
903 \begin{algorithm}[htpb]
904 \label{alg2-cuda-mpi}
905 %\LinesNumbered
906 \caption{CUDA-MPI Algorithm to find roots with the Ehrlich-Aberth method}
907
908 \KwIn{$Z^{0}$ (Initial root's vector), $\varepsilon$ (Error tolerance
909   threshold), P (Polynomial to solve), Pu (Derivative of P), $n$ (Polynomial degrees), $\Delta z$ ( error of stop condition), $num_gpus$ (number of MPI processes/ number of GPUs), Size (number of roots)}
910
911 \KwOut {$Z$ (Solution root's vector), $ZPrec$ (Previous solution root's vector)}
912
913 \BlankLine
914 Initialization of P\;
915 Initialization of Pu\;
916 Initialization of the solution vector $Z^{0}$\;
917 Distribution of Z\;
918 Allocate memory to GPU\;
919 \While {$error > \epsilon$}{
920 copy Z from CPU to GPU\;
921 $ZPrec_{loc}=kernel\_save(Z_{loc})$\;
922 $Z_{loc}=kernel\_update(Z,P,Pu)$\;
923 $\Delta z=kernel\_testConv(Z_{loc},ZPrec_{loc})$\;
924 $error=MPI\_Reduce(\Delta z)$\;
925 Copy $Z_{loc}$ from GPU to CPU\;
926 $Z=MPI\_AlltoAll(Z_{loc})$\;
927 }
928 \end{algorithm}
929
930
931 \section{Experiments}
932 \label{sec5}
933 We study two categories of polynomials: sparse polynomials and full polynomials.\\
934 {\it A sparse polynomial} is a polynomial for which only some coefficients are not null. In this paper, we consider sparse polynomials for which the roots are distributed on 2 distinct circles:
935 \begin{equation}
936         \forall \alpha_{1} \alpha_{2} \in C,\forall n_{1},n_{2} \in N^{*}; P(z)= (z^{n_{1}}-\alpha_{1})(z^{n_{2}}-\alpha_{2})
937 \end{equation}\noindent
938 {\it A full polynomial} is, in contrast, a polynomial for which all the coefficients are not null. A full polynomial is defined by:
939 %%\begin{equation}
940         %%\forall \alpha_{i} \in C,\forall n_{i}\in N^{*}; P(z)= \sum^{n}_{i=1}(z^{n^{i}}.a_{i})
941 %%\end{equation}
942
943 \begin{equation}
944      {\Large \forall a_{i} \in C, i\in N;  p(x)=\sum^{n}_{i=0} a_{i}.x^{i}} 
945 \end{equation}
946
947 For our test, 4 cards GPU tesla Kepler K40 are used.  In order to
948 evaluate both the GPU and Multi-GPU approaches, we performed a set of
949 experiments on a single GPU and multiple GPUs using OpenMP or MPI with
950 the EA algorithm, for both sparse and full polynomials of different
951 sizes.  All experimental results obtained are perfomed with double
952 precision float data and the convergence threshold of the EA method is
953 set to $10^{-7}$.  The initialization values of the vector solution of
954 the methods are given by Guggenheimer method~\cite{Gugg86}.
955
956
957 \subsection{Evaluation of the CUDA-OpenMP approach}
958
959 Here we report some experiments witt full and sparse polynomials of
960 different degrees with multiple GPUs.
961 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
962  
963 In this experiments we report the execution time of the EA algorithm, on single GPU and multi-GPUs with (2,3,4) GPUs, for different sparse polynomial degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
964
965 \begin{figure}[htbp]
966 \centering
967   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_omp}
968 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
969   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
970 \label{fig:01}
971 \end{figure}
972
973 Figure~\ref{fig:01} shows that the CUDA-OpenMP approach scales well
974 with multiple GPUs. This version allows us to solve sparse polynomials
975 of very high degrees.
976
977 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve full polynomials on multiple GPUs}
978
979 These experiments show the execution times of the EA algorithm, on a single GPU and on multiple GPUs using the CUDA OpenMP approach for full polynomials of degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
980
981 \begin{figure}[htbp]
982 \centering
983   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_omp}
984 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
985   solve full polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
986 \label{fig:02}
987 \end{figure}
988
989 In Figure~\ref{fig:02}, we can observe that with full polynomials the EA version with
990 CUDA-OpenMP scales also well. Using 4 GPUs allows us to achieve a
991 quasi-linear speedup.
