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   2 \begin{theorem}\label{th:stego}
   3 Soit  $\epsilon$ un nombre positif,
   4 $l$ un nombre de LSBs,
   5 $X   \sim \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^l\right)$,
   6 un adapteur de stratégie uniformémement distribué indépendant de $X$
   7 $f_l$ un mode tel que
   8 $\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe et la
   9 matrice de Markov associée à  $f_l$ est doublement stochastique.
  10 Il existe un nombre $q$ d'itérations tel que
  11 $|p(Y|K)- p(X)| < \epsilon$.
  12 \end{theorem}
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  16 \begin{proof}
  17 Let $\textit{deci}$ be the bijection between $\Bool^{l}$ and
  18 $\llbracket 0, 2^l-1 \rrbracket$ that associates the decimal value
  19 of any  binary number in $\Bool^{l}$.
  20 The probability $p(X^t) = (p(X^t= e_0),\dots,p(X^t= e_{2^l-1}))$ for $e_j \in \Bool^{l}$ is thus equal to
  21 $(p(\textit{deci}(X^t)= 0,\dots,p(\textit{deci}(X^t)= 2^l-1))$ further denoted by $\pi^t$.
  22 Let $i \in \llbracket 0, 2^l -1 \rrbracket$,
  23 the probability $p(\textit{deci}(X^{t+1})= i)$  is
  24 \[
  25  \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
  26 \sum\limits^{l}_{k=1}
  27 p(\textit{deci}(X^{t}) = j , S^t = k , i =_k j , f_k(j) = i_k )
  28 \]
  29 \noindent
  30 where $ i =_k j $ is true iff the binary representations of
  31 $i$ and $j$ may only differ for the  $k$-th element,
  32 and where
  33 $i_k$ abusively denotes, in this proof, the $k$-th element of the binary representation of
  34 $i$.
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  36 Next, due to the proposition's hypotheses on the strategy,
  37 $p(\textit{deci}(X^t) = j , S^t = k , i =_k j, f_k(j) = i_k )$ is equal to
  38 $\frac{1}{l}.p(\textit{deci}(X^t) = j ,  i =_k j, f_k(j) = i_k)$.
  39 Finally, since $i =_k j$ and $f_k(j) = i_k$ are constant during the
  40 iterative process  and thus does not depend on $X^t$, we have
  41 \[
  42 \pi^{t+1}_i = \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
  43 \pi^t_j.\frac{1}{l}
  44 \sum\limits^{l}_{k=1}
  45 p(i =_k j, f_k(j) = i_k ).
  46 \]
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  48 Since
  49 $\frac{1}{l}
  50 \sum\limits^{l}_{k=1}
  51 p(i =_k j, f_k(j) = i_k )
  52 $ is equal to $M_{ji}$ where  $M$ is the Markov matrix associated to
  53  $f_l$ we thus have
  54 \[
  55 \pi^{t+1}_i = \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
  56 \pi^t_j. M_{ji} \textrm{ and thus }
  57 \pi^{t+1} = \pi^{t} M.
  58 \]
  59
  60 % The calculus of $p(X^{t+1} = e)$ is thus equal to
  61 % $\pi^{t+1}_i$.
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  63 First of all,
  64 since the graph $\Gamma(f)$ is strongly connected,
  65 then for all vertices $i$ and $j$, a path can
  66 be  found to  reach $j$  from $i$  in at  most $2^l$  steps.
  67 There  exists thus $k_{ij} \in \llbracket 1,  2^l \rrbracket$ s.t.
  68 ${M}_{ij}^{k_{ij}}>0$.
  69 As all the multiples $l \times k_{ij}$ of $k_{ij}$ are such that
  70 ${M}_{ij}^{l\times  k_{ij}}>0$,
  71 we can  conclude that, if
  72 $k$ is the least common multiple of $\{k_{ij}  \big/ i,j  \in \llbracket 1,  2^l \rrbracket  \}$ thus
  73 $\forall i,j  \in \llbracket  1, 2^l \rrbracket,  {M}_{ij}^{k}>0$ and thus
  74 $M$ is a regular stochastic matrix.
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  77 Let us now recall the following stochastic matrix theorem:
  78 \begin{theorem}[Stochastic Matrix]
  79   If $M$ is a regular stochastic matrix, then $M$
  80   has an unique stationary  probability vector $\pi$. Moreover,
  81   if $\pi^0$ is any initial probability vector and
  82   $\pi^{t+1} = \pi^t.M $ for $t = 0, 1,\dots$ then the Markov chain $\pi^t$
  83   converges to $\pi$ as $t$ tends to infinity.
  84 \end{theorem}
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  86 Thanks to this theorem, $M$
  87 has an unique stationary  probability vector $\pi$.
  88 By hypothesis, since $M$ is doubly stochastic we have
  89 $(\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l}) = (\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l})M$
  90 and thus $\pi =  (\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l})$.
  91 Due to the matrix theorem, there exists some
  92 $q$ s.t.
  93 $|\pi^q- \pi| < \epsilon$
  94 and the proof is established.
  95 Since $p(Y| K)$ is $p(X^q)$ the method is then $\epsilon$-stego-secure
  96 provided the strategy-adapter is uniformly distributed.
  97  \end{proof}