relations 13 fini

diff --git a/ensembles/relbin13.tex b/ensembles/relbin13.tex
index ed68ff352a00052ac392fdd9593298253da404dd..0ae73ee8bb4b3e8fb96507589368e79444ec952d 100755 (executable)
--- a/ensembles/relbin13.tex
+++ b/ensembles/relbin13.tex
@@ -28,19 +28,19 @@ que $x$ est \emph{en Relation avec} $y$. On note cela $x{\mathcal{R}}y$.
 Lorsque $E=F$, on parle de relation binaire définie dans l'ensemble $E$.
 Son graphe est une partie de $E^2$.
 Dans ce cas, il est possible que $x \mathcal{R} y$ sans que $y \mathcal{R} x$.
 Lorsque $E=F$, on parle de relation binaire définie dans l'ensemble $E$.
 Son graphe est une partie de $E^2$.
 Dans ce cas, il est possible que $x \mathcal{R} y$ sans que $y \mathcal{R} x$.

-(Penser à la relation \og est plus agé que \fg{}).
+(Penser à la relation \og est plus âgé que \fg{}).

 \end{Rem}
 
 
 
 \end{Rem}
 
 
 

-\begin{Exo}
-Sur l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs, on définit deux relations, notées respectivement $\Sigma$ et $\Delta$, de la façon suivante:
-\begin{itemize}
- \item $x \Sigma y$ quand la somme $x+y$ est paire
-\item  $x \Delta y$ quand la différence $x-y$ est paire
-\end{itemize}
-Sont-elles égales ?
-\end{Exo}
+% \begin{Exo}
+% Sur l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs, on définit deux relations $\Sigma$ et $\Delta$:
+% \begin{itemize}
+%  \item $x \Sigma y$ quand la somme $x+y$ est paire
+% \item  $x \Delta y$ quand la différence $x-y$ est paire
+% \end{itemize}
+% Sont-elles égales ?
+% \end{Exo}

 
 
 \section{Relations d'ordre}
 
 
 \section{Relations d'ordre}


@@ -60,7 +60,7 @@ dans un ensemble $E$.
 
 \begin{Def}[Antisymétrie]
  ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{antisymétrique} \index{relation!antisymétrique} si, lorsque  $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$): 
 
 \begin{Def}[Antisymétrie]
  ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{antisymétrique} \index{relation!antisymétrique} si, lorsque  $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$): 

- $\qqs(x,y)\in E^2,\ x {\mathcal{R}} y\ {\rm et}\ y {\mathcal{R}} x\Imp\ x=y$ 
+ $\qqs(x,y)\in E^2,\ x {\mathcal{R}} y\ {\rm et}\ y {\mathcal{R}} x\Imp\ x=y$.

 % ou encore
 % $\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\ (x,y)\in G ~{\rm et}\ (y,x)\in G\ \Imp x=y$
 % %
 % ou encore
 % $\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\ (x,y)\in G ~{\rm et}\ (y,x)\in G\ \Imp x=y$
 % %


@@ -82,9 +82,9 @@ $\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\qqs z \in E,\ x {\mathcal{R}} y\ {\rm et}\ y {\mathc
 Les relations suivantes sont-elles réflexives, antisymétriques ou transitives ?
 \begin{enumerate}
 \item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $|x| = |y|$.
 Les relations suivantes sont-elles réflexives, antisymétriques ou transitives ?
 \begin{enumerate}
 \item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $|x| = |y|$.

-\item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $sin^2 x + \cos^2 y = 1 $.
+\item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $\sin^2 x + \cos^2 y = 1 $.

 \item $A = \mathbb{N}$ et $x \mathcal{R} y$ s'il existe $p$ et $q$ entiers tels que $y = p x^q$.
 \item $A = \mathbb{N}$ et $x \mathcal{R} y$ s'il existe $p$ et $q$ entiers tels que $y = p x^q$.

-\item $A$ est l'ensemble des points du plan, et $x \mathcal{R} y$ si la distance de $x$ à $y$ est inférieure à 52,7 km.
+% \item $A$ est l'ensemble des points du plan, et $x \mathcal{R} y$ si la distance de $x$ à $y$ est inférieure à 52,7 km.

 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 


@@ -101,13 +101,13 @@ $a \mathcal{R} b$ si et seulement si $a^b \leq b ^a$.
 
 
 
 
 
 

-\begin{Exo}
-Soit $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ deux relations dans $A$.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que si $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont transitives alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est transitive.
-\item Si $\mathcal{R}$ est antisymétrique alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est antisymétrique.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
+% \begin{Exo}
+% Soit $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ deux relations dans $A$.
+% \begin{enumerate}
+% \item Montrer que si $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont transitives alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est transitive.
+% \item Si $\mathcal{R}$ est antisymétrique alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est antisymétrique.
+% \end{enumerate}
+% \end{Exo}

 
 
 \subsection{Relation d'ordre}
 
 
 \subsection{Relation d'ordre}


@@ -126,7 +126,7 @@ On note $a|b$ si et seulement si $b$ est un multiple de $a$ ($\exists k \in \Net
 C'est une relation d'ordre définie dans $\Net$. En effet, elle est
 
 \begin{description}
 C'est une relation d'ordre définie dans $\Net$. En effet, elle est
 
 \begin{description}

-\item[reflexive:] $a=1a$, donc $a|a$ est vrai,
+\item[réflexive:] $a=1a$, donc $a|a$ est vrai,

