stegoyousra.tex

   1 La plupart des schémas de stéganographie sont conçus de sorte  à minimiser une
   2 fonction de distorsion. Dans les exemples du chapitre précédent,
   3 ces fonctions de distorsion sont construites dans l'objectif de préserver
   4 les caractéristiques de l'images.
   5 On comprend aisément que dans des régions uniformes ou sur des bords clairement définis,
   6 une modification même mineure de l'image est facilement détectable.
   7 Au contraire dans les textures, le bruit ou les régions chaotiques
   8 sont  difficiles à modéliser. Les caractéristiques des images
   9 dont ces zones ont été modifiées sont ainsi similaires à celles
  10 des images initiales.
  11
  12 Ces régions sont caractérisées par des courbes de niveau très perturbées.
  13 Ce chapitre présente une nouvelle fonction de distorsion pour la stéganographie
  14 qui est basée sur les dérivées du second ordre, l'outil mathématique usuel
  15 pour les courbes de niveau.
  16
  17 Pour peu qu'on sache définir une fonction $P$
  18 qui associe à chaque pixel $(x,y)$ sa valeur $P(x,y)$,
  19 les pixels tels que les dérivées secondes de $P$ ont des valeurs élevées
  20 sont des bon candidats pour contenir un bit du message.
  21 Cependant, une telle fonction $P$ n'est connue que de manière discrète,
  22 \textit{i.e.}, en un nombre fini de points.
  23 Les dérivées premières et secondes ne peuvent donc pas être évaluées mathématiquement.
  24 Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime ces $P$ sur cet ensemble
  25 de pixels. Ordonner alors les pixels selon la matrice hessienne
  26 (\textit{i.e.}, la matrice des dérivées secondes) n'est pas trivial puisque celle-ci
  27 contient de nombreuses valeurs pour un seul pixel donné.
  28
  29 On verra dans ce chapitre comment des approximations des dérivées
  30 premières et secondes pour des images numériques (Section~\ref{sec:gradient}) on peu être
  31 obtenues.
  32 Deux propositions de dérivées secondes sont ensuite
  33 données et prouvées (Section~\ref{sec:second} et Section~\ref{sec:poly}).
  34 Une adaptation d'une fonction de distorsion existante est étudiée
  35 en Section~\ref{sec:distortion} et des expériences sont présentées
  36 en Section~\ref{sec:experiments}.
  37 Ce chapitre a été publié dans~\cite{ccfg16:ip}.
  38
  39
  40
  41 \section{Des dérivées dans une image}\label{sec:gradient}
  42
  43 Cette section rappelle d'abord les liens entre lignes de niveau, gradient et
  44 matrice hessienne puis analyse ensuite leur construction à l'aide
  45 de noyaux de la théorie du signal.
  46
  47
  48 \subsection{Matrice hessienne}\label{sub:general}
  49 On considère qu'une image peut être assimilée à une fonction de $\R^+\times \R^+$
  50 dans $\R^+$ telle que la valeur $P(x,y)$ est associée à chaque  pixel de coordonnées $(x,y)$.
  51 Les variations d'une telle fonction en $(x_0,y_0)$ peuvent être évaluées
  52 grâce au gradient
  53 $\nabla{P}(x_0,y_0) = \left(\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)\right).
  54 $
  55 Le vecteur gradient pointe dans la direction où la fonction a le plus fort accroissement.
  56 Des pixels ayant des valeurs voisines sont sur des lignes de niveaux qui sont orthogonales
  57 à ce vecteur.
  58
  59 Les variations du vecteur gradient s'expriment usuellement à l'aide de la matrice
  60 hessienne $H$ des dérivées partielles de second ordre de $P$.
  61 \[
  62 H = \begin{bmatrix}
  63 \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2} &
  64 \dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} \\
  65 \dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x} &
  66 \dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2} \\
  67 \end{bmatrix}.
  68 \]
  69
  70 En un pixel $(x_0,y_0)$, plus les valeurs de cette matrice sont éloignées de zéro,
  71 plus le gradient varie en ce point. Évaluer ce type de matrice est ainsi primordial
  72 en stéganographie. Cependant cette tâche n'est pas aussi triviale qu'elle n'y
  73 paraît puisque les images naturelles ne sont pas  définies à l'aide
  74 de fonction différentiables de $\R^+\times \R^+$
  75 dans $\R^+$. La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices.