992
993 \subsection{Evaluation of the CUDA-MPI approach}
994 In this part we perform some experiments to evaluate the CUDA-MPI
995 approach to solve full and sparse polynomials of degrees ranging from
996 100,000 to 1,400,000.
997
998 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
999
1000 \begin{figure}[htbp]
1001 \centering
1002   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_mpi}
1003 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
1004   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-MPI.}
1005 \label{fig:03}
1006 \end{figure}
1007 Figure~\ref{fig:03} shows the execution times of te EA algorithm,
1008 for a single GPU, and multiple GPUs (2, 3, 4) with the CUDA-MPI approach.
1009
1010 \subsubsection{Execution time of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials on multiple GPUs using the Multi-GPU appraoch}
1011
1012 \begin{figure}[htbp]
1013 \centering
1014  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_mpi}
1015 \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for
1016   full polynomials on  multiple GPUs with CUDA-MPI.}
1017 \label{fig:04}
1018 \end{figure}
1019
1020 In Figure~\ref{fig:04}, we can also observe that the CUDA-MPI approach
1021 is also efficient to solve full polynimails on multiple GPUs.
1022
1023 \subsection{Comparison of  the CUDA-OpenMP and the CUDA-MPI approaches}
1024
1025 In the previuos section we saw that both approches are very effecient
1026 to  reduce the execution times the  sparse and full polynomials. In
1027 this section we try to compare these two approaches.
1028
1029 \subsubsection{Solving sparse polynomials}
1030 In this experiment three sparse polynomials of size 200K, 800K and 1,4M are investigated.
1031 \begin{figure}[htbp]
1032 \centering
1033  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse}
1034 \caption{Execution times  to solvs sparse polynomials of three
1035   distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP with the
1036   Ehrlich-Aberth method}
1037 \label{fig:05}
1038 \end{figure}
1039 In Figure~\ref{fig:05} there is one curve for CUDA-MPI and another one
1040 for CUDA-OpenMP. We can see that the results are quite similar between
1041 OpenMP and MPI for the polynomials size of 200K. For the size of 800K,
1042 the MPI version is a little bit slower than the OpenMP approach but for
1043 the 1,4 millions size, there is a slight advantage for the MPI
1044 version.
1045
1046 \subsubsection{Solving full polynomials}
1047 \begin{figure}[htbp]
1048 \centering
1049  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full}
1050 \caption{Execution time for solving full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP approaches using Ehrlich-Aberth}
1051 \label{fig:06}
1052 \end{figure}
1053 In Figure~\ref{fig:06}, we can see that when it comes to full polynomials, both approaches are almost equivalent.
1054
1055 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-MPI}
1056
1057 In this experiment we compare the execution time of the EA algorithm
1058 according to the number of GPUs to solve sparse and full
1059 polynomials on multiples GPUs using MPI. We chose three sparse and full
1060 polynomials of size 200K, 800K and 1,4M.
1061 \begin{figure}[htbp]
1062 \centering
1063  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{MPI}
1064 \caption{Execution times to solve sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI.}
1065 \label{fig:07}
1066 \end{figure}
1067 In Figure~\ref{fig:07} we can see that CUDA-MPI can solve sparse and
1068 full polynomials of high degrees, the execution times with sparse
1069 polynomial are very low compared to full polynomials. With sparse
1070 polynomials the number of monomials is reduced, consequently the number
1071 of operations is reduced and the execution time decreases.
1072
1073 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-OpenMP}
1074
1075 \begin{figure}[htbp]
1076 \centering
1077  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{OMP}
1078 \caption{Execution time for solving sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using OpenMP}
1079 \label{fig:08}
1080 \end{figure}
1081
1082 Figure ~\ref{fig:08} shows the impact of sparsity on the effectiveness of the CUDA-OpenMP approach. We can see that the impact follows the same pattern, a difference in execution time in favor of the sparse polynomials. 
1083
1084 \subsection{Scalability of the EA method on multiple GPUs to solve very high degree polynomials}
1085 These experiments report the execution times of the EA method for
1086 sparse and full polynomials ranging from 1,000,000 to 5,000,000.
1087 \begin{figure}[htbp]
1088 \centering
1089  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{big}
1090  \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials of high degree on 4 GPUs for sizes ranging from 1M to 5M}
1091 \label{fig:09}
1092 \end{figure}
1093 In Figure~\ref{fig:09} we can see that both approaches are scalable
1094 and can solve very high degree polynomials. In addition, with full polynomial as well as sparse ones, both
1095 approaches give very similar results.
