1 Nous avons vu comment construire un générateur de nombre pseudo-aléatoires en
2 utilisant un système booléen en mode chaotique. Cependant, cela nécessite une
3 contrainte forte sur le graphe d'itérations de la fonction associée, qui doit
4 être fortement connexe. Nous étudions dans cette partie une méthode permettant
5 de relâcher un peu les contraintes sur les fonctions $f_i$ en enrichissant le
6 système initial de façon à modéliser la notion de \emph{retards} entre éléments.
8 \subsection{Les retards dans les systèmes dynamiques}
11 La notion de retard provient initialement du besoin de prendre en compte les
12 délais de transfert d'information entre les éléments d'un système. Lorsque l'on
13 se place dans le contexte général, ces délais peuvent eux-mêmes varier dans le
14 temps. On décrit donc le retard de l'élément $j$ par rapport à l'élément $i$ à
15 l'instant $t$ par $r_j^i(t)$. Ainsi, l'information reçue de $j$ en $i$ à $t$ a
16 été générée à l'instant (ou itération) $s_j^i(t)=t-r_j^i(t)$. On en déduit que
17 la mise à jour de l'élément $i$ de l'instant $t$ à $t+1$ s'écrit :
19 x_i(t+1) = f_i(x_1^{s_1^i(t)},x_2^{s_2^i(t)},\dots,x_i^t,\dots,x_{n-1}^{s_{n-1}^i(t)},x_n^{s_n^i(t)})
21 On constate que même si le modèle le permet, on ne met généralement pas de délai
22 entre l'élément $i$ et lui-même car cela n'a pas d'intérêt pratique fort.
24 Plusieurs travaux sur les systèmes à retards (\cite{Mie75, Rob86, BT89, BC02,
25 TNN2006}) ont montré que l'une des influences majeures des retards sur la
26 dynamique du système est d'augmenter le nombre de transitions possibles entre
27 les états. En d'autres termes, cela revient à augmenter la connexité du graphe
28 d'itérations, ce qui est justement la propriété recherchée.
30 Cependant, une difficulté majeure dans notre contexte de génération de nombres
31 pseudo-aléatoires vient du fait que les retards induisent une dépendance du
32 système à son \emph{historique} plus ancien que la seule itération précédente.
33 Cela empêche le recours aux chaînes de Markov classiques pour établir les
34 preuves que les propriétés nécessaires à un bon générateur sont vérifiées.
36 Afin de contourner cet obstacle, nous proposons ici une méthode simple
37 permettant de simuler des retards dans un système booléen chaotique.
39 \subsection{Simulation de retards dans un système booléen chaotique}
42 Soit un système booléen à $n$ éléments dont la dynamique chaotique est décrite
43 par $G_f$. Nous proposons d'étendre ce système afin d'y incorporer des retards
44 simulés. Le principe consiste à ajouter un n{\oe}ud intermédiaire au niveau de
45 chaque interaction entre deux éléments différents (les arcs $(i,s,j)$ t.q $i\ne
46 j$) du graphe d'interactions. Ainsi, si l'on considère l'arc $(i,s,j)$ du graphe
47 initial, alors cet arc sera remplacé dans le nouveau graphe par les arcs
48 $(i,+,k)$ et $(k,s,j)$, avec $x_k$ un nouvel élément booléen du système ayant
49 pour fonction d'évolution $f_k(x)=x_i$. De plus, les occurrences de l'élément
50 $x_i$ dans la fonction $f_j(x)$ seront remplacées par $x_k$. On note que l'arc
51 allant de $i$ à $k$ est systématiquement positif alors que l'arc allant de $k$ à
52 $j$ conserve le signe $s$ de l'ancien arc $(i,s,j)$.
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