paper.tex

   1 \documentclass[conference]{IEEEtran}
   2 \usepackage[ruled,vlined]{algorithm2e}
   3 \hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor}
   4 \bibliographystyle{IEEEtran}
   5
   6 \usepackage{amsfonts}
   7 \usepackage[utf8]{inputenc}
   8 \usepackage[T1]{fontenc}
   9 \usepackage[textsize=footnotesize]{todonotes}
  10 \newcommand{\LZK}[2][inline]{%
  11   \todo[color=red!10,#1]{\sffamily\textbf{LZK:} #2}\xspace}
  12 \newcommand{\RC}[2][inline]{%
  13   \todo[color=blue!10,#1]{\sffamily\textbf{RC:} #2}\xspace}
  14 \newcommand{\KG}[2][inline]{%
  15   \todo[color=green!10,#1]{\sffamily\textbf{KG:} #2}\xspace}
  16 \newcommand{\AS}[2][inline]{%
  17   \todo[color=orange!10,#1]{\sffamily\textbf{AS:} #2}\xspace}
  18
  19
  20 \begin{document}
  21
  22 \title{Two parallel implementations of Ehrlich-Aberth algorithm for root-finding of polynomials on multiple GPUs with OpenMP and MPI}
  23
  24 \author{\IEEEauthorblockN{Kahina Guidouche, Abderrahmane Sider }
  25   \IEEEauthorblockA{Laboratoire LIMED\\
  26     Faculté des sciences exactes\\
  27     Université de Bejaia, 06000, Algeria\\
  28 Email: \{kahina.ghidouche,ar.sider\}@univ-bejaia.dz}
  29 \and
  30 \IEEEauthorblockN{Lilia Ziane Khodja, Raphaël Couturier}
  31 \IEEEauthorblockA{FEMTO-ST Institute\\
  32   University of   Bourgogne Franche-Comte, France\\
  33 Email: zianekhodja.lilia@gmail.com\\ raphael.couturier@univ-fcomte.fr}}
  34
  35
  36 \maketitle
  37
  38 \begin{abstract}
  39 Finding roots of polynomials is a very important part of solving
  40 real-life problems but it is not so easy for polynomials of high
  41 degrees. In this paper, we present two different parallel algorithms
  42 of the Ehrlich-Aberth method to find roots of sparse and fully defined
  43 polynomials of high degrees. Both algorithms are based on CUDA
  44 technology to be implemented on multi-GPU computing platforms but each
  45 using different parallel paradigms: OpenMP or MPI. The experiments
  46 show a quasi-linear speedup by using up-to 4 GPU devices compared to 1
  47 GPU to find roots of polynomials of degree up-to 1.4
  48 million. Moreover, other experiments show it is possible to find roots
  49 of polynomials of degree up-to 5 millions.
  50 \end{abstract}
  51
  52 % no keywords
  53 \LZK{Faut pas mettre des keywords?}
  54
  55
  56 \IEEEpeerreviewmaketitle
  57
  58
  59 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  60 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  61 \section{Introduction}
  62
  63
  64 Finding roots of polynomials of very high degrees arises in many complex problems in various domains such as algebra, biology or physics. A polynomial $p(x)$ in $\mathbb{C}$ in one variable $x$ is an algebraic expression in $x$ of the form:
  65 \begin{equation}
  66 p(x) = \displaystyle\sum^n_{i=0}{a_ix^i},a_n\neq 0,
  67 \end{equation}
  68 where $\{a_i\}_{0\leq i\leq n}$ are complex coefficients and $n$ is a high integer number. If $a_n\neq0$ then $n$ is called the degree of the polynomial. The root-finding problem consists in finding the $n$ different values of the unknown variable $x$ for which $p(x)=0$. Such values are called roots of $p(x)$. Let $\{z_i\}_{1\leq i\leq n}$ be the roots of polynomial $p(x)$, then $p(x)$ can be written as :
  69 \begin{equation}
  70  p(x)=a_n\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-z_i), a_n\neq 0.
  71 \end{equation}
  72
  73 Most of the numerical methods that deal with the polynomial root-finding problem are simultaneous methods, \textit{i.e.} the iterative methods to find simultaneous approximations of the $n$ polynomial roots. These methods start from the initial approximations of all $n$ polynomial roots and give a sequence of approximations that converge to the roots of the polynomial. Two examples of well-known simultaneous methods for root-finding problem of polynomials are  Durand-Kerner method~\cite{Durand60,Kerner66} and Ehrlich-Aberth method~\cite{Ehrlich67,Aberth73}.
  74
  75 The main problem of the simultaneous methods is that the necessary
  76 time needed for the convergence increases with the increasing of the
  77 polynomial's degree. Many authors have treated the problem of
  78 implementing  simultaneous methods in
  79 parallel. Freeman~\cite{Freeman89} implemented and compared
  80 Durand-Kerner method, Ehrlich-Aberth method and another method of the
  81 fourth order of convergence proposed by Farmer and
  82 Loizou~\cite{Loizou83} on a 8-processor linear chain, for polynomials
  83 of degree up-to 8. The method of Farmer and Loizou~\cite{Loizou83}
  84 often diverges, but the first two methods (Durand-Kerner and
  85 Ehrlich-Aberth methods) have a speed-up equals to 5.5. Later, Freeman
  86 and Bane~\cite{Freemanall90} considered asynchronous algorithms in
  87 which each processor continues to update its approximations even
  88 though the latest values of other approximations $z^{k}_{i}$ have not
  89 been received from the other processors, in contrast with synchronous
  90 algorithms where it would wait those values before making a new
  91 iteration. Couturier et al.~\cite{Raphaelall01} proposed two methods
  92 of parallelization for a shared memory architecture with OpenMP and
  93 for a distributed memory one with MPI. They are able to compute the
  94 roots of sparse polynomials of degree 10,000 in 116 seconds with
  95 OpenMP and 135 seconds with MPI only by using 8 personal computers and
  96 2 communications per iteration. The authors showed an interesting
  97 speedup comparing to the sequential implementation which takes up-to
  98 3,300 seconds to obtain same results.
  99 \RC{si on donne des temps faut donner le proc, comme c'est vieux à mon avis faut supprimer ca, votre avis?}
 100 \LZK{Supprimons ces détails et mettons une référence s'il y en a une}
 101
 102 Very few work had been performed since then until the appearing of the Compute Unified Device Architecture (CUDA)~\cite{CUDA15}, a parallel computing platform and a programming model invented by NVIDIA. The computing power of GPUs (Graphics Processing Units) has exceeded that of traditional processors CPUs. However, CUDA adopts a totally new computing architecture to use the hardware resources provided by the GPU in order to offer a stronger computing ability to the massive data computing. Ghidouche et al.~\cite{Kahinall14} proposed an implementation of the Durand-Kerner method on a single GPU. Their main results showed that a parallel CUDA implementation is about 10 times faster than the sequential implementation on a single CPU for sparse polynomials of degree 48,000.
 103
 104 In this paper we propose the parallelization of Ehrlich-Aberth method which has a good convergence and it is suitable to be implemented in parallel computers. We use two parallel programming paradigms OpenMP and MPI on CUDA multi-GPU platforms. Our CUDA-MPI and CUDA-OpenMP codes are the first implementations of Ehrlich-Aberth method with multiple GPUs for finding roots of polynomials. Our major contributions include:
 105 \LZK{J'ai ajouté une phrase pour justifier notre choix de la méthode Ehrlich-Aberth. A revérifier.}
 106  \begin{itemize}
 107
 108 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a shared memory using OpenMP API. It is based on threads created from the same system process, such that each thread is attached to one GPU. In this case the communications between GPUs are done by OpenMP threads through shared memory.
 109 \item The parallel implementation of Ehrlich-Aberth algorithm on a multi-GPU platform with a distributed memory using MPI API, such that each GPU is attached and managed by a MPI process. The GPUs exchange their data by message-passing communications.
 110  \end{itemize}
 111 This latter approach is more used on clusters to solve very complex problems that are too large for traditional supercomputers, which are very expensive to build and run.
 112 \LZK{Pas d'autres contributions possibles? J'ai supprimé les deux premiers points proposés précédemment.