 \item[antisymétrique:] si $a|b$ et $b|a$, alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'a$. Donc $a = kk' a$. Comme $a \neq 0$, $kk'=1$. Mais $k,k' \in \Net$, donc $k = k' = 1$, et $a = b$.
 \item[transitive:] si $a|b$ et $b|c$, alors alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'c$. Donc $a = k k' c$: il existe $k'' \in \Net$ ($k''=k k'$) tel que $a = k''c$: $a|c$.
 \end{description}
 \item[antisymétrique:] si $a|b$ et $b|a$, alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'a$. Donc $a = kk' a$. Comme $a \neq 0$, $kk'=1$. Mais $k,k' \in \Net$, donc $k = k' = 1$, et $a = b$.
 \item[transitive:] si $a|b$ et $b|c$, alors alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'c$. Donc $a = k k' c$: il existe $k'' \in \Net$ ($k''=k k'$) tel que $a = k''c$: $a|c$.
 \end{description}


@@ -134,10 +134,10 @@ C'est une relation d'ordre définie dans $\Net$. En effet, elle est
 \end{Ex}
 
 
 \end{Ex}
 
 

-La structure algébrique constituée par l'ensemble $E$, muni de la
-relation d'ordre ${\mathcal{R}}$, 
-(c'est-à-dire: le couple $(E,{\mathcal{R}})$) est
-celle d'\emph{ensemble ordonné}\index{ensemble!ordonné}.
+% La structure algébrique constituée par l'ensemble $E$, muni de la
+% relation d'ordre ${\mathcal{R}}$, 
+% (c'est-à-dire: le couple $(E,{\mathcal{R}})$) est
+% celle d'\emph{ensemble ordonné}\index{ensemble!ordonné}.

 
 
 
 
 
 


@@ -158,14 +158,15 @@ On considère\ldots
 \begin{enumerate}
 \item $E=\{1\vir 2\vir 3\vir 4\vir 5\vir 6\vir 7\vir 8\vir 9\}$ et on
 définit la relation binaire $\mathcal{R}$ dans $E$ par son graphe
 \begin{enumerate}
 \item $E=\{1\vir 2\vir 3\vir 4\vir 5\vir 6\vir 7\vir 8\vir 9\}$ et on
 définit la relation binaire $\mathcal{R}$ dans $E$ par son graphe

-$G=\{ $ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (2,8), (2,9), (3,3), (4,3), (4,4), (4,6), (4,8), (4,9), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), 
-(5,9), (6,6), (6,8), (6,9), (7,7), (7,8), (7,9), (8,8), (9,9) $\}$
+$G=\{$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (2,8), (2,9), (3,3), (4,3), (4,4), (4,6), (4,8), (4,9), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), 
+(5,9), (6,6), (6,8), (6,9), (7,7), (7,8), (7,9), (8,8), (9,9)$\}$

 (c'est-à-dire: $1{\mathcal{R}}1$, etc\ldots). 
 Justifier que cette relation est une relation d'ordre.
 
 \item Mêmes questions pour $E'=\{1\vir 2\vir 3\vir 4\vir 5\vir 6\}$ et
 (c'est-à-dire: $1{\mathcal{R}}1$, etc\ldots). 
 Justifier que cette relation est une relation d'ordre.
 
 \item Mêmes questions pour $E'=\{1\vir 2\vir 3\vir 4\vir 5\vir 6\}$ et

-$G'=\{$ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), 
-(2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,6), (4,4), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)$\}$.
+$G'=\{$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), 
+(2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,6), (4,4), (4,6), (5,5), (5,6), 
+(6,6)$\}$.

 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 


@@ -182,9 +183,8 @@ On se place encore dans ce paragraphe dans le cas où $E=F$.
 Soit ${\mathcal{R}}$ une relation binaire définie dans un ensemble (non vide) $E$, de graphe $G$.
 
 \begin{Def}[Relation symétrique]
 Soit ${\mathcal{R}}$ une relation binaire définie dans un ensemble (non vide) $E$, de graphe $G$.
 
 \begin{Def}[Relation symétrique]

-${\mathcal{R}}$ est dite \emph{symétrique} \index{relation!symétrique} si, dès que $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$
-$$\qqs x\in E,\ \qqs y\in E, (x,y)\in G \Imp (y,x)\in G$$
- Ou encore: $\qqs x\in E, \qqs y\in E,\ x {\mathcal{R}} y \Imp y {\mathcal{R}} x$.
+${\mathcal{R}}$ est dite \emph{symétrique} \index{relation!symétrique} si, dès que $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$:
+$\qqs x\in E, \qqs y\in E,\ x {\mathcal{R}} y \Imp y {\mathcal{R}} x$.