  76
  77 \subsection{Approches classiques pour évaluer le gradient dans des images}\label{sub:class:1}
  78 Dans ce contexte, les approches les plus utilisées pour évaluer un gradient
  79 sont ``Sobel'', ``Prewitt'', ``Différence centrale'' et `` Différence intermédiaire''.
  80 Chacune de ces  approches applique un produit de convolution $*$ entre un noyau $K$
  81 (rappelé dans le tableau~\ref{table:kernels:usual}) et une fenêtre $A$ de taille
  82 $3\times 3$. Le résultat
  83  $A * K$ est une approximation du gradient horizontal
  84 \textit{i.e.}, $\dfrac{\partial P}{\partial x}$.
  85 Soit $K\rl$ le résultat de la rotation  d'un angle $\pi/2$ sur $K$.
  86 La composante verticale du gradient,  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ est obtenue
  87 de manière similaire en évaluant $A * K\rl$. Lorsqu'on applique ceci sur toute
  88 la matrice image, on obtient peu ou prou une matrice de même taille pour chacune des
  89 dérivées partielles.
  90
  91 Les deux éléments de la première ligne (respectivement de la seconde ligne)
  92 de la matrice hessienne
  93 sont le résultat du calcul du gradient sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial x}$
  94 (resp. sur la matrice  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$).
  95
  96
  97 \begin{table}[ht]
  98 \caption{Noyaux usuels pour évaluer des gradients d'images\label{table:kernels:usual}
  99 }
 100 \centering
 101 \begin{tabular}{|c|c|c|}
 102     \hline
 103     Nom&   Sobel & Prewitt \\
 104     \hline
 105     Noyau & $\textit{Ks}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $ &
 106     $\textit{Kp}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -1 & 0 & +1 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $\\
 107     \hline\hline
 108     Nom & Différence  & Différence  \\
 109             & centrale & Intermédiaire \\
 110     \hline
 111     Noyau & $\textit{Kc}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ -\dfrac{1}{2} & 0 & +\dfrac{1}{2} \\ 0&0&0 \end{bmatrix} $ &
 112     $\textit{Ki}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} $ \\
 113     \hline
 114 \end{tabular}
 115 \end{table}
 116
 117
 118
 119
 120 \subsection{Matrices hessiennes induites  par des approches
 121 de gradient d'images}\label{sub:class:2}
 122 Il est connu que
 123 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} $ est égal à
 124 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$ si
 125 les méthode qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
 126 sont les mêmes.
 127 Le tableau~\ref{table:hessian:usual} résume les les noyaux
 128 $K_{x^2}''$ et
 129 $K_{xy}''$
 130 qui permettent de calculer respectivement
 131 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$ et
 132 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y}$ comme un produit de convolution
 133 pour chacun des opérateurs de gradient rappelés à la section précédente.
 134
 135
 136 \begin{table}[ht]
 137 \caption{Noyaux usuels pour évaluer des gradients de second ordre d'images
 138 \label{table:hessian:usual}
 139 }\centering
 140 \begin{tabular}{|c|c|}
 141     \hline
 142     Sobel & Prewitt \\
 143     \hline
 144     $
 145     \textit{Ks}_{x^2}''=
 146     \begin{bmatrix}
 147     1 &  0  & -2  & 0 & 1 \\
 148     4 &  0  & -8  & 0 & 4 \\
 149     6 &  0  & -12 & 0 & 6 \\
 150     4 &  0  & -8  & 0 & 4 \\
 151     1 &  0  & -2  & 0 & 1
 152     \end{bmatrix}
 153     $
 154     &
 155     $
 156     \textit{Kp}_{x^2}''=
 157     \begin{bmatrix}
 158     1 &  0  & -2  & 0 & 1 \\
 159     2 &  0  & -4  & 0 & 2 \\
 160     3 &  0  & -6 & 0 & 3 \\
 161     2 &  0  & -4  & 0 & 2 \\
 162     1 &  0  & -2  & 0 & 1
 163     \end{bmatrix}
 164     $
 165     \\
 166     \hline
 167     $
 168     \textit{Ks}_{xy}''=
 169     \begin{bmatrix}