1096
1097 %SIDER JE viens de virer \c ca For sparse polynomials here are a noticeable difference in favour of MPI when the degree is
1098 %above 4 millions. Between 1  and 3 millions, OpenMP is more effecient.
1099 %Under 1 million, OpenMPI and MPI are almost equivalent.
1100
1101 %SIDER : il faut une explication sur les différences ici aussi.
1102  
1103 %for sparse and full polynomials
1104 % An example of a floating figure using the graphicx package.
1105 % Note that \label must occur AFTER (or within) \caption.
1106 % For figures, \caption should occur after the \includegraphics.
1107 % Note that IEEEtran v1.7 and later has special internal code that
1108 % is designed to preserve the operation of \label within \caption
1109 % even when the captionsoff option is in effect. However, because
1110 % of issues like this, it may be the safest practice to put all your
1111 % \label just after \caption rather than within \caption{}.
1112 %
1113 % Reminder: the "draftcls" or "draftclsnofoot", not "draft", class
1114 % option should be used if it is desired that the figures are to be
1115 % displayed while in draft mode.
1116 %
1117 %\begin{figure}[!t]
1118 %\centering
1119 %\includegraphics[width=2.5in]{myfigure}
1120 % where an .eps filename suffix will be assumed under latex, 
1121 % and a .pdf suffix will be assumed for pdflatex; or what has been declared
1122 % via \DeclareGraphicsExtensions.
1123 %\caption{Simulation results for the network.}
1124 %\label{fig_sim}
1125 %\end{figure}
1126
1127 % Note that the IEEE typically puts floats only at the top, even when this
1128 % results in a large percentage of a column being occupied by floats.
1129
1130
1131 % An example of a double column floating figure using two subfigures.
1132 % (The subfig.sty package must be loaded for this to work.)
1133 % The subfigure \label commands are set within each subfloat command,
1134 % and the \label for the overall figure must come after \caption.
1135 % \hfil is used as a separator to get equal spacing.
1136 % Watch out that the combined width of all the subfigures on a 
1137 % line do not exceed the text width or a line break will occur.
1138 %
1139 %\begin{figure*}[!t]
1140 %\centering
1141 %\subfloat[Case I]{\includegraphics[width=2.5in]{box}%
1142 %\label{fig_first_case}}
1143 %\hfil
1144 %\subfloat[Case II]{\includegraphics[width=2.5in]{box}%
1145 %\label{fig_second_case}}
1146 %\caption{Simulation results for the network.}
1147 %\label{fig_sim}
1148 %\end{figure*}
1149 %
1150 % Note that often IEEE papers with subfigures do not employ subfigure
1151 % captions (using the optional argument to \subfloat[]), but instead will
1152 % reference/describe all of them (a), (b), etc., within the main caption.
1153 % Be aware that for subfig.sty to generate the (a), (b), etc., subfigure
1154 % labels, the optional argument to \subfloat must be present. If a
1155 % subcaption is not desired, just leave its contents blank,
1156 % e.g., \subfloat[].
1157
1158
1159 % An example of a floating table. Note that, for IEEE style tables, the
1160 % \caption command should come BEFORE the table and, given that table
1161 % captions serve much like titles, are usually capitalized except for words
1162 % such as a, an, and, as, at, but, by, for, in, nor, of, on, or, the, to
1163 % and up, which are usually not capitalized unless they are the first or
1164 % last word of the caption. Table text will default to \footnotesize as
1165 % the IEEE normally uses this smaller font for tables.
1166 % The \label must come after \caption as always.
1167 %
1168 %\begin{table}[!t]
1169 %% increase table row spacing, adjust to taste
1170 %\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
1171 % if using array.sty, it might be a good idea to tweak the value of
1172 % \extrarowheight as needed to properly center the text within the cells
1173 %\caption{An Example of a Table}
1174 %\label{table_example}
1175 %\centering
1176 %% Some packages, such as MDW tools, offer better commands for making tables
1177 %% than the plain LaTeX2e tabular which is used here.