 \end{Def}
 
 
 \end{Def}
 
 


@@ -214,7 +214,7 @@ alors $y-x=(-k)\cdot n$; or, si $k\in\Z$, $(-k)\in\Z$, donc $y\equiv x\
 [n]$.
 \item[transitive:] si $x\equiv y\ [n]$ et $y\equiv z\ [n]$, $\exi
 k\in\Z$, $x-y=k\cdot n$ et $\exi l\in\Z$, $y-z=l\cdot n$. En
 [n]$.
 \item[transitive:] si $x\equiv y\ [n]$ et $y\equiv z\ [n]$, $\exi
 k\in\Z$, $x-y=k\cdot n$ et $\exi l\in\Z$, $y-z=l\cdot n$. En

-aditionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient
+additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient

 $x-z=(k+l)\cdot n$, or $(k,l)\in\Z^2$, donc $k+l \in\Z$, donc
 $x\equiv z\ [n]$.
 \end{description}
 $x-z=(k+l)\cdot n$, or $(k,l)\in\Z^2$, donc $k+l \in\Z$, donc
 $x\equiv z\ [n]$.
 \end{description}


@@ -293,12 +293,9 @@ $x\mathcal{R}y$ ssi   $x.e^{y}= y.e^{x}$.
 
 \begin{Th}
 L'intersection de deux classes d'équivalence distinctes est vide.
 
 \begin{Th}
 L'intersection de deux classes d'équivalence distinctes est vide.

+On dit aussi que les classes sont deux à deux disjointes.

 \end{Th}
 
 \end{Th}
 

-\begin{Rem}
- On dit aussi que les classes sont deux à deux disjointes.
-\end{Rem}
-

 
 \begin{Pre}
 On considère deux classes, $\dot x$ et $\dot y$, soit $z\in\dot x\inter\dot y$; $\qqs t\in\dot x$, on a $(t,x)\in G$; mais
 
 \begin{Pre}
 On considère deux classes, $\dot x$ et $\dot y$, soit $z\in\dot x\inter\dot y$; $\qqs t\in\dot x$, on a $(t,x)\in G$; mais


@@ -355,7 +352,7 @@ Trouver la partition de $A$ induite par $\mathcal{R}$, c'est-à-dire trouver les
 
 
 
 
 
 

-\begin{Exo}[Une relation d'équivalence]
+\begin{Exo}

 On considère l'ensemble des points du plan rapporté à
 deux axes de coordonnées rectangulaires et deux points $P_1$ et
 $P_2$ de coordonnées respectives $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$; on
 On considère l'ensemble des points du plan rapporté à
 deux axes de coordonnées rectangulaires et deux points $P_1$ et
 $P_2$ de coordonnées respectives $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$; on


@@ -378,35 +375,31 @@ $P_1 {\mathcal{R}} P_2 \Ssi x_1y_1=x_2y_2\ {\rm et}\ x_1x_2\geqslant 0$
 % \end{Exo}
 
 
 % \end{Exo}
 
 

-\begin{Exo}
-Définir, par leurs graphes, les relations d'équivalence dans $E$ qui comportent respectivement le moins et le plus possible de points.
-Que peut-on dire de ces relations? 
-\end{Exo}

 
 
 
 

-\subsection{Ensemble-quotient}
+% \subsection{Ensemble-quotient}

 
 

-\begin{Def}[Ensemble-quotient]
-Il s'agit de l'ensemble des classes d'équivalence de tous les éléments de $E$.
-\end{Def}
+% \begin{Def}[Ensemble-quotient]
+% Il s'agit de l'ensemble des classes d'équivalence de tous les éléments de $E$.
+% \end{Def}

 
 
 
 

-\begin{Notation}
-$E/{\mathcal{R}}$.
-\end{Notation}
+% \begin{Notation}
+% $E/{\mathcal{R}}$.
+% \end{Notation}

 
 
 
 

-Pour parler aisément d'une classe, on choisit un de ses éléments, 
-et cet élément, surmonté d'un point, sert à représenter la classe en question.
-Une fois que ce choix est fait, il est définitif, et il n'est plus question d'évoquer les autres éléments de cette classe, il faut
-se tenir, sous peine d'incohérence, au choix qui a été fait.
+% Pour parler aisément d'une classe, on choisit un de ses éléments, 
+% et cet élément, surmonté d'un point, sert à représenter la classe en question.
+% Une fois que ce choix est fait, il est définitif, et il n'est plus question d'évoquer les autres éléments de cette classe, il faut
+% se tenir, sous peine d'incohérence, au choix qui a été fait.

 
 
 
 
 
 

-\begin{Ex}[Congruence modulo 4]
-On choisit pour représentants les entiers $<4$, donc 0, 1, 2 et 3.
-L'ensemble-quotient est $\Z/4\Z=\{\dot 0,\dot 1,\dot 2,\dot 3\}$.
-\end{Ex}
+% \begin{Ex}[Congruence modulo 4]
+% On choisit pour représentants les entiers $<4$, donc 0, 1, 2 et 3.
+% L'ensemble-quotient est $\Z/4\Z=\{\dot 0,\dot 1,\dot 2,\dot 3\}$.
+% \end{Ex}

 
 
 
 
 
 

diff --git a/main13.aux b/main13.aux
index 2be045cff556137e55260ff3ae62ed9e359042b3..44666a45e32b4003924c76c13d42281d080c9073 100644 (file)
--- a/main13.aux
+++ b/main13.aux
@@ -245,53 +245,45 @@
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{1}}{Relation binaire}}{30}{Def.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{1}}{}}{30}{Exo.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Rem}{{Remarque}{4.{1}}{}}{30}{Rem.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{1}}{Relation binaire}}{30}{Def.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{1}}{}}{30}{Exo.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Rem}{{Remarque}{4.{1}}{}}{30}{Rem.1}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{2}}{}}{30}{Exo.2}}

