4 Les informations traitées par un ordinateur ne sont, \textit{in fine},
5 que discrètes: les flottants (sur un nombre fini de bits) sont une
6 interprétation des réels, les \textit{longs} une interprétation finie
8 Les phénomènes physiques ou naturels peuvent aussi être modélisés par des
10 il n'est parfois pas nécessaire de suivre exactement tous les états par
11 lesquels peut passer l'élément d'étude. Pour peu que l'on sache
12 identifier les seuils de son domaine (c'est-à-dire les valeurs
13 critiques permettant au système global de changer),
14 il est parfois suffisant de réduire le domaine de l'état de l'élément
15 à un ensemble fini d'intervalles définis par ces seuils.
16 Un élément passe d'un état $i$ à un état $j$ si dans la version continue il
17 passe d'un état de l'intervalle numéro $i$ à un état de l'intervalle numéro $j$.
18 En abstrayant à l'extrême,
19 on peut considérer pour chaque élément seulement deux états:
20 1 pour le fait d'être présent et 0 pour le fait d'être absent, ou bien
21 1 pour le fait d'avoir une valeur supérieure à un seuil et 0 pour le fait qu'elle y soit inférieure.
22 Ces réseaux particuliers sont qualifiés de \emph{réseaux booléens}.
25 Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel représentant le nombre
26 d'éléments étudiés (le nombre de bits qu'un générateur veut engendrer,
27 le nombre de pixels que l'on veut modifier\ldots) un réseau booléen est
28 défini à partir d'une fonction booléenne $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$
29 et un mode de mise à jour.
30 A chaque étape, on peut intuitivement ne modifier qu'une partie des
31 $\mathsf{N}$ éléments.
32 En fonction des éléments qui sont susceptibles d'être modifiés à chaque étape,
33 on peut se poser les questions de savoir si le réseau atteint un point fixe (et qu'il peut donc converger) ou
34 s'il possède des attracteurs cycliques (et qu'il diverge donc).
36 Détecter la convergence ou son contraire peut se faire \textit{a priori} dans
37 certains cas. En effet, de nombreux travaux ont énoncé des conditions
38 suffisantes sur les réseaux booléens garantissant leur convergence
39 ou leur divergence. Lorsqu'aucune d'entre elles ne s'applique, on peut penser
40 à étendre ces résultats théoriques et compléter ceci par des simulations.
41 Lorsque la convergence est pratiquement observée, il reste à vérifier que
42 celle-ci est indépendante du choix des parties à modifier, par exemple.
43 Une vérification \textit{a posteriori} s'impose, sauf si la méthode de
44 simulation a été prouvée comme exhaustive.
46 Une fonction qui admet un attracteur cyclique égal à l'ensemble
47 des sommets diverge. Admet-il cependant un comportement chaotique?
48 Les théories mathématiques du chaos ont énoncé des critères permettant
49 de décider si le comportement d'une fonction est chaotique
50 ou non, et plus récemment
51 si certains réseaux booléens l'étaient. Se pose légitimement
52 la question de savoir si cette caractérisation s'étend quels que soient
53 les parties modifiées à chaque étape. Naturellement, ceci n'a un sens
54 pratique que si le nombre de réseaux booléens qui possèdent cette
55 caractéristique est suffisamment grand et que l'on sait engendrer
56 algorithmiquement de tels réseaux.
58 Les liens entre chaos et aléas sont certes intuitifs, mais sont-ils suffisants
59 pour espérer construire un générateur de nombres pseudo-aléatoires (PRNG)
60 à partir de fonctions au comportement chaotique? La réponse est certes
61 positive, mais pas triviale. Il est nécessaire de définir les propriétés
62 attendues de la sortie d'un PRNG et
63 l'uniformité de sa distribution est sans doute la première
64 des propriétés à assurer.
65 Comment alors générer des fonctions chaotiques dont les itérations
66 peuvent converger vers une distribution uniforme?
67 Combien d'itérations suffit-il alors
68 d'effectuer pour s'approcher suffisamment de celle-ci?
70 Les liens entre chaos et marquage d'information sont aussi faciles à établir:
71 de tout média marqué même attaqué, la marque doit pouvoir être extraite.
72 Cette propriété du marquage est proche en effet de celle de régularité
73 des opérateurs chaotiques. Il est alors naturel d'envisager exploiter les
74 fonctions chaotiques extraites dans ce contexte et donc de modifier
75 certains bits d'un média pour y insérer de l'information: la marque.
78 Les compétences acquises dans l'étude des algorithmes d'insertion d'une marque
79 dans une image nous permettent aussi d'adresser le problème d'insérer un message dans une image. Cependant, il s'agit de privilégier
80 cette fois l'imperceptibilité et non plus la robustesse. Ainsi, tandis que
81 l'idée principale était d'étaler le message sur un ensemble conséquent
82 de pixels pour garantir la robustesse, il s'agit ici de sélectionner finement
83 ceux dont les modifications seraient le moins perceptibles possible.
84 On pense immédiatement à insérer ces messages dans les pixels
85 contenant les zones les plus perturbées.