 113 \AS{La résolution du problème pour des polynomes pleins de degré 6M est une contribution aussi à mon avis}}
 114
 115 The paper is organized as follows. In Section~\ref{sec2} we present three different parallel programming models OpenMP, MPI and CUDA. In Section~\ref{sec3} we present the implementation of the Ehrlich-Aberth algorithm on a single GPU. In Section~\ref{sec4} we present the parallel implementations of the Ehrlich-Aberth algorithm on multiple GPUs using the OpenMP and MPI approaches. In section~\ref{sec5} we present our experiments and discuss them. Finally, Section~\ref{sec6} concludes this paper and gives some hints for future research directions in this topic.
 116
 117
 118 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 119 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 120
 121 \section{Parallel programming models}
 122 \label{sec2}
 123 Our objective consists in implementing a root-finding algorithm of polynomials on multiple GPUs. To this end, it is primordial to know how to manage CUDA contexts of different GPUs. A direct method for controlling the various GPUs is to use as many threads or processes as GPU devices. We investigate two parallel paradigms: OpenMP and MPI. In this case, the GPU indices are defined according to the identifiers of the OpenMP threads or the ranks of the MPI processes. In this section we present the parallel programming models: OpenMP, MPI and CUDA.
 124
 125 \subsection{OpenMP}
 126
 127
 128 OpenMP (Open Multi-processing) is an application programming interface for parallel programming~\cite{openmp13}. It is a portable approach based on the multithreading designed for shared memory computers, where a master thread forks a number of slave threads which execute blocks of code in parallel. An OpenMP program alternates sequential regions and parallel regions of code, where the sequential regions are executed by the master thread and the parallel ones may be executed by multiple threads. During the execution of an OpenMP program the threads communicate their data (read and modified) in the shared memory. One advantage of OpenMP is the global view of the memory address space of an application. This allows relatively a fast development of parallel applications with easier maintenance. However, it is often difficult to get high rates of performances in large scale-applications.
 129
 130 \subsection{MPI}
 131
 132
 133 MPI (Message Passing Interface) is a portable message passing style of the parallel programming designed especially for the distributed memory architectures~\cite{Peter96}. In most MPI implementations, a computation contains a fixed set of processes created at the initialization of the program in such way one process is created per processor. The processes synchronize their computations and communicate by sending/receiving messages to/from other processes. In this case, the data are explicitly exchanged by message passing while the data exchanges are implicit in a multithread programming model like OpenMP and Pthreads. However in the MPI programming model, the processes may either execute different programs referred to as multiple program multiple data (MPMD) or every process executes the same program (SPMD). The MPI approach is one of most used HPC programming model to solve large scale and complex applications.
 134
 135 \subsection{CUDA}
 136
 137
 138 CUDA (Compute Unified Device Architecture) is a parallel computing architecture developed by NVIDIA~\cite{CUDA15} for GPUs. It provides a high level GPGPU-based programming model to program GPUs for general purpose computations and non-graphic applications. The GPU is viewed as an accelerator such that data-parallel operations of a CUDA program running on a CPU are off-loaded onto GPU and executed by this later. The data-parallel operations executed by GPUs are called kernels. The same kernel is executed in parallel by a large number of threads organized in grids of thread blocks, such that each GPU multiprocessor executes one or more thread blocks in SIMD fashion (Single Instruction, Multiple Data) and in turn each core of the multiprocessor executes one or more threads within a block. Threads within a block can cooperate by sharing data through a fast shared memory and coordinate their execution through synchronization points. In contrast, within a grid of thread blocks, there is no synchronization at all between blocks. The GPU only works on data filled in the global memory and the final results of the kernel executions must be transferred out of the GPU. In the GPU, the global memory has lower bandwidth than the shared memory associated to each multiprocessor. Thus in the CUDA programming, it is necessary to design carefully the arrangement of the thread blocks in order to ensure low latency and a proper usage of the shared memory, and the global memory accesses should be minimized.