 170     -1 & -2 & 0 & 2 & 1 \\
 171     -2 & -4 & 0 & 4 & 2 \\
 172     0  & 0  & 0 & 0 & 0 \\
 173     2 & 4 & 0 & -4 & -2 \\
 174     1 & 2 & 0 & -2 & -1
 175     \end{bmatrix}
 176     $
 177     &
 178     $
 179     \textit{Kp}_{xy}''=
 180     \begin{bmatrix}
 181     -1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
 182     -1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
 183     0  & 0  & 0 & 0 & 0 \\
 184     1 & 1 & 0 & -1 & -1 \\
 185     1 & 1 & 0 & -1 & -1
 186     \end{bmatrix}
 187     $ \\
 188
 189     \hline\hline
 190     Différence & Différence  \\
 191     centrale  &intermédiaire \\
 192     \hline
 193     $
 194     \textit{Kc}_{x^2}''=
 195     \begin{bmatrix}
 196     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 197     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 198     \dfrac{1}{4} &  0  & -\dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{4} \\
 199     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 200     0 &  0  & 0  & 0 & 0
 201     \end{bmatrix}
 202     $
 203     &
 204     $
 205     \textit{Ki}_{x^2}''=
 206     \begin{bmatrix}
 207     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 208     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 209     0 &  0  & 1  & -2 & 1 \\
 210     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 211     0 &  0  & 0  & 0 & 0
 212     \end{bmatrix}
 213     $
 214     \\
 215     \hline
 216     $
 217     \textit{Kc}_{xy}''=
 218     \begin{bmatrix}
 219      -\dfrac{1}{4}  & 0 & \dfrac{1}{4}\\
 220      0  & 0 & 0 \\
 221      \dfrac{1}{4} & 0 &  -\dfrac{1}{4}
 222     \end{bmatrix}
 223     $
 224     &
 225     $
 226     \textit{Ki}_{xy}''=
 227     \begin{bmatrix}
 228      0  & -1 & 1 \\
 229      0  & 1 & -1 \\
 230      0  &  0 & 0
 231     \end{bmatrix}
 232     $\\
 233     \hline
 234 \end{tabular}
 235
 236 \end{table}
 237
 238 Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de détecter si le le pixel central
 239 pixel central appartient à une bord ``vertical'', même si celui contient du bruit,
 240 en considérant ces voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment
 241 pertinents dans un objectif de détecter les bords. Cependant, leur lien avec
 242 les lignes de niveau n'est pas direct. De plus tous les pixels qui sont dans la
 243 deuxième et la quatrième colonne de ce noyau sont ignorés.
 244 Le noyau de Prewitt a des propriétés similaires.
 245 Le noyau de différence centrale $\textit{Kc}_{x^2}''$ n'est pas influencé par les
 246 voisins verticaux du pixel central et peu paraître plus adapté ici.
 247 Cependant, le noyau $\textit{Kc}_{xy}''$ perd aussi les valeurs des pixels
 248 qui sont alignés verticalement et diagonalement avec le pixel central.
 249 Enfin, le noyau de différence intermédiaire  $\textit{Ki}_{x^2}''$ décale
 250 à gauche la valeur des variations horizontales de $\dfrac{\partial P}{\partial x}$:
 251 Le pixel central  $(0,0)$ reçoit  exactement la valeur
 252 $\dfrac{P(0,2)-P(0,1)}{1} - \dfrac{P(0,1)-P(0,0)}{1}$,
 253 qui est une approximation de
 254 $\dfrac{\partial P}{\partial x}(0,1)$ et non de
 255 $\dfrac{\partial P}{\partial x}(0,0)$.
 256 De plus, le noyau de différence intermédiaire $\textit{Ki}_{xy}''$ ne concerne
 257 que les pixels du coin supérieur droit, en perdant toutes les autres informations.
 258 La section suivante propose une autre approche pour calculer les lignes de niveau avec une précision accrue.
 259
 260 \section{Des noyaux pour des lignes de niveau}\label{sec:second}
 261 On ne restreint pas aux noyaux de taille fixe (comme  $3\times3$ or $5 \times 5$
 262 dans les schémas précédents). Au contraire, on considère des noyaux de taille variable
 263 $(2n+1)\times (2n+1)$, $n \in \{1,2,\dots,N\}$, où
 264 $N$ est un paramètre de l'approche.