86 Les outils mathématiques d'analyse permettant d'identifier les lignes de niveaux
87 pour ensuite voir lesquelles sont les moins régulières (les plus perturbées)
88 sont le gradient et la matrice Hessienne.
89 Cependant, ces modèles d'analyse ne sont définis que pour des fonctions de $\R^n$ dans $\R$.
90 Se pose alors la question sur la possibilité de les adapter au cadre discret
91 puisque les images à traiter sont construites à partir de pixels dont les
92 valeurs sont discrètes.
95 \section*{Organisation de ce mémoire}
96 Ce mémoire est organisé en quatre parties.
98 La première partie sur les réseaux discrets.
99 Dans celle-ci, le chapitre~\ref{chap:sdd} formalise la notion de réseaux booléens
100 et leurs modes opératoires. On y définit notamment un nouveau mode opératoire
101 assurant la convergence et ce en un temps réduit. Les résultats de convergence suffisants à la compréhension de ce mémoire y sont rappelés et ceux relatifs à ce nouveau mode y sont prouvés.
103 Le chapitre~\ref{chap:promela} montre comment nous avons développé une démarche
104 de preuve automatique de convergence de réseaux discrets. La démarche est
105 prouvée correcte et complète: le verdict donné par l'outil est celui qui serait
106 donné par une preuve mathématique.
108 La seconde partie établit globalement le lien entre les réseaux discrets et
109 le chaos. Le chapitre~\ref{chap:carachaos} rappelle tout d'abord les notions
110 suffisantes concernant la théorie du chaos. Une caractérisation des fonctions engendrant des itérations
111 chaotiques y est donnée, selon le mode unaire et le mode généralisé,
112 les deux modes au c{\oe}ur de ce mémoire. Un théorème,
113 démontré, propose un algorithme permettant de générer des fonctions possédant
114 cette caractéristique.
116 Les itérations unaires de telles fonctions étant chaotiques, nous avons étudié
117 au chapitre~\ref{chp:ANN} la possibilité de les faire apprendre par un réseau de neurones, plus précisement par un perceptron multi-couches.
119 Le titre de la troisième partie donne une idée de la conclusion de
120 cette étude puisqu'on y étudie une famille PRNG construite à partir de fonctions
121 dont les itérations sont chaotiques.
122 Plus précisément, le chapitre~\ref{chap:PRNG:chao} caractérise les PRNG
123 construits à partir de réseaux booléens qui sont chaotiques en donnant
124 des conditions suffisantes sur la fonction à itérer.
125 Le chapitre~\ref{chap:PRNG:gray} s'intéresse donc à générer
126 ce type de fonction de manière autrement plus efficace qu'à partir de
127 la méthode décrite au chapitre~\ref{chap:carachaos}. On y présente aussi un
128 majorant du nombre d'itérations à effectuer pour obtenir une distribution
131 Comme annoncé dans les motivations à ce travail, les itérations chaotiques
132 peuvent s'appliquer au marquage de média et plus généralement
133 au masquage d'information. C'est l'objectif de la quatrième partie.
135 Dans le premier chapitre de celle-ci (chapitre~\ref{chap:watermarking}), nous
136 formalisons le processus de marquage d'information. Grâce à cette formalisation,
137 nous pouvons étudier des propriétés de stégo-securité et chaos-sécurité.
139 Les deux chapitres suivants (chapitre~\ref{chap:watermarking:pdf} et
140 chapitre~\ref{chap:stabylo}) sont une parenthèse
141 au domaine discret puisqu'on s'intéresse au marquage de document PDF par une
142 méthode classique et au masquage d'information par une technique de détection
145 Le dernier chapitre des contributions (chapitre~\ref{chap:th:yousra})
146 retourne dans le monde discret. Il montre qu'on peut approximer efficacement
147 à l'aide de matrices discrètes des calculs de gradients pour, \textit{in fine},
148 construire des lignes de niveau et embarquer de l'information dans les lignes
149 de niveau les moins régulières.
151 Une conclusion et des perspectives sont données en dernière partie.
153 \section*{Publications en tant qu'enseignant-chercheur}
154 Le tableau de la figure~\ref{fig:bilan} donné
155 ci dessous synthétise les références auxquelles j'ai participé
156 depuis mon intégration en tant qu'enseignant chercheur.
160 \begin{tabular}{|c|c|}
162 %& \multicolumn{2}{|c|}{Internationaux} & {Nationaux} & \\
164 Journaux & Conférences \\
165 internationaux & internationales
168 \cite{bcg12:ij,bcg11:ij,bcgs12:ij}
171 \cite{aagc+15:ip,bcfg12a:ip,bcfg12b:ip,bcfg+13:ip,bcg11:ip}
177 \cite{cds13:ij,ccg15:ij,BDCC16}
182 \cite{bcg11b:ip,acgs13:onp,BCVC10:ir,chgw+14:onp,Cou10:ir}
191 \cite{bcgr11:ip,bcgw11:ip,cds12:ip,chgw+14:oip,fccg15:ip}
200 \cite{accfg15:ip,ccfg16:ip,kcm16:ip}
210 \caption{Bilan synthétique des publications}\label{fig:bilan}