 139
 140
 141 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 142 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 143
 144 \section{The Ehrlich-Aberth algorithm on a GPU}
 145 \label{sec3}
 146
 147 \subsection{The Ehrlich-Aberth method}
 148
 149 The Ehrlich-Aberth method is a simultaneous method~\cite{Aberth73} using the following iteration
 150 \begin{equation}
 151 \label{Eq:EA1}
 152 z^{k+1}_{i}=z_{i}^{k}-\frac{\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}}
 153 {1-\frac{p(z_{i}^{k})}{p'(z_{i}^{k})}\sum_{j=1,j\neq i}^{j=n}{\frac{1}{(z_{i}^{k}-z_{j}^{k})}}}, i=1,\ldots,n
 154 \end{equation}
 155
 156 This method contains 4 steps. The first step consists in the
 157 initializing the polynomial. The second step initializes the solution
 158 vector $Z$ using the Guggenheimer method~\cite{Gugg86} to ensure that
 159 initial roots are all distinct from each other. In step 3, the
 160 iterative function based on the Newton's method~\cite{newt70} and
 161 Weiestrass operator~\cite{Weierstrass03} is applied. In our case, the
 162 Ehrlich-Aberth is applied as in~(\ref{Eq:EA1}). Iterations of the
 163 Ehrlich-Aberth method will converge to the roots of the considered
 164 polynomial. In order to stop the iterative function, a stop condition
 165 is applied, this is the 4th step. This condition checks that all the
 166 root modules are lower than a fixed value $\epsilon$.
 167
 168 \begin{equation}
 169 \label{eq:Aberth-Conv-Cond}
 170 \forall i\in[1,n],~\vert\frac{z_i^k-z_i^{k-1}}{z_i^k}\vert<\epsilon
 171 \end{equation}
 172
 173 \subsection{Improving Ehrlich-Aberth method}
 174 With high degree polynomials, the Ehrlich-Aberth method suffers from floating point overflows due to the mantissa of floating points representations. This induces errors in the computation of $p(z)$ when $z$ is large.
 175
 176
 177 In order to solve this problem, we propose to modify the iterative
 178 function by using the logarithm and the exponential of a complex and
 179 we propose a new version of the Ehrlich-Aberth method.  This method
 180 allows us to exceed the computation of the polynomials of degree
 181 100,000 and to reach a degree up to more than 1,000,000. The reformulation of the iteration~(\ref{Eq:EA1}) of the Ehrlich-Aberth method with exponential and logarithm is defined as follows, for $i=1,\dots,n$:
 182
 183 \begin{equation}
 184 \label{Log_H2}
 185 z^{k+1}_i = z_i^k - \exp(\ln(p(z_i^k)) - \ln(p'(z^k_i)) - \ln(1-Q(z^k_i))),
 186 \end{equation}
 187
 188 where:
 189
 190 \begin{equation}
 191 \label{Log_H1}
 192 Q(z^k_i) = \exp(\ln(p(z^k_i)) - \ln(p'(z^k_i)) + \ln(\sum_{i\neq j}^n\frac{1}{z^k_i-z^k_j})).
 193 \end{equation}
 194
 195
 196
 197 Using the logarithm  and the exponential operators, we can replace any multiplications and divisions with additions and subtractions. Consequently, computations manipulate lower values in absolute values~\cite{Karimall98}.
 198
 199
 200 \subsection{The Ehrlich-Aberth parallel implementation on CUDA}
 201
 202
 203
 204
 205 The code is organized as kernels which are parts of code that are run
 206 on GPU devices. Algorithm~\ref{alg1-cuda} describes the CUDA
 207 implementation of the Ehrlich-Aberth on a GPU.  This algorithms starts
 208 by initializinf the polynomial and its derivative (line 1). The
 209 initialization of the roots is performed (line 2). Data are transfered
 210 from the CPU to the GPU (after allocation of the required memory on
 211 the GPU) (line 3). Then at each iteration, if the error is greater
 212 than a threshold, the following operations are performed. The previous
 213 roots are saved using a kernel (line 5). Then the new root with the
 214 new iterations are computed using the EA method with a Gauss Seidel
 215 iteration modes in order to use the lastest roots updated (line
 216 6). This improves the convergence. This kernel is, in pratice, very
 217 long since it performs all the operations with complex numbers with
 218 the normal mode of the EA method but also with the
 219 logarithm-exponential one. Then the error is computed with a final
 220 kernel (line 7). Finally when the EA method has converged, the roots
 221 are transferred from the GPU to the CPU.
