conclusion.tex

   1 % Dans cet  article, nous avons montré  qu'une fonction $G_f$ est  chaotique si et
   2 % seulement  la  fonction  booléenne  $f$  a  un  graphe  d'itérations  chaotiques
   3 % fortement  connexe.  L'originalité  majeure repose  sur le  type d'itérations
   4 % considéré,  qui  n'est pas  limité  à  la mise  à  jour  d'un  seul élément  par
   5 % itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
   6 % du système  à chaque itération.  De plus,  il a été  prouvé que la  sortie d'une
   7 % telle  fonction suit  une loi  de distribution  uniforme si  et seulement  si la
   8 % chaîne de Markov  induite peut se représenter à  l'aide d'une matrice doublement
   9 % stochastique.   Enfin, un  algorithme permettant  d'engendrer des  fonctions qui
  10 % vérifient ces deux contraintes a été  présenté et évalué.  Ces fonctions ont été
  11 % ensuite  appliquées avec succès  à la  génération de  nombres pseudo-aléatoires.
  12 % Les  expériences  sur  une  batterie  de  tests éprouvée  ont  pu  confirmer  la
  13 % pertinence de l'approche théorique.
  14 %
  15
  16 In this article, we have proven that the most general chaotic iterations based PRNG, which embeds
  17 an iteration function, satisfies in some cases the property of chaos
  18 as defined by Devaney. We then have shown how to generate such functions together
  19 with the related number of iterations, leading to strongly connected
  20 iteration graphs and thus to chaos for the associated pseudorandom number generators.
  21 By removing some paths in the hypercube, we then have provided examples of such graphs
  22 that lead to chaos, while linking these graphs to the PRNG problem under consideration.
  23
  24 In future work, we intend to understand the link between succeeded or failed statistical tests
  25 and the properties of chaos for the associated asynchronous iterations. By doing so,
  26 relations between desired statistically unbiased behaviors and topological properties will be
  27 understood, leading to better choices in iteration functions. Conditions allowing the
  28 reduction of the mixing time will be investigated too, while other modifications of the hypercube
  29 will be regarded in order to enlarge the set of known chaotic and random asynchronous
  30 iterations.
  31
  32 %
  33 %%% Local Variables:
  34 %%% mode: latex
  35 %%% TeX-master: "main"
  36 %%% End: