on floating point numbers, which is the domain of interpretation of real numbers $\R$ on
machines.
-%
-% Pour éviter cette perte de chaos, nous avons présenté des PRNGs qui itèrent des
-% fonctions continues $G_f$ sur un domaine discret $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
-% \times \{0,1\}^n$ où $f$ est une fonction booléenne (\textit{i.e.}, $f :
-% \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). Ces générateurs sont
-% $\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
-% $\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} et
-% $\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} où \textit{CI} signifie
-% \emph{Chaotic Iterations}.
-%
-% Dans~\cite{bcgr11:ip} nous avons tout d'abord prouvé que pour établir la nature
-% chaotique de l'algorithme $\textit{CIPRNG}_f^1$, il est nécessaire et suffisant
-% que le graphe des itérations asynchrones soit fortement connexe. Nous avons
-% ensuite prouvé que pour que la sortie de cet algorithme suive une loi de
-% distribution uniforme, il est nécessaire et suffisant que la matrice de Markov
-% associée à ce graphe soit doublement stochastique. Nous avons enfin établi des
-% conditions suffisantes pour garantir la première propriété de connexité. Parmi
-% les fonctions générées, on ne retenait ensuite que celles qui vérifiait la
-% seconde propriété. Dans~\cite{chgw14oip}, nous avons proposé une démarche
-% algorithmique permettant d'obtenir directement un graphe d'itérations fortement
-% connexe et dont la matrice de Markov est doublement stochastique. Le travail
-% présenté ici généralise ce dernier article en changeant le domaine d'itération,
-% et donc de métrique. L'algorithme obtenu possède les même propriétés théoriques
-% mais un temps de mélange plus réduit.
+To avoid this lack of chaos, we have previously presented some PRNGs that iterate
+continuous functions $G_f$ on a discrete domain $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
+ \times \{0,1\}^n$, where $f$ is a Boolean function (\textit{i.e.}, $f :
+ \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). These generators are
+$\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
+$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} and
+$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} where \textit{CI} means
+\emph{Chaotic Iterations}.
+We have firstly proven in~\cite{bcgr11:ip} that, to establish the chaotic nature
+of algorithm $\textit{CIPRNG}_f^1$, it is necessary and sufficient that the
+asynchronous iterations are strongly connected. We then have proven that it is necessary
+and sufficient that the Markov matrix associated to this graph is doubly stochastic,
+in order to have a uniform distribution of the outputs. We have finally established
+sufficient conditions to guarantee the first property of connectivity. Among the
+generated functions, we thus considered for further investigations only the one that
+satisfy the second property too. In~\cite{chgw14oip}, we have proposed an algorithmic
+method allowing to directly obtain a strongly connected iteration graph having a doubly
+stochastic Markov matrix. The research work presented here generalizes this latter article
+by updating the iteration domain and the metric. The obtained algorithm owns the same
+theoretical properties but with a reduced mixing time.
+
%
% Pour décrire un peu plus précisément le principe de
% la génération pseudo-aléatoire, considérons l'espace booléen