 222
 223 \begin{algorithm}[htpb]
 224 \label{alg1-cuda}
 225 \LinesNumbered
 226 \SetAlgoNoLine
 227 \caption{Finding roots of polynomials with the Ehrlich-Aberth method on a GPU}
 228 \KwIn{ $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 229 \KwOut{$Z$ (solution vector of roots)}
 230 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 231 Set the initial values of vector $Z$\;
 232 Copy $P$, $P'$ and $Z$ from CPU to GPU\;
 233 \While{$error > \epsilon$}{
 234   $Z^{prev}$ = KernelSave($Z$)\;
 235   $Z$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 236   $error$ = KernelComputeError($Z,Z^{prev}$)\;
 237 }
 238 Copy $Z$ from GPU to CPU\;
 239 \end{algorithm}
 240
 241
 242 The development of this code is a rather long task, as the development
 243 of corresponding kernels with CUDA is longer than on a CPU host. This
 244 comes in particular from the fact that it is very difficult to debug
 245 CUDA running threads like threads on a CPU host.  In the following
 246 section the GPU parallel implementation of Ehrlich-Aberth method with
 247 OpenMP and MPI is presented.
 248
 249
 250
 251
 252
 253 \section{The EA algorithm on multiple GPUs}
 254 \label{sec4}
 255 \subsection{an OpenMP-CUDA approach}
 256 Our OpenMP-CUDA implementation of EA algorithm is based on the hybrid
 257 OpenMP and CUDA programming model. This algorithm is presented in
 258 Algorithm~\ref{alg2-cuda-openmp}.  All the data are shared with OpenMP
 259 amoung all the OpenMP threads. The shared data are the solution vector
 260 $Z$, the polynomial to solve $P$, its derivative $P'$, and the error
 261 vector $error$. The number of OpenMP threads is equal to the number of
 262 GPUs, each OpenMP thread binds to one GPU, and it controls a part of
 263 the shared memory. More precisely each OpenMP thread will be
 264 responsible to update its owns part of the vector $Z$. This part is
 265 called $Z_{loc}$ in the following. Then all GPUs will have a grid of
 266 computation organized according to the device performance and the size
 267 of data on which it runs the computation kernels.
 268
 269 To compute one iteration of the EA method each GPU performs the
 270 followings steps. First roots are shared with OpenMP and the
 271 computation of the local size for each GPU is performed (line 4). Each
 272 thread starts by copying all the previous roots inside its GPU (line
 273 5). At each iteration, the following operations are performed. First
 274 the vector $Z$ is transferred from the CPU to the GPU (line 7).  Each
 275 GPU copies the previous roots (line 8) and it computes an iteration of
 276 the EA method on its own roots (line 9).  For that all the other roots
 277 are used. The local error is computed on the new roots (line 10) and
 278 the max of the local errors is computed on all OpenMP threads (lien 11). At
 279 the end of an iteration, the updated roots are copied from the GPU to
 280 the CPU (line 12) by direcly updating its own roots in the shared
 281 memory arrays containing all the roots.
 282
 283
 284
 285 \begin{algorithm}[htpb]
 286 \label{alg2-cuda-openmp}
 287 \LinesNumbered
 288 \SetAlgoNoLine
 289 \caption{Finding roots of polynomials with the Ehrlich-Aberth method on multiple GPUs using OpenMP}
 290 \KwIn{ $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 291 \KwOut{$Z$ (solution vector of roots)}
 292 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 293 Set the initial values of vector $Z$\;
 294 Start of a parallel part with OpenMP ($Z$, $error$, $P$, $P'$ are shared variables)\;
 295 Determine the local part of the OpenMP thread\;
 296 Copy $P$, $P'$ from CPU to GPU\;
 297 \While{$error > \epsilon$}{
 298   Copy $Z$ from CPU to GPU\;
 299   $Z^{prev}_{loc}$ = KernelSave($Z_{loc}$)\;
 300   $Z_{loc}$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 301   $error_{loc}$ = KernelComputeError($Z_{loc},Z^{prev}_{loc}$)\;
 302   $error = max(error_{loc})$\;
 303   Copy $Z_{loc}$ from GPU to $Z$ in CPU\;
 304 }
 305 \end{algorithm}
 306
 307
 308
 309
 310
 311 \subsection{a MPI-CUDA approach}
 312
