preliminaries.tex

   1 In what follows, we consider the Boolean algebra on the set
   2 $\Bool=\{0,1\}$ with the classical operators of conjunction '.',
   3 of disjunction '+', of negation '$\overline{~}$', and of
   4 disjunctive union $\oplus$.
   5
   6 Let $n$ be a positive integer. A  {\emph{Boolean map} $f$ is
   7 a function from $\Bool^n$
   8 to itself
   9 such that
  10 $x=(x_1,\dots,x_n)$ maps to $f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$.
  11 Functions are iterated as follows.
  12 At the $t^{th}$ iteration, only the $s_{t}-$th component is said to be
  13 ``iterated'', where $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$ is a sequence of indices taken in $\llbracket 1;n \rrbracket$ called ``strategy''.
  14 Formally,
  15 let $F_f: \llbracket1;n\rrbracket\times \Bool^{n}$ to $\Bool^n$ be defined by
  16 \[
  17 F_f(i,x)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_n).
  18 \]
  19 Then, let $x^0\in\Bool^n$ be an initial configuration
  20 and $s\in
  21 \llbracket1;n\rrbracket^\Nats$ be a strategy,
  22 the dynamics are described by the recurrence
  23 \begin{equation}\label{eq:asyn}
  24 x^{t+1}=F_f(s_t,x^t).
  25 \end{equation}
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  28 Let be given a Boolean map $f$. Its associated
  29 {\emph{iteration graph}}  $\Gamma(f)$ is the
  30 directed graph such that  the set of vertices is
  31 $\Bool^n$, and for all $x\in\Bool^n$ and $i\in \llbracket1;n\rrbracket$,
  32 the graph $\Gamma(f)$ contains an arc from $x$ to $F_f(i,x)$.
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  34 \begin{xpl}
  35 Let us consider for instance $n=3$.
  36 Let
  37 $f^*: \Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ be defined by
  38 $f^*(x_1,x_2,x_3) =
  39 (x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
  40 \overline{x_1}\overline{x_3} + x_1x_2)$.
  41 The iteration graph $\Gamma(f^*)$ of this function is given in
  42 Figure~\ref{fig:iteration:f*}.
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  44 \vspace{-1em}
  45 \begin{figure}[ht]
  46 \begin{center}
  47 \includegraphics[scale=0.5]{images/iter_f0c}
  48 \end{center}
  49 \vspace{-0.5em}
  50 \caption{Iteration Graph $\Gamma(f^*)$ of the function $f^*$}\label{fig:iteration:f*}
  51 \end{figure}
  52 \end{xpl}
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  54
  55 Let thus be given such kind of map.
  56 This article focuses on studying its iterations according to
  57 the equation~(\ref{eq:asyn}) with a given strategy.
  58 First of all, this can be interpreted as walking into its iteration graph
  59 where the choice of the edge to follow is decided by the strategy.
  60 Notice that the iteration graph is always a subgraph of
  61 $n$-cube augmented with all the self-loop, \textit{i.e.}, all the
  62 edges $(v,v)$ for any $v \in \Bool^n$.
  63 Next, if we add probabilities on the transition graph, iterations can be
  64 interpreted as Markov chains.
  65
  66 \begin{xpl}
  67 Let us consider for instance
  68 the graph $\Gamma(f)$ defined
  69 in \textsc{Figure~\ref{fig:iteration:f*}.} and
  70 the probability function $p$ defined on the set of edges as follows:
  71 $$
  72 p(e) \left\{
  73 \begin{array}{ll}
  74 = \frac{2}{3} \textrm{ if $e=(v,v)$ with $v \in \Bool^3$,}\\
  75 = \frac{1}{6} \textrm{ otherwise.}
  76 \end{array}
  77 \right.
  78 $$
  79 The matrix $P$ of the Markov chain associated to the function $f^*$ and to its probability function $p$ is
  80 \[
  81 P=\dfrac{1}{6} \left(
  82 \begin{array}{llllllll}
  83 4&1&1&0&0&0&0&0 \\
  84 1&4&0&0&0&1&0&0 \\
  85 0&0&4&1&0&0&1&0 \\
  86 0&1&1&4&0&0&0&0 \\
  87 1&0&0&0&4&0&1&0 \\
  88 0&0&0&0&1&4&0&1 \\
  89 0&0&0&0&1&0&4&1 \\
  90 0&0&0&1&0&1&0&4
  91 \end{array}
  92 \right)
  93 \]
  94 \end{xpl}
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  97 % % Let us first recall the  \emph{Total Variation} distance $\tv{\pi-\mu}$,
  98 % % which is defined for two distributions $\pi$ and $\mu$ on the same set
  99 % % $\Bool^n$  by:
 100 % % $$\tv{\pi-\mu}=\max_{A\subset \Bool^n} |\pi(A)-\mu(A)|.$$
 101 % % It is known that
 102 % % $$\tv{\pi-\mu}=\frac{1}{2}\sum_{x\in\Bool^n}|\pi(x)-\mu(x)|.$$
 103
 104 % % Let then $M(x,\cdot)$ be the
 105 % % distribution induced by the $x$-th row of $M$. If the Markov chain
 106 % % induced by
 107 % % $M$ has a stationary distribution $\pi$, then we define
 108 % % $$d(t)=\max_{x\in\Bool^n}\tv{M^t(x,\cdot)-\pi}.$$
 109 % Intuitively $d(t)$ is the largest deviation between
 110 % the distribution $\pi$ and $M^t(x,\cdot)$, which
 111 % is the result of iterating $t$ times the function.
 112 % Finally, let $\varepsilon$ be a positive number, the \emph{mixing time}
 113 % with respect to $\varepsilon$ is given by
 114 % $$t_{\rm mix}(\varepsilon)=\min\{t \mid d(t)\leq \varepsilon\}.$$
 115 % It defines the smallest iteration number
 116 % that is sufficient to obtain a deviation lesser than $\varepsilon$.
 117 % Notice that the upper and lower bounds of mixing times cannot
 118 % directly be computed with eigenvalues formulae as expressed
 119 % in~\cite[Chap. 12]{LevinPeresWilmer2006}. The authors of this latter work
 120 % only consider reversible Markov matrices whereas we do no restrict our
 121 % matrices to such a form.
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