 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {II}Relations d'ordre}{30}{section.4.2}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {II.1}R\IeC {\'e}flexivit\IeC {\'e}, antisym\IeC {\'e}trie, transitivit\IeC {\'e}}{30}{subsection.4.2.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{2}}{Réflexivité}}{30}{Def.2}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{3}}{Antisymétrie}}{30}{Def.3}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {II}Relations d'ordre}{30}{section.4.2}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {II.1}R\IeC {\'e}flexivit\IeC {\'e}, antisym\IeC {\'e}trie, transitivit\IeC {\'e}}{30}{subsection.4.2.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{2}}{Réflexivité}}{30}{Def.2}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{3}}{Antisymétrie}}{30}{Def.3}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{4}}{Transitivité}}{31}{Def.4}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{4}}{Transitivité}}{30}{Def.4}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{2}}{}}{30}{Exo.2}}

 \@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{3}}{}}{31}{Exo.3}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{3}}{}}{31}{Exo.3}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{4}}{}}{31}{Exo.4}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{5}}{}}{31}{Exo.5}}

 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {II.2}Relation d'ordre}{31}{subsection.4.2.2}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{5}}{Relation d'ordre}}{31}{Def.5}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {II.2}Relation d'ordre}{31}{subsection.4.2.2}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{5}}{Relation d'ordre}}{31}{Def.5}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{6}}{}}{31}{Exo.6}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{7}}{Relation de divisibilité}}{31}{Exo.7}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{4}}{}}{31}{Exo.4}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{5}}{Relation de divisibilité}}{31}{Exo.5}}

 \global\def\markxxExi{\ensuremath {}}
 \global\def\markxxExi{\ensuremath {}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{8}}{}}{31}{Exo.8}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{9}}{Diagrammes de transitivité}}{31}{Exo.9}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {III}Relations d'\IeC {\'e}quivalence}{32}{section.4.3}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{6}}{Relation symétrique}}{32}{Def.6}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{7}}{Relation d'équivalence}}{32}{Def.7}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{10}}{}}{32}{Exo.10}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{11}}{Relation de congruence modulo $n$ dans $\Z $}}{32}{Exo.11}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{6}}{}}{31}{Exo.6}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{7}}{Diagrammes de transitivité}}{31}{Exo.7}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {III}Relations d'\IeC {\'e}quivalence}{31}{section.4.3}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{6}}{Relation symétrique}}{31}{Def.6}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{7}}{Relation d'équivalence}}{31}{Def.7}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{8}}{}}{31}{Exo.8}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{9}}{Relation de congruence modulo $n$ dans $\Z $}}{32}{Exo.9}}

 \global\def\markxxiiExi{\ensuremath {}}
 \global\def\markxxiiExi{\ensuremath {}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{12}}{}}{32}{Exo.12}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{10}}{}}{32}{Exo.10}}

 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {III.1}Classes d'\IeC {\'e}quivalence}{32}{subsection.4.3.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{8}}{Classe d'équivalence}}{32}{Def.8}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Notation}{{Notation}{4.{1}}{}}{32}{Notation.1}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {III.1}Classes d'\IeC {\'e}quivalence}{32}{subsection.4.3.1}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{8}}{Classe d'équivalence}}{32}{Def.8}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Notation}{{Notation}{4.{1}}{}}{32}{Notation.1}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{13}}{}}{32}{Exo.13}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{14}}{}}{32}{Exo.14}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{1}}{}}{33}{Th.1}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Rem}{{Remarque}{4.{2}}{}}{33}{Rem.2}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Pre}{{Preuve}{1}{}}{33}{Pre.1}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{9}}{Partition d'un ensemble}}{33}{Def.9}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{11}}{}}{32}{Exo.11}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{12}}{}}{32}{Exo.12}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{1}}{}}{32}{Th.1}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Pre}{{Preuve}{1}{}}{32}{Pre.1}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{9}}{Partition d'un ensemble}}{32}{Def.9}}

 \@writefile{thm}{\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{2}}{}}{33}{Th.2}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Pre}{{Preuve}{2}{}}{33}{Pre.2}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{2}}{}}{33}{Th.2}}
 \@writefile{thm}{\contentsline {Pre}{{Preuve}{2}{}}{33}{Pre.2}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{15}}{}}{33}{Exo.15}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{13}}{}}{33}{Exo.13}}

 \global\def\markxxiiiEx{\ensuremath {}}
 \global\def\markxxiiiEx{\ensuremath {}}

-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{16}}{}}{33}{Exo.16}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{17}}{Une relation d'équivalence}}{33}{Exo.17}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{18}}{}}{33}{Exo.18}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {III.2}Ensemble-quotient}{34}{subsection.4.3.2}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{4.{10}}{Ensemble-quotient}}{34}{Def.10}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Notation}{{Notation}{4.{2}}{}}{34}{Notation.2}}
-\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{19}}{Congruence modulo 4}}{34}{Exo.19}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {part}{III\hspace  {1em}Annexes}{35}{part.3}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{14}}{}}{33}{Exo.14}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{15}}{}}{33}{Exo.15}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {part}{III\hspace  {1em}Annexes}{34}{part.3}}

 \@input{PPN.aux}
 \bibstyle{alpha}
 \bibdata{biblio}
 \bibcite{Dowek07}{Dow07}
 \@input{PPN.aux}
 \bibstyle{alpha}
 \bibdata{biblio}
 \bibcite{Dowek07}{Dow07}

-\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{Index}{37}{chapter.5}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{Index}{36}{chapter.5}}