 313 Our parallel implementation of EA to find roots of polynomials using a
 314 CUDA-MPI approach follows a similar approach to the one used in
 315 CUDA-OpenMP. Each process is responsible to compute its own part of
 316 roots using all the roots computed by other processors at the previous
 317 iteration. The difference between both approaches lies in the way
 318 processes communicate and exchange data. With MPI, processors need to
 319 send and receive data explicitely. So in
 320 Algorithm~\ref{alg2-cuda-mpi}, after the initialization all the
 321 processors have the same $Z$ vector. Then they need to compute the
 322 parameters used by the $MPI\_AlltoAll$ routines (line 4). In practise,
 323 each processor needs to compute its offset and its local
 324 size. Processors need to allocate memory on their GPU and need to copy
 325 their data on the GPU (line 5). At the beginning of each iteration, a
 326 processor starts by transfering the whole vector Z from the CPU to the
 327 GPU (line 7). Only the local part of $Z^{prev}$ is saved (line
 328 8). After that, a processor is able to compute an updated version of
 329 its own roots (line 9) with the EA method. The local error is computed
 330 (ligne 10) and the global error using $MPI\_Reduce$ (line 11). Then
 331 the local roots are transfered from the GPU memory to the CPU memory
 332 (line 12) before being exchanged between all processors (lige 13) in
 333 order to give to all processors the last version of the roots (with
 334 the MPI\_AlltoAll routine). If the convergence is not statisfied, an
 335 new iteration is executed.
 336
 337
 338
 339 \begin{algorithm}[htpb]
 340 \label{alg2-cuda-mpi}
 341 \LinesNumbered
 342 \SetAlgoNoLine
 343 \caption{CUDA-MPI Algorithm to find roots with the Ehrlich-Aberth method}
 344
 345 \KwIn{  $\epsilon$ (tolerance threshold)}
 346
 347 \KwOut {$Z$ (solution vector of roots)}
 348
 349 \BlankLine
 350 Initialize the polynomial $P$ and its derivative $P'$\;
 351 Set the initial values of vector $Z$\;
 352 Determine the local part of the MPI process\;
 353 Computation of the parameters for the $MPI\_AlltoAll$\;
 354 Copy $P$, $P'$ from CPU to GPU\;
 355 \While {$error > \epsilon$}{
 356   Copy $Z$ from CPU to GPU\;
 357   $Z^{prev}_{loc}$ = KernelSave($Z_{loc}$)\;
 358   $Z_{loc}$ = KernelUpdate($P,P',Z$)\;
 359   $error_{loc}$ = KernelComputeError($Z_{loc},Z^{prev}_{loc}$)\;
 360   $error=MPI\_Reduce(error_{loc})$\;
 361   Copy $Z_{loc}$ from GPU to CPU\;
 362   $Z=MPI\_AlltoAll(Z_{loc})$\;
 363 }
 364 \end{algorithm}
 365
 366
 367 \section{Experiments}
 368 \label{sec5}
 369 We study two categories of polynomials: sparse polynomials and full polynomials.\\
 370 {\it A sparse polynomial} is a polynomial for which only some coefficients are not null. In this paper, we consider sparse polynomials for which the roots are distributed on 2 distinct circles:
 371 \begin{equation}
 372         \forall \alpha_{1} \alpha_{2} \in C,\forall n_{1},n_{2} \in N^{*}; P(z)= (z^{n_{1}}-\alpha_{1})(z^{n_{2}}-\alpha_{2})
 373 \end{equation}\noindent
 374 {\it A full polynomial} is, in contrast, a polynomial for which all the coefficients are not null. A full polynomial is defined by:
 375 %%\begin{equation}
 376         %%\forall \alpha_{i} \in C,\forall n_{i}\in N^{*}; P(z)= \sum^{n}_{i=1}(z^{n^{i}}.a_{i})
 377 %%\end{equation}
 378
 379 \begin{equation}
 380      {\Large \forall a_{i} \in C, i\in N;  p(x)=\sum^{n}_{i=0} a_{i}.x^{i}}
 381 \end{equation}
 382
 383 For our test, 4 cards GPU tesla Kepler K40 are used.  In order to
 384 evaluate both the GPU and Multi-GPU approaches, we performed a set of
 385 experiments on a single GPU and multiple GPUs using OpenMP or MPI with
 386 the EA algorithm, for both sparse and full polynomials of different
 387 sizes.  All experimental results obtained are perfomed with double
 388 precision float data and the convergence threshold of the EA method is
 389 set to $10^{-7}$.  The initialization values of the vector solution of
 390 the methods are given by Guggenheimer method~\cite{Gugg86}.
 391
 392
 393 \subsection{Evaluation of the CUDA-OpenMP approach}
 394
 395 Here we report some experiments witt full and sparse polynomials of
 396 different degrees with multiple GPUs.
 397 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
 398
 399 In this experiments we report the execution time of the EA algorithm, on single GPU and multi-GPUs with (2,3,4) GPUs, for different sparse polynomial degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
 400
 401 \begin{figure}[htbp]
 402 \centering
 403   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_omp}
 404 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 405   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
 406 \label{fig:01}
 407 \end{figure}
 408
 409 Figure~\ref{fig:01} shows that the CUDA-OpenMP approach scales well
 410 with multiple GPUs. This version allows us to solve sparse polynomials
 411 of very high degrees.
 412
 413 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve full polynomials on multiple GPUs}
 414
 415 These experiments show the execution times of the EA algorithm, on a single GPU and on multiple GPUs using the CUDA OpenMP approach for full polynomials of degrees ranging from 100,000 to 1,400,000.
 416
 417 \begin{figure}[htbp]
 418 \centering
 419   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_omp}
 420 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 421   solve full polynomials on multiple GPUs with CUDA-OpenMP.}
 422 \label{fig:02}
 423 \end{figure}
 424
 425 In Figure~\ref{fig:02}, we can observe that with full polynomials the EA version with
 426 CUDA-OpenMP scales also well. Using 4 GPUs allows us to achieve a
 427 quasi-linear speedup.
 428
 429 \subsection{Evaluation of the CUDA-MPI approach}
 430 In this part we perform some experiments to evaluate the CUDA-MPI
 431 approach to solve full and sparse polynomials of degrees ranging from
 432 100,000 to 1,400,000.
 433
 434 \subsubsection{Execution times of the EA method to solve sparse polynomials on multiple GPUs}
 435
 436 \begin{figure}[htbp]
 437 \centering
 438   \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse_mpi}
 439 \caption{Execution time in seconds of the Ehrlich-Aberth method to
 440   solve sparse polynomials on multiple GPUs with CUDA-MPI.}
 441 \label{fig:03}
 442 \end{figure}
 443 Figure~\ref{fig:03} shows the execution times of te EA algorithm,
 444 for a single GPU, and multiple GPUs (2, 3, 4) with the CUDA-MPI approach.
 445
 446 \subsubsection{Execution time of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials on multiple GPUs using the Multi-GPU appraoch}
 447
 448 \begin{figure}[htbp]
 449 \centering
 450  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full_mpi}
 451 \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for
 452   full polynomials on  multiple GPUs with CUDA-MPI.}
 453 \label{fig:04}
 454 \end{figure}
 455
 456 In Figure~\ref{fig:04}, we can also observe that the CUDA-MPI approach
 457 is also efficient to solve full polynimails on multiple GPUs.
 458
 459 \subsection{Comparison of  the CUDA-OpenMP and the CUDA-MPI approaches}
 460
 461 In the previuos section we saw that both approches are very effecient
 462 to  reduce the execution times the  sparse and full polynomials. In
 463 this section we try to compare these two approaches.
 464
 465 \subsubsection{Solving sparse polynomials}
 466 In this experiment three sparse polynomials of size 200K, 800K and 1,4M are investigated.
 467 \begin{figure}[htbp]
 468 \centering
 469  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Sparse}
 470 \caption{Execution times  to solvs sparse polynomials of three
 471   distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP with the
 472   Ehrlich-Aberth method}
 473 \label{fig:05}
 474 \end{figure}
 475 In Figure~\ref{fig:05} there is one curve for CUDA-MPI and another one
 476 for CUDA-OpenMP. We can see that the results are quite similar between
 477 OpenMP and MPI for the polynomials size of 200K. For the size of 800K,
 478 the MPI version is a little bit slower than the OpenMP approach but for
 479 the 1,4 millions size, there is a slight advantage for the MPI
 480 version.
