sont intégrés dans~\cite{WT08}.
Une attaque qui remodifierait aléatoirement de manière faible ces positions
détruirait la marque dans les deux cas.
+La quantification (au sens du traitemetn du signal) est une réponse
+à ces attaques: des positions modifiées de manière mal intentionnée
+peuvent grâce cette démarche être rapprochées (abstraites) en des positions
+préétablies et conserver ainsi leur information et donc la marque.
+STDM~\cite{CW01} est une instance de ces schémas de marquage.
+
+Ce chapitre présente une application de STDM au marquage de documents PDFs.
+\JFC{annonce du plan}
+
+\section{Rappels sur STDM}
+
+\section{Spread Transform Dither Modulation}
+\label{sec:STDM}
+Les paramètres de ce schéma sont
+\begin{itemize}
+\item le facteur de quantification $\Delta$ est un réel positif; plus $\Delta$
+est grand, plus la distortion peut être importante;
+\item le niveau d'indécision $d_0$ qui est un réel dans
+$[-\dfrac{\Delta}{2},\dfrac{\Delta}{2}]$; plus ce nombre a une valeur absolue
+élevée, plus les erreurs peuvent être corrigées;
+On définit $d_1$ par
+$$d_1 = \begin{cases}
+ d_0 + \Delta/2, & \textrm{ si }~~d_0<0 \\
+ d_0 - \Delta/2, & \textrm{ sinon }
+\end{cases}
+$$
+\item un nombre $L$ d'éléments dans lequel chaque bit est embarqué;
+\item un vecteur $p$ de projection de taille $L$;
+
+\end{itemize}
+
+Soit donc $x$ un vecteur de taille $L$ dans lequel on souhaite embarquer
+le bit $m\in\{0,1\}$.
+Ce vecteur est remplacé par $x'$ défini par
+
+\begin{equation}\label{eq:stdm}
+x' = f(x,m) = x+ ((\lfloor(\frac{(x^T p) -d_m}{\Delta})\rfloor\Delta +d_m )~ - x^T p)p
+\end{equation}
+
+Avec les mêmes paramètres $\Delta$, $d_0$ , $L$ et $p$ le message
+$\hat{m}$ extrait de
+$x'$ de taille $L$ est défini par:
+\begin{equation}
+\hat{m} = arg \min_{ m \in \{0, 1\}} \mid x'^T p - f(x,m) \mid
+\end{equation}
+
+Les auteurs de~\cite{CW01} ont montré que la variance de l'erreur
+est égale à $\Delta^2/12L$
+lorsque chacun des $L$ éléments de $x$ suit une ditribution uniforme
+$U(\Delta)$.
+
+
+\section{Application au marquage de documents PDF}
+
-Substitutive Quantization Index Modulation (QIM) methods were
-introduced by Chen and Wornell~\cite{CW01}. The Spread Transform Dither
-Modulation (STDM) is an implementation of this scheme and it has been
-considered robust under different watermarking
-attacks~\cite{DM10,WLSYNW13,CW99}.
-
-In this paper, the goal is to present a blind digital watermarking
-scheme for PDF documents based on a variant of the Quantization Index
-Modulation method called Spread Transform Dither Modulation
-(STDM). The main difficulty in PDF documents is to find a significant
-watermarking space in order to embed the secret message under a
-sufficient Transparency-Robustness tradeoff. Our contribution consists
-in using the $x$-coordinates of a group of characters to embed each
-bit of the secret message while choosing the appropriate mean
-distortion value which gives the strong tradeoff between transparency
-and robustness.
\ No newline at end of file