 \@input{Bibliographie.aux}
 \@input{Bibliographie.aux}

diff --git a/main13.idx b/main13.idx
index 4f9ac365d022cfa70e237a928920c984836066f3..4aa90576cf21c95c146590733b49871b64a11c43 100644 (file)
--- a/main13.idx
+++ b/main13.idx
@@ -29,9 +29,8 @@
 \indexentry{relation binaire|hyperpage}{30}
 \indexentry{relation!r\IeC {\'e}flexive|hyperpage}{30}
 \indexentry{relation!antisym\IeC {\'e}trique|hyperpage}{30}
 \indexentry{relation binaire|hyperpage}{30}
 \indexentry{relation!r\IeC {\'e}flexive|hyperpage}{30}
 \indexentry{relation!antisym\IeC {\'e}trique|hyperpage}{30}

-\indexentry{relation!transitive|hyperpage}{31}
+\indexentry{relation!transitive|hyperpage}{30}

 \indexentry{relation!d'ordre|hyperpage}{31}
 \indexentry{relation!d'ordre|hyperpage}{31}

-\indexentry{ensemble!ordonn\IeC {\'e}|hyperpage}{31}
-\indexentry{relation!sym\IeC {\'e}trique|hyperpage}{32}
+\indexentry{relation!sym\IeC {\'e}trique|hyperpage}{31}

 \indexentry{classe d'\IeC {\'e}quivalence|hyperpage}{32}
 \indexentry{classe d'\IeC {\'e}quivalence|hyperpage}{32}

-\indexentry{partition|hyperpage}{33}
+\indexentry{partition|hyperpage}{32}

diff --git a/main13.log b/main13.log
index ee44dc553f8a7f5502172f94cb034d67811c8988..113a226f427adba9154d83656e58fa40165c47e8 100644 (file)
--- a/main13.log
+++ b/main13.log
@@ -1,8 +1,8 @@
-This is pdfTeX, Version 3.1415926-2.4-1.40.13 (TeX Live 2012/Debian) (format=pdflatex 2013.4.28)  17 OCT 2013 13:42
+This is pdfTeX, Version 3.1415926-2.4-1.40.13 (TeX Live 2012/Debian) (format=pdflatex 2013.4.28)  17 OCT 2013 21:26

 entering extended mode
  restricted \write18 enabled.
  %&-line parsing enabled.
 entering extended mode
  restricted \write18 enabled.
  %&-line parsing enabled.

-**main13
+**main13.tex

 (./main13.tex
 LaTeX2e <2011/06/27>
 Babel <v3.8m> and hyphenation patterns for english, dumylang, nohyphenation, lo
 (./main13.tex
 LaTeX2e <2011/06/27>
 Babel <v3.8m> and hyphenation patterns for english, dumylang, nohyphenation, lo


@@ -1644,11 +1644,6 @@ me{Rem.1}) has been already used, duplicate ignored
                    \relax 
 l.27 \begin{Rem}
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
                    \relax 
 l.27 \begin{Rem}
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na

-me{Exo.2}) has been already used, duplicate ignored
-<to be read again> 
-                   \relax 
-l.36 \begin{Exo}
-                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na

 me{Def.2}) has been already used, duplicate ignored
 <to be read again> 
                    \relax 
 me{Def.2}) has been already used, duplicate ignored
 <to be read again> 
                    \relax 


@@ -1664,44 +1659,39 @@ l.61 \begin{Def}
                    \relax 
 l.71 \begin{Def}
                 [Transitivité]pdfTeX warning (ext4): destination with the same
                    \relax 
 l.71 \begin{Def}
                 [Transitivité]pdfTeX warning (ext4): destination with the same

- identifier (name{Exo.3}) has been already used, duplicate ignored
+ identifier (name{Exo.2}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.81 \begin{Exo}
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.81 \begin{Exo}

-                 [30
-
-]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.4}) has 
-been already used, duplicate ignored
-<to be read again> 
-                   \relax 
-l.93 \begin{Exo}

                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na

-me{Exo.5}) has been already used, duplicate ignored
+me{Exo.3}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 <to be read again> 
                    \relax 

-l.104 \begin{Exo}
-                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
-ame{Def.5}) has been already used, duplicate ignored
+l.93 \begin{Exo}
+                 [30
+
+]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Def.5}) has 
+been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.115 \begin{Def}
                  [Relation d'ordre]pdfTeX warning (ext4): destination with the 
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.115 \begin{Def}
                  [Relation d'ordre]pdfTeX warning (ext4): destination with the 

-same identifier (name{Exo.6}) has been already used, duplicate ignored
+same identifier (name{Exo.4}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.120 \begin{Ex}
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.120 \begin{Ex}
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na

-me{Exo.7}) has been already used, duplicate ignored
+me{Exo.5}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.124 \begin{Ex}
                 [Relation de divisibilité]pdfTeX warning (ext4): destination w
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.124 \begin{Ex}
                 [Relation de divisibilité]pdfTeX warning (ext4): destination w

-ith the same identifier (name{Exo.8}) has been already used, duplicate ignored
+ith the same identifier (name{Exo.6}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.145 \begin{Exo}
                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.145 \begin{Exo}
                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n

-ame{Exo.9}) has been already used, duplicate ignored
+ame{Exo.7}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.156 \begin{Exo}
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.156 \begin{Exo}