 265 Les variations horizontales du gradient sont extraites grâce au noyau de taille $(2n+1)\times (2n+1)$:
 266 \[
 267 \arraycolsep=1.4pt
 268 \def\arraystretch{1.4}
 269 \def\arraystretch{1.4}
 270     \textit{Ky}_{x^2}''=
 271     \left(
 272     \begin{array}{ccccccccc}
 273          0           & & & & \dots& & & & 0  \\
 274          \vdots      & & & & & & & & \vdots \\
 275          0           & & & & \dots & & & & 0  \\
 276          \dfrac{1}{2n}& 0 & \dots & 0  & -\dfrac{2}{2n} & 0  & \dots & 0& \dfrac{1}{2n} \\
 277          0           & & & & \dots& & & & 0  \\
 278         \vdots      & & & & & & & & \vdots \\
 279          0           & & & & \dots & & & & 0
 280     \end{array}
 281     \right)
 282 \]
 283
 284 Lorsque le produit de convolution est appliqué sur une fenêtre $(2n+1)\times(2n+1)$,
 285 le résultat est
 286 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{P(0,n)-P(0,0)}{n} - \dfrac{P(0,0)-P(0,-n)}{n}\right)$,
 287 qui représente en effet les variation horizontales de la partie horizontale
 288 du gradient autour du pixel central. On obtient donc bien une approximation de
 289 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$.
 290 Lorsque $n$ vaut 1, ce noyau est une version centrée du noyau horizontal de différence
 291 intermédiaires. $\textit{Ki}_{x^2}''$ à un facteur  $1/2$ près).
 292 Lorsque $n$ vaut 2, on retrouve $\textit{Kc}_{x^2}''$.
 293
 294 Les variations verticales du gradient sont aussi obtenus en faisant subir
 295 à $\textit{Ky}_{x^2}''$ une rotation d'angle  $\pi/2$.
 296 Les variations diagonales sont obtenues à l'aide du gradient
 297 $\textit{Ky}_{xy}''$ défini par:
 298
 299 \[
 300 \arraycolsep=1.4pt
 301 \def\arraystretch{1.4}
 302 \textit{Ky}_{xy}'' = \dfrac{1}{4}
 303 \left(
 304     \begin{array}{ccccccccc}
 305      \frac{1}{n^2}& \dots & \frac{1}{2n} & \frac{1}{n}
 306      & 0 &
 307      -\frac{1}{n}&-\frac{1}{2n} & \dots &  -\frac{1}{n^2}
 308      \\
 309      \vdots & 0     &    &
 310      & \dots &
 311       &  &  0 & \vdots
 312      \\
 313      \frac{1}{2n} & 0 &        &
 314      & \dots &
 315         &  & 0& -\frac{1}{2n}
 316      \\
 317      \frac{1}{n} & 0 &    &
 318      & \dots &
 319       &  & 0 &  -\frac{1}{n}
 320      \\
 321      0      &      & & & \dots& & & & 0  \\
 322      -\frac{1}{n} & 0 &        &
 323      & \dots &
 324         &  &0 & \frac{1}{n}
 325      \\
 326      -\frac{1}{2n} & 0 &       &
 327      & \dots &
 328       &  & 0 &  \frac{1}{2n}
 329      \\
 330       \vdots & 0 &    &
 331      & \dots &
 332         &  & 0& \vdots
 333      \\
 334      -\frac{1}{n^2}&  \dots & -\frac{1}{2n} & -\frac{1}{n}
 335      & 0 &
 336      \frac{1}{n}& \frac{1}{2n} & \dots  & \frac{1}{n^2}
 337     \end{array}
 338     \right).
 339 \]
 340
 341
 342
 343 En effet, lorsque  $n$ vaut 1, $\textit{Ky}_{xy}''$ se retrouve en calculant la moyenne
 344 des variations horizontales de la composante verticale du gradient calculé à l'aide de
 345 $\textit{Ky}_{y}'$. Pour cette valeur de $n$, on a
 346 $\textit{Ky}_{xy}'' =   \textit{Kc}_{xy}''$.
 347 Pour chaque nombre  $n$, $1 <  n \le N$, $\textit{Ky}_{xy}''$ se retrouve de la même
 348 manière, c'est-à-dire en effectuant des moyennes de variations.
 349 Une preuve de la construction se trouve dans l'article~\cite{ccfg16:ip}.
 350
 351
 352
 353 L'objectif est de détecter les grandes variations des dérivées premières.
 354 Ainsi les dérivées secondes seront approximées comme les maximums des
 355 matrices hessiennes  obtenues lorsque $n$ varie entre  $1$ et $ N$.
