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   1 En étudiant le watermarking,
   2 nous avons constaté que très peu de travaux ciblaient les documents PDF
   3 qui représentent cependant une part non anecdotique des données
   4 échangées en ligne.
   5 Parmi ces travaux, \cite{PD2008} propose la modification du nombre
   6 d'espaces entre les mots ou entre les paragraphes.
   7 Similairement, les auteurs  de~\cite{DBLP:journals/sigpro/LeeT10}
   8 ajoutent des caractères invisibles dans le document.
   9 En supprimant ces espaces ou caractères invisibles, la marque s'enlève
  10 facilement.
  11 Dans~\cite{PD2008}, les auteurs modifient de manière imperceptible
  12 le positionnements des caractères. D'autres éléments de postionnement
  13 sont intégrés dans~\cite{WT08}.
  14 Une attaque qui remodifierait  aléatoirement de manière faible ces positions
  15  détruirait la marque dans les deux cas.
  16 La quantification (au sens du traitemetn du signal) est une réponse
  17 à ces attaques: des positions modifiées de manière mal intentionnée
  18 peuvent grâce cette démarche être rapprochées (abstraites) en des positions
  19 préétablies et conserver ainsi leur information et donc la marque.
  20 STDM~\cite{CW01} est une instance de ces schémas de marquage.
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  22 Ce chapitre présente une application de STDM au marquage de documents PDFs.
  23 \JFC{annonce du plan}
  24
  25 \section{Rappels sur STDM}
  26
  27 \section{Spread Transform Dither Modulation}
  28 \label{sec:STDM}
  29 Les paramètres de ce schéma sont
  30 \begin{itemize}
  31 \item le facteur de quantification $\Delta$ est un réel positif; plus $\Delta$
  32 est grand, plus la distortion peut être importante;
  33 \item le niveau d'indécision  $d_0$ qui est un réel dans
  34 $[-\dfrac{\Delta}{2},\dfrac{\Delta}{2}]$; plus ce nombre a une valeur absolue
  35 élevée, plus les erreurs peuvent être corrigées;
  36 On définit $d_1$ par
  37 $$d_1 = \begin{cases}
  38   d_0 + \Delta/2, & \textrm{ si }~~d_0<0 \\
  39   d_0 - \Delta/2, & \textrm{ sinon }
  40 \end{cases}
  41 $$
  42 \item un nombre $L$ d'éléments dans lequel chaque bit est embarqué;
  43 \item un vecteur $p$ de projection de taille $L$;
  44
  45 \end{itemize}
  46
  47 Soit donc $x$ un vecteur de taille $L$ dans lequel on souhaite embarquer
  48 le bit $m\in\{0,1\}$.
  49 Ce vecteur est remplacé par $x'$ défini par
  50
  51 \begin{equation}\label{eq:stdm}
  52 x' = f(x,m) = x+ ((\lfloor(\frac{(x^T p) -d_m}{\Delta})\rfloor\Delta +d_m )~ - x^T p)p
  53 \end{equation}
  54
  55 Avec les mêmes paramètres $\Delta$, $d_0$ , $L$ et $p$ le message
  56 $\hat{m}$ extrait de
  57 $x'$ de taille $L$ est défini par:
  58 \begin{equation}
  59 \hat{m} = arg \min_{ m \in \{0, 1\}} \mid x'^T p - f(x,m) \mid
  60 \end{equation}
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  62 Les auteurs de~\cite{CW01} ont montré que la variance de l'erreur
  63 est égale à $\Delta^2/12L$
  64 lorsque chacun des $L$ éléments de $x$ suit une ditribution uniforme
  65 $U(\Delta)$.
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  68 \section{Application au marquage de documents PDF}
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