@@ -1710,10 +1700,9 @@ n with the same identifier (name{Def.6}) has been already used, duplicate ignor
 ed
 <to be read again> 
                    \relax 
 ed
 <to be read again> 
                    \relax 

-l.184 \begin{Def}
-                 [Relation symétrique] [31]pdfTeX warning (ext4): destination 
-with the same identifier (name{Def.7}) has been already used, duplicate ignored
-
+l.185 \begin{Def}
+                 [Relation symétrique]pdfTeX warning (ext4): destination with 
+the same identifier (name{Def.7}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.193 \begin{Def}
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.193 \begin{Def}


@@ -1723,19 +1712,19 @@ Overfull \hbox (1.20601pt too wide) in paragraph at lines 194--196
  lorsqu'elle est réflex-
  []
 
  lorsqu'elle est réflex-
  []
 

-pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.10}) has 
-been already used, duplicate ignored
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.8}) has b
+een already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.199 \begin{Ex}
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.199 \begin{Ex}
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na

-me{Exo.11}) has been already used, duplicate ignored
+me{Exo.9}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.205 \begin{Ex}
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.205 \begin{Ex}

-                [Relation de congruence modulo $n$ dans $\Z$]pdfTeX warning (ex
-t4): destination with the same identifier (name{Exo.12}) has been already used,
- duplicate ignored
+                [Relation de congruence modulo $n$ dans $\Z$] [31]pdfTeX warnin
+g (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.10}) has been already 
+used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.225 \begin{Exo}
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.225 \begin{Exo}


@@ -1745,12 +1734,12 @@ ame{Notation.1}) has been already used, duplicate ignored
                    \relax 
 l.250 \begin{Notation}
                       pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifi
                    \relax 
 l.250 \begin{Notation}
                       pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifi

-er (name{Exo.13}) has been already used, duplicate ignored
+er (name{Exo.11}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.255 \begin{Exo}
                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.255 \begin{Exo}
                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n

-ame{Exo.14}) has been already used, duplicate ignored
+ame{Exo.12}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 l.264 \begin{Exo}
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.264 \begin{Exo}


@@ -1759,63 +1748,42 @@ ame{Th.1}) has been already used, duplicate ignored
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.294 \begin{Th}
 <to be read again> 
                    \relax 
 l.294 \begin{Th}

-                 [32]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifie
-r (name{Rem.2}) has been already used, duplicate ignored
-<to be read again> 
-                   \relax 
-l.298 \begin{Rem}
-                 
+                

 Package hyperref Info: bookmark level for unknown Pre defaults to 0 on input li
 Package hyperref Info: bookmark level for unknown Pre defaults to 0 on input li

-ne 304.
+ne 301.

 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Th.2}) has be
 en already used, duplicate ignored
 <to be read again> 
                    \relax 
 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Th.2}) has be
 en already used, duplicate ignored
 <to be read again> 
                    \relax 

-l.321 \begin{Th}
-                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
-me{Exo.15}) has been already used, duplicate ignored
+l.318 \begin{Th}
+                 [32]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifie
+r (name{Exo.13}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 <to be read again> 
                    \relax 

-l.331 \begin{Ex}
+l.328 \begin{Ex}

                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na

-me{Exo.16}) has been already used, duplicate ignored
-<to be read again> 
-                   \relax 
-l.346 \begin{Exo}
-                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
-ame{Exo.17}) has been already used, duplicate ignored
-<to be read again> 
-                   \relax 
-l.358 \begin{Exo}
-                 [Une relation d'équivalence]pdfTeX warning (ext4): destinatio
-n with the same identifier (name{Exo.18}) has been already used, duplicate igno
-red
+me{Exo.14}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 <to be read again> 
                    \relax 

-l.381 \begin{Exo}
+l.343 \begin{Exo}

                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n

-ame{Notation.2}) has been already used, duplicate ignored
-<to be read again> 
-                   \relax 
-l.394 \begin{Notation}
-                      pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifi
-er (name{Exo.19}) has been already used, duplicate ignored
+ame{Exo.15}) has been already used, duplicate ignored

 <to be read again> 
                    \relax 
 <to be read again> 
                    \relax 

-l.406 \begin{Ex}
-                [Congruence modulo 4] [33]) [34] [35
+l.355 \begin{Exo}
+                 ) [33] [34

 
 ]
 \openout2 = `PPN.aux'.
 
  (./PPN.tex
 Chapitre 5.
 
 ]
 \openout2 = `PPN.aux'.
 
  (./PPN.tex
 Chapitre 5.

-) [36
+) [35

 
 
 ]
 No file main13.ind.
 
 
 ]
 No file main13.ind.

-(./main13.bbl) [37
+(./main13.bbl) [36

 
 
 ]
 
 
 ]


@@ -1834,7 +1802,7 @@ Overfull \hbox (11.59552pt too wide) in paragraph at lines 13--14
 []\T1/ptm/m/n/10.95 ] : Pour un pub-lic aver-tis, souhai-
  []
 
 []\T1/ptm/m/n/10.95 ] : Pour un pub-lic aver-tis, souhai-
  []
 

-) [38
+) [37

 
 
 ]
 
 
 ]


@@ -1847,17 +1815,17 @@ Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 336.
 Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 336.
 Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 336.
 Package rerunfilecheck Info: File `main13.out' has not changed.
 Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 336.
 Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 336.
 Package rerunfilecheck Info: File `main13.out' has not changed.

-(rerunfilecheck)             Checksum: BDAE9B6D6DE61206219E655EA40146AA;3248.
+(rerunfilecheck)             Checksum: B510A10B4C2809C1121D155E1D0BF426;3178.

 Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 336.
  ) 
 Here is how much of TeX's memory you used:
 Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 336.
  ) 
 Here is how much of TeX's memory you used:

- 11796 strings out of 495059
- 159536 string characters out of 3182030
+ 11789 strings out of 495059
+ 159454 string characters out of 3182030

  286421 words of memory out of 3000000
  286421 words of memory out of 3000000

- 14358 multiletter control sequences out of 15000+200000
+ 14355 multiletter control sequences out of 15000+200000

  97094 words of font info for 97 fonts, out of 3000000 for 9000
  14 hyphenation exceptions out of 8191
  97094 words of font info for 97 fonts, out of 3000000 for 9000
  14 hyphenation exceptions out of 8191

- 30i,13n,32p,465b,618s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s
+ 30i,13n,32p,469b,618s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s

 {/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}{/usr/share/texmf/
 fonts/enc/dvips/lm/lm-mathex.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathsy
 .enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathit.enc}{/usr/share/texmf/fonts
 {/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}{/usr/share/texmf/
 fonts/enc/dvips/lm/lm-mathex.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathsy
 .enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathit.enc}{/usr/share/texmf/fonts


@@ -1876,10 +1844,10 @@ urw/times/utmb8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmbi
 8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.pfb></usr/sh
 are/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.pfb></usr/share/texlive/tex
 mf-dist/fonts/type1/urw/times/utmri8a.pfb>
 8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.pfb></usr/sh
 are/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.pfb></usr/share/texlive/tex
 mf-dist/fonts/type1/urw/times/utmri8a.pfb>

-Output written on main13.pdf (39 pages, 324131 bytes).
+Output written on main13.pdf (38 pages, 320746 bytes).

 PDF statistics:
 PDF statistics:

- 804 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
- 736 compressed objects within 8 object streams
- 331 named destinations out of 1000 (max. 500000)
- 345 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+ 792 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
+ 725 compressed objects within 8 object streams
+ 327 named destinations out of 1000 (max. 500000)
+ 337 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

 
 

diff --git a/main13.out b/main13.out
index a5d50b7ccd903fa6af6e5498d509db1f0a6d552f..9694ee0e914bd43027b0256997f3b09afd3db0ed 100644 (file)
--- a/main13.out
+++ b/main13.out
@@ -37,7 +37,6 @@
 \BOOKMARK [2][]{subsection.4.2.2}{Relation d'ordre}{section.4.2}% 37
 \BOOKMARK [1][]{section.4.3}{Relations d'\351quivalence}{chapter.4}% 38
 \BOOKMARK [2][]{subsection.4.3.1}{Classes d'\351quivalence}{section.4.3}% 39
 \BOOKMARK [2][]{subsection.4.2.2}{Relation d'ordre}{section.4.2}% 37
 \BOOKMARK [1][]{section.4.3}{Relations d'\351quivalence}{chapter.4}% 38
 \BOOKMARK [2][]{subsection.4.3.1}{Classes d'\351quivalence}{section.4.3}% 39

-\BOOKMARK [2][]{subsection.4.3.2}{Ensemble-quotient}{section.4.3}% 40
-\BOOKMARK [-1][]{part.3}{III Annexes}{}% 41
-\BOOKMARK [0][]{chapter.5}{Programme P\351dagogique National 2005 \(PPN\)}{part.3}% 42
-\BOOKMARK [0][]{chapter.5}{Index}{part.3}% 43
+\BOOKMARK [-1][]{part.3}{III Annexes}{}% 40
+\BOOKMARK [0][]{chapter.5}{Programme P\351dagogique National 2005 \(PPN\)}{part.3}% 41
+\BOOKMARK [0][]{chapter.5}{Index}{part.3}% 42

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--- a/main13.thm
+++ b/main13.thm
@@ -128,37 +128,30 @@
 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{1}}{Relation binaire}}{30}{Def.1}
 \contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{1}}{}}{30}{Exo.1}
 \contentsline {Rem}{{Remarque}{4.{1}}{}}{30}{Rem.1}
 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{1}}{Relation binaire}}{30}{Def.1}
 \contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{1}}{}}{30}{Exo.1}
 \contentsline {Rem}{{Remarque}{4.{1}}{}}{30}{Rem.1}

-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{2}}{}}{30}{Exo.2}

 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{2}}{Réflexivité}}{30}{Def.2}
 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{3}}{Antisymétrie}}{30}{Def.3}
 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{2}}{Réflexivité}}{30}{Def.2}
 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{3}}{Antisymétrie}}{30}{Def.3}

-\contentsline {Def}{{Définition}{4.{4}}{Transitivité}}{31}{Def.4}
+\contentsline {Def}{{Définition}{4.{4}}{Transitivité}}{30}{Def.4}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{2}}{}}{30}{Exo.2}

 \contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{3}}{}}{31}{Exo.3}
 \contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{3}}{}}{31}{Exo.3}

-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{4}}{}}{31}{Exo.4}
-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{5}}{}}{31}{Exo.5}

 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{5}}{Relation d'ordre}}{31}{Def.5}
 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{5}}{Relation d'ordre}}{31}{Def.5}

-\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{6}}{}}{31}{Exo.6}
-\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{7}}{Relation de divisibilité}}{31}{Exo.7}
-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{8}}{}}{31}{Exo.8}
-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{9}}{Diagrammes de transitivité}}{31}{Exo.9}
-\contentsline {Def}{{Définition}{4.{6}}{Relation symétrique}}{32}{Def.6}
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-\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{10}}{}}{32}{Exo.10}
-\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{11}}{Relation de congruence modulo $n$ dans $\Z $}}{32}{Exo.11}
-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{12}}{}}{32}{Exo.12}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{4}}{}}{31}{Exo.4}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{5}}{Relation de divisibilité}}{31}{Exo.5}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{6}}{}}{31}{Exo.6}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{7}}{Diagrammes de transitivité}}{31}{Exo.7}
+\contentsline {Def}{{Définition}{4.{6}}{Relation symétrique}}{31}{Def.6}
+\contentsline {Def}{{Définition}{4.{7}}{Relation d'équivalence}}{31}{Def.7}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{8}}{}}{31}{Exo.8}
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+\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{10}}{}}{32}{Exo.10}

 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{8}}{Classe d'équivalence}}{32}{Def.8}
 \contentsline {Notation}{{Notation}{4.{1}}{}}{32}{Notation.1}
 \contentsline {Def}{{Définition}{4.{8}}{Classe d'équivalence}}{32}{Def.8}
 \contentsline {Notation}{{Notation}{4.{1}}{}}{32}{Notation.1}

-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{13}}{}}{32}{Exo.13}
-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{14}}{}}{32}{Exo.14}
-\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{1}}{}}{33}{Th.1}
-\contentsline {Rem}{{Remarque}{4.{2}}{}}{33}{Rem.2}
-\contentsline {Pre}{{Preuve}{1}{}}{33}{Pre.1}
-\contentsline {Def}{{Définition}{4.{9}}{Partition d'un ensemble}}{33}{Def.9}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{11}}{}}{32}{Exo.11}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{12}}{}}{32}{Exo.12}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{1}}{}}{32}{Th.1}
+\contentsline {Pre}{{Preuve}{1}{}}{32}{Pre.1}
+\contentsline {Def}{{Définition}{4.{9}}{Partition d'un ensemble}}{32}{Def.9}

 \contentsline {Th}{{Propriété}{4.{2}}{}}{33}{Th.2}
 \contentsline {Pre}{{Preuve}{2}{}}{33}{Pre.2}
 \contentsline {Th}{{Propriété}{4.{2}}{}}{33}{Th.2}
 \contentsline {Pre}{{Preuve}{2}{}}{33}{Pre.2}

-\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{15}}{}}{33}{Exo.15}
-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{16}}{}}{33}{Exo.16}
-\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{17}}{Une relation d'équivalence}}{33}{Exo.17}
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-\contentsline {Def}{{Définition}{4.{10}}{Ensemble-quotient}}{34}{Def.10}
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-\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{19}}{Congruence modulo 4}}{34}{Exo.19}
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+\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{15}}{}}{33}{Exo.15}

diff --git a/main13.toc b/main13.toc
index 6578952c03880a0e14605ca430068d2b21c386e6..97f7bb027bf357185b0f523914cd93585e46061a 100644 (file)
--- a/main13.toc
+++ b/main13.toc
@@ -44,9 +44,8 @@
 \contentsline {section}{\numberline {II}Relations d'ordre}{30}{section.4.2}
 \contentsline {subsection}{\numberline {II.1}R\IeC {\'e}flexivit\IeC {\'e}, antisym\IeC {\'e}trie, transitivit\IeC {\'e}}{30}{subsection.4.2.1}
 \contentsline {subsection}{\numberline {II.2}Relation d'ordre}{31}{subsection.4.2.2}
 \contentsline {section}{\numberline {II}Relations d'ordre}{30}{section.4.2}
 \contentsline {subsection}{\numberline {II.1}R\IeC {\'e}flexivit\IeC {\'e}, antisym\IeC {\'e}trie, transitivit\IeC {\'e}}{30}{subsection.4.2.1}
 \contentsline {subsection}{\numberline {II.2}Relation d'ordre}{31}{subsection.4.2.2}

-\contentsline {section}{\numberline {III}Relations d'\IeC {\'e}quivalence}{32}{section.4.3}
+\contentsline {section}{\numberline {III}Relations d'\IeC {\'e}quivalence}{31}{section.4.3}

 \contentsline {subsection}{\numberline {III.1}Classes d'\IeC {\'e}quivalence}{32}{subsection.4.3.1}
 \contentsline {subsection}{\numberline {III.1}Classes d'\IeC {\'e}quivalence}{32}{subsection.4.3.1}

-\contentsline {subsection}{\numberline {III.2}Ensemble-quotient}{34}{subsection.4.3.2}
-\contentsline {part}{III\hspace {1em}Annexes}{35}{part.3}
-\contentsline {chapter}{\numberline {5}Programme P\IeC {\'e}dagogique National 2005 (PPN)}{36}{chapter.5}
-\contentsline {chapter}{Index}{37}{chapter.5}
+\contentsline {part}{III\hspace {1em}Annexes}{34}{part.3}
+\contentsline {chapter}{\numberline {5}Programme P\IeC {\'e}dagogique National 2005 (PPN)}{35}{chapter.5}
+\contentsline {chapter}{Index}{36}{chapter.5}