talk/chaosDevaneyGeneralisees.tex

   1 \begin{itemize}
   2
   3 \item $\mathcal{X}_g =\Bool^{\mathsf{N}}
   4 \times  \left(\mathcal{P}([{\mathsf{N}}]\right)^{\Nats}$
   5  et $G_{f_g}: \mathcal{X}_g \rightarrow \mathcal{X}_g$ tq.
   6   $
   7   G_{f_g}(x,s)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(s)),
   8   $:
   9
  10 \begin{itemize}
  11 \item   $F_{f_g}:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])
  12   \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$  par
  13   $
  14   F_{f_g}(x,s_0)_i=\left\{
  15     \begin{array}{l}
  16       f_i(x) \textrm{ si $i \in s_0$;}\\
  17       x_i \textrm{ sinon.}
  18     \end{array}\right.
  19   $
  20 \item $\sigma:
  21  \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}
  22  \rightarrow
  23  \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}$
  24  t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
  25
  26 \end{itemize}
  27
  28 \item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d'_S(s,s')$
  29 \end{itemize}
  30
  31 \begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{f_g}$ est chaotique]
  32 \label{Th:CaracIC}
  33 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$.
  34 Les itérations de la fonction $G_{f_g}$ sont chaotiques
  35 si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
  36 \end{theorem}