1178 %\begin{tabular}{|c||c|}
1179 %\hline
1180 %One & Two\\
1181 %\hline
1182 %Three & Four\\
1183 %\hline
1184 %\end{tabular}
1185 %\end{table}
1186
1187
1188 % Note that the IEEE does not put floats in the very first column
1189 % - or typically anywhere on the first page for that matter. Also,
1190 % in-text middle ("here") positioning is typically not used, but it
1191 % is allowed and encouraged for Computer Society conferences (but
1192 % not Computer Society journals). Most IEEE journals/conferences use
1193 % top floats exclusively. 
1194 % Note that, LaTeX2e, unlike IEEE journals/conferences, places
1195 % footnotes above bottom floats. This can be corrected via the
1196 % \fnbelowfloat command of the stfloats package.
1197
1198
1199
1200
1201 \section{Conclusion}
1202 \label{sec6}
1203 In this paper, we have presented a parallel implementation of
1204 Ehrlich-Aberth algorithm to solve full and sparse polynomials, on
1205 single GPU with CUDA and on multiple GPUs using two parallel
1206 paradigms: shared memory with OpenMP and distributed memory with
1207 MPI. These architectures were addressed by a CUDA-OpenMP approach and
1208 CUDA-MPI approach, respectively.  Experiments show that, using
1209 parallel programming model like (OpenMP, MPI). We can efficiently
1210 manage multiple graphics cards to solve the same
1211 problem and accelerate the parallel execution with 4 GPUs and solve a
1212 polynomial of degree up to 5,000,000, four times faster than on single
1213 GPU. 
1214
1215
1216 %In future, we will evaluate our parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on other parallel programming model 
1217
1218 Our next objective is to extend the model presented here with clusters
1219 of GPU nodes, with a three-level scheme: inter-node communication via
1220 MPI processes (distributed memory), management of multi-GPU node by
1221 OpenMP threads (shared memory).
1222
1223 %present a communication approach between multiple GPUs. The comparison between MPI and OpenMP as GPUs controllers shows that these
1224 %solutions can effectively manage multiple graphics cards to work together
1225 %to solve the same problem
1226
1227
1228  %than we have presented two communication approach between multiple GPUs.(CUDA-OpenMP) approach and (CUDA-MPI) approach, in the objective to manage multiple graphics cards to work together and solve the same problem. in the objective to manage multiple graphics cards to work together and solve the same problem. 
1229
1230
1231
1232
1233 % conference papers do not normally have an appendix
1234
1235
1236 % use section* for acknowledgment
1237 \section*{Acknowledgment}
1238
1239 Computations have been performed on the supercomputer facilities of
1240 the Mésocentre de calcul de Franche-Comté. We also would like to thank
1241 Nvidia for hardware donation under CUDA Research Center 2014.
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248 % trigger a \newpage just before the given reference
1249 % number - used to balance the columns on the last page
1250 % adjust value as needed - may need to be readjusted if
1251 % the document is modified later
1252 %\IEEEtriggeratref{8}
1253 % The "triggered" command can be changed if desired:
1254 %\IEEEtriggercmd{\enlargethispage{-5in}}
1255
1256 % references section
1257
1258 % can use a bibliography generated by BibTeX as a .bbl file
1259 % BibTeX documentation can be easily obtained at:
1260 % http://mirror.ctan.org/biblio/bibtex/contrib/doc/
1261 % The IEEEtran BibTeX style support page is at:
1262 % http://www.michaelshell.org/tex/ieeetran/bibtex/
1263 %\bibliographystyle{IEEEtran}
1264 % argument is your BibTeX string definitions and bibliography database(s)
1265 %\bibliography{IEEEabrv,../bib/paper}
1266 %\bibliographystyle{./IEEEtran}
1267 \bibliography{mybibfile}
1268
1269 %
1270 % <OR> manually copy in the resultant .bbl file
1271 % set second argument of \begin to the number of references
1272 % (used to reserve space for the reference number labels box)
1273 %\begin{thebibliography}{1}
1274
1275 %\bibitem{IEEEhowto:kopka}
1276 %H.~Kopka and P.~W. Daly, \emph{A Guide to \LaTeX}, 3rd~ed.\hskip 1em plus
1277  % 0.5em minus 0.4em\relax Harlow, England: Addison-Wesley, 1999.
1278   
1279 %\bibitem{IEEEhowto:NVIDIA12} 
1280  %NVIDIA Corporation, \textit{Whitepaper NVIDA’s Next Generation CUDATM Compute
1281 %Architecture: KeplerTM }, 1st ed., 2012.
1282
1283 %\end{thebibliography}
1284
1285
1286
1287
1288 % that's all folks
1289 \end{document}
1290
1291