 481
 482 \subsubsection{Solving full polynomials}
 483 \begin{figure}[htbp]
 484 \centering
 485  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{Full}
 486 \caption{Execution time for solving full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI and OpenMP approaches using Ehrlich-Aberth}
 487 \label{fig:06}
 488 \end{figure}
 489 In Figure~\ref{fig:06}, we can see that when it comes to full polynomials, both approaches are almost equivalent.
 490
 491 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-MPI}
 492
 493 In this experiment we compare the execution time of the EA algorithm
 494 according to the number of GPUs to solve sparse and full
 495 polynomials on multiples GPUs using MPI. We chose three sparse and full
 496 polynomials of size 200K, 800K and 1,4M.
 497 \begin{figure}[htbp]
 498 \centering
 499  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{MPI}
 500 \caption{Execution times to solve sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using MPI.}
 501 \label{fig:07}
 502 \end{figure}
 503 In Figure~\ref{fig:07} we can see that CUDA-MPI can solve sparse and
 504 full polynomials of high degrees, the execution times with sparse
 505 polynomial are very low compared to full polynomials. With sparse
 506 polynomials the number of monomials is reduced, consequently the number
 507 of operations is reduced and the execution time decreases.
 508
 509 \subsubsection{Solving sparse and full polynomials of the same size with CUDA-OpenMP}
 510
 511 \begin{figure}[htbp]
 512 \centering
 513  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{OMP}
 514 \caption{Execution time for solving sparse and full polynomials of three distinct sizes on multiple GPUs using OpenMP}
 515 \label{fig:08}
 516 \end{figure}
 517
 518 Figure ~\ref{fig:08} shows the impact of sparsity on the effectiveness of the CUDA-OpenMP approach. We can see that the impact follows the same pattern, a difference in execution time in favor of the sparse polynomials.
 519
 520 \subsection{Scalability of the EA method on multiple GPUs to solve very high degree polynomials}
 521 These experiments report the execution times of the EA method for
 522 sparse and full polynomials ranging from 1,000,000 to 5,000,000.
 523 \begin{figure}[htbp]
 524 \centering
 525  \includegraphics[angle=-90,width=0.5\textwidth]{big}
 526  \caption{Execution times in seconds of the Ehrlich-Aberth method for solving full polynomials of high degree on 4 GPUs for sizes ranging from 1M to 5M}
 527 \label{fig:09}
 528 \end{figure}
 529 In Figure~\ref{fig:09} we can see that both approaches are scalable
 530 and can solve very high degree polynomials. In addition, with full polynomial as well as sparse ones, both
 531 approaches give very similar results.
 532
 533 %SIDER JE viens de virer \c ca For sparse polynomials here are a noticeable difference in favour of MPI when the degree is
 534 %above 4 millions. Between 1  and 3 millions, OpenMP is more effecient.
 535 %Under 1 million, OpenMPI and MPI are almost equivalent.
 536
 537 %SIDER : il faut une explication sur les différences ici aussi.
 538
 539
 540 \section{Conclusion}
 541 \label{sec6}
 542 In this paper, we have presented a parallel implementation of
 543 Ehrlich-Aberth algorithm to solve full and sparse polynomials, on
 544 single GPU with CUDA and on multiple GPUs using two parallel
 545 paradigms: shared memory with OpenMP and distributed memory with
 546 MPI. These architectures were addressed by a CUDA-OpenMP approach and
 547 CUDA-MPI approach, respectively.  Experiments show that, using
 548 parallel programming model like (OpenMP, MPI). We can efficiently
 549 manage multiple graphics cards to solve the same
 550 problem and accelerate the parallel execution with 4 GPUs and solve a
 551 polynomial of degree up to 5,000,000, four times faster than on single
 552 GPU.
 553
 554
 555 Our next objective is to extend the model presented here with clusters
 556 of GPU nodes, with a three-level scheme: inter-node communication via
 557 MPI processes (distributed memory), management of multi-GPU node by
 558 OpenMP threads (shared memory).
 559
 560
 561 \section*{Acknowledgment}
 562
 563 Computations have been performed on the supercomputer facilities of
 564 the Mésocentre de calcul de Franche-Comté. We also would like to thank
 565 Nvidia for hardware donation under CUDA Research Center 2014.
 566
 567
 568
 569 \bibliography{mybibfile}
 570
 571 \end{document}
 572
 573