 356
 357 La dérivée partielle $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$ est définie par
 358
 359 \begin{equation}
 360 \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}
 361 = \max \left\{
 362 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}_1}, \dots, \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}_N}
 363 \right \}.
 364 \label{eq:d2p_dx2}
 365 \end{equation}
 366 où $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}_n$ est le résultat de l'application
 367 du noyau $\textit{Ky}_{x^2}''$ de taille $(2n+1)\times (2n+1)$.
 368 La même approche itérative est appliquée pour construire les
 369 approximations de
 370 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$
 371 et de
 372 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2}$.
 373
 374 La section suivante étudie la pertinence d'interpoler une image par un polynome
 375 lorsqu'on cherche a obtenir ces dérivées secondes.
 376
 377
 378 \section{Interpolation polynomiale pour le calcul de la matrice hessienne}\label{sec:poly}
 379 Soit $P(x,y)$ la  valeur du pixel $(x,y)$ et soit  $n$, $1 \le n \le N$,
 380 tel que l'objectif est de trouver un polynome d'interpolation dans la fenêtre de taille
 381 $(2n+1)\times(2n+1)$ dont le pixel central a pour indice $(0,0)$.
 382 Il existe un unique polynôme $L : \R\times \R \to \R$
 383 de degré $(2n+1)\times(2n+1)$ tel que  $L(x,y)=P(x,y)$ pour chaque pixel
 384 $(x,y)$ de cette fenêtre et ce polynome est défini par
 385 \begin{equation}
 386 \begin{array}{l}
 387 L(x,y) =
 388 \sum_{i=-n}^{n}
 389 \sum_{j=-n}^{n}P(i,j)
 390 \left(
 391 \prod_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 392 \frac{x-j'}{i-j'}
 393 \right)
 394 \left(
 395 \prod_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 396 \frac{x-i'}{i-i'}
 397 \right)
 398 \end{array}
 399 \end{equation}
 400 On peut facilement prouver que les dérivées partielles  de $L$ selon $x$ est
 401 \begin{equation}
 402 \begin{array}{l}
 403 \dfrac{\partial L}{\partial x} =
 404 \sum_{i=-n}^{n}
 405 \sum_{j=-n}^{n}
 406 P(i,j)
 407 \left(
 408 \prod_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 409 \frac{y-j'}{j-j'}
 410 \right)
 411 \left(
 412 \sum_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 413 \frac{1}{i-i'}
 414 \prod_{\stackrel{-n\leq i''\leq n}{i''\neq i,i'}}
 415 \frac{x-i''}{i-i''}
 416 \right)
 417 \end{array}
 418 \end{equation}
 419 \noindent et ainsi en déduire que les dérivées partielles de second ordre
 420 sont
 421 \begin{eqnarray}
 422 \dfrac{\partial^2 L}{\partial x^2} &=&
 423 \sum_{i=-n}^{n}
 424 \sum_{j=-n}^{n}
 425 P(i,j)
 426 \left(
 427 \prod_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 428 \frac{y-j'}{j-j'}
 429 \right)
 430 \left(
 431 \sum_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 432 \frac{1}{i-i'}
 433 \sum_{\stackrel{-n\leq i''\leq n}{i''\neq i,i'}}
 434 \frac{1}{i-i''}
 435 \prod_{\stackrel{-n\leq i'''\leq n}{i'''\neq i,i',i''}}
 436 \frac{x-i'''}{i-i'''}
 437 \right)
 438 \label{eq:deriv:poly:x2} \\
 439 \dfrac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} &= &
 440 \sum_{i=-n}^{n}
 441 P(i,j)
 442 \left(
 443 \sum_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 444 \frac{1}{j-j'}
 445 \prod_{\stackrel{-n\leq j''\leq n}{j''\neq j, j'}}
 446 \frac{y-j''}{j-j''}
 447 \right)
 448 \left(
 449 \sum_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 450 \frac{1}{i-i'}
 451 \prod_{\stackrel{-n\leq i''\leq n}{i''\neq i, i'}}
 452 \frac{x-i''}{i-i''}
 453 \right)
 454 \label{eq:deriv:poly:yx}
 455 \end{eqnarray}
 456 Ces dérivées secondes sont calculées pour chaque pixel central, \textit{i.e.} le pixel dont l'indice est  $(0,0)$ dans la fenêtre.
 457 En considérant cette particularisation, l'équation~(\ref{eq:deriv:poly:x2}) peut
 458 se simplifie en
 459
 460 \begin{equation}
 461 \begin{array}{l}
 462 \dfrac{\partial^2 L}{\partial x^2} =
 463 \sum_{i=-n}^{n}
 464 P(i,0)
 465 \left(
 466 \sum_{\stackrel{-n\leq i' < i'' \le n}{i',i''\neq i}}
 467 \frac{2}{(i-i')(i-i'')}
 468 \prod_{\stackrel{-n\leq i'''\leq n}{i'''\neq i,i',i''}}
 469 \frac{i'''}{i'''-i}
 470 \right).
 471 \end{array}
 472 \label{eq:deriv:poly:x2:simpl:2}
 473 \end{equation}
 474
 475 \begin{table}[ht]
 476     \caption{Noyaux $Ko''_{x^2}$ pour  calculer des dérivées de second ordre à partir d'interpolation polynomiale}
 477     \centering
 478 \def\arraystretch{1.4}
 479     \begin{tabular}{|c|c|}
 480          \hline
 481          $n$ & $Ko''_{x^2}$ \\
 482          \hline
 483          $2$ & $\left[\dfrac{-1}{12}, \dfrac{4}{3} , \dfrac{-5}{2}, \dfrac{4}{3} \dfrac{-1}{12}\right]$ \\
 484          \hline
 485          $3$ & $\left[\dfrac{1}{90}, \dfrac{-3}{20}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{-49}{18}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{-3}{20}, \dfrac{1}{90}\right]$ \\
 486          \hline
 487          $4$ & $\left[\dfrac{-1}{560}, \dfrac{8}{315}, \dfrac{-1}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{-205}{72}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{-1}{5}, \dfrac{8}{315}, \dfrac{-1}{560}\right]$\\
 488          \hline
 489          %$5$ & $\left[\dfrac{1}{3150}, \dfrac{-5}{1008}, \dfrac{5}{126}, %\dfrac{-5}{21}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{-5269}{1800}, \dfrac{5}{3}, %\dfrac{-5}{21}, \dfrac{5}{126}, \dfrac{-5}{1008}, \dfrac{1}{3150}\right]$\\
 490          %\hline
 491     \end{tabular}
 492
 493     \label{table:sod:hori:poly}
 494 \end{table}
 495
 496
 497 \begin{table}[ht]
 498 \caption{ Noyaux pour les dérivéees secondes en $x$ et $y$ lors de l'interpolation polynomiale\label{table:sod:diag:poly}
 499 }
 500 \centering
 501 %\scriptsize
 502 \def\arraystretch{1.5}
 503 \begin{tabular}{|c|c|}
 504     \hline
 505     $n$ & $Ko''_{xy}$\\
 506     \hline
 507     2 & $
 508 \begin{bmatrix}
 509 \dfrac{1}{4} & 0 &  \dfrac{-1}{4}\\
 510  0 & 0 &0\\
 511 \dfrac{-1}{4} & 0 &  \dfrac{1}{4}\\
 512 \end{bmatrix}
 513 $
 514  \\
 515  \hline
 516    3 &
 517    $\begin{bmatrix}
 518 \dfrac{1}{144} & \dfrac{-1}{18} & 0 & \dfrac{1}{18} & \dfrac{-1}{144}\\
 519 \dfrac{-1}{18} & \dfrac{4}{9} & 0 & \dfrac{-4}{9} & \dfrac{1}{18}\\
 520 0 & 0 & 0 & 0 &0\\
 521 \dfrac{1}{18} & \dfrac{-4}{9} & 0 & \dfrac{4}{9} & \dfrac{-1}{18}\\
 522 \dfrac{-1}{144} & \dfrac{1}{18} & 0 & \dfrac{-1}{18} & \dfrac{1}{144}
 523 \end{bmatrix}
 524 $\\
 525   \hline
 526 \end{tabular}
 527 \end{table}
 528
 529 Cette dérivée partielle peut s'écrire comme un produit de convolution avec un noyau
 530 noté $Ko''_{x^2}$. Des instances de tels noyaux, pour $n=2$, $3$ et  $4$
 531 sont données au tableau~\ref{table:sod:hori:poly}. De manière similaire,
 532 le tableau~\ref{table:sod:diag:poly} donne deux exemples pour $n=1$ et $n=2$
 533 de noyaux $Ko''_{xy}$ permettant de calculer directement les dérivées
 534 de second ordre selon $x$ et $y$ en $(0,0)$.
 535 On remarque que pour $n=1$, le noyau est égal à $Kc''_{xy}$.
 536
 537
 538
 539
 540
 541
 542
 543 \section{Fonction de distorsion}\label{sec:distortion}
 544 Une fonction de distorsion associe à chaque pixel  $(i,j)$
 545 le coût $\rho_{ij}$ du modification  par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une
 546 valeur faible aux pixels dont toutes les dérivées secondes sont éloignées de 0
 547 et une valeur rédhibitoire sinon.
 548 Dans WOW comme dans  UNIWARD la fonction de distorsion est définie par
 549 \[
 550 \rho_{ij}^w =
 551 \left(
 552 \abs{\xi_{ij}^h}^{p} +
 553 \abs{\xi_{ij}^v}^{p} +
 554 \abs{\xi_{ij}^d}^{p}
 555 \right)^{-\frac{1}{p}}
 556 \]
 557 où $p$ est un nombre négatif et
 558 $\xi_{ij}^h$ (resp. $\xi_{ij}^v$ et $\xi_{ij}^d$)
 559 représentent la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
 560 Une faible pertinence dans une direction signifie que l'embarquement
 561 dans ce pixel est inapproprié.
 562 La fonction de distorsion que l'on a retenu est une particularisation ($p=-1$)
 563 de cette dernière:
 564 \[
 565 \rho_{ij} =
 566 \left(
 567 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}(i,j)}^{-1} +
 568 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2}(i,j)}^{-1} +
 569 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}(i,j)}^{-1}
 570 \right)
 571 \]
 572
 573
 574 \section{Experimentations}\label{sec:experiments}
 575
 576 Tout d'abord, l'ensemble du code est accessible en ligne\footnote{\url{https://github.com/stego-content/SOS}}.
 577 La Figure~\ref{fig:oneimage} représente les résultats d'embarquement de données dans
 578 l'image 38 du challenge BOSS~\cite{Boss10} en suivant les deux schémas basés
 579 sur les dérivées secondes présentés dans ce chapitre.
 580 Le taux d'embarquement $\alpha$ est fixé à 0.4 bits par pixel et les noyaux sont
 581 construits avec $N=4$. On remarque bien que les pixels dans les zones uniformes
 582 et les pixels dans les bords bien définis ne sont pas modifiés par l'approche tandis
 583 qu'au contraire les zones peu prévisibles (le monument par exemple)
 584 concentrent les changements.
 585
 586
 587
 588
 589 \begin{figure}[ht]
 590     \centering
 591     \begin{tabular}{|c|c|c|}
 592     \hline
 593     Schéma & Image. Stego. & Différence avec le support \\
 594     \hline
 595     Approche à base de $Ky$  &\includegraphics[scale=0.20]{images/38_dp}&
 596     \includegraphics[scale=0.20]{images/38_dp_diff} \\
 597     \hline
 598     Approche à base de  $Ko$  & \includegraphics[scale=0.20]{images/38_poly} &
 599     \includegraphics[scale=0.20]{images/38_poly_diff} \\
 600     \hline
 601     \end{tabular}
 602     \caption{Exemple de changements dus à un embarquement avec  $\alpha = 0.4$}
 603     \label{fig:oneimage}
 604 \end{figure}
 605
 606
 607
 608
 609
 610 \subsection{Choix des paramètres}
 611
 612 Les deux méthodes présentées ici dépendent de noyaux dont la taille va jusqu'à
 613 $(2N+1)\times(2N+1)$. Cette section montre comment évaluer $N$ pour maximiser
 614 le niveau de sécurité.
 615 Pour chaque approche, 1,000 images stegos avec
 616 $N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$ et dont les supports appartiennent
 617 à l'ensemble des 10000 images du challenge BOSS.
 618 LA sécurité de l'approche a été évaluée avec le stéganalyseur
 619 Ensemble Classifier~\cite{DBLP:journals/tifs/KodovskyFH12}.
 620 Pour un taux d'embarquement   $\alpha$ égal soit à  $0.1$ ou soit à  $0.4$,
 621 l'erreur moyenne de test (exprimée en pourcentage) a été calculée.
 622 Le tableau~\ref{table:choice:parameter} synthétise les résultats.
 623 On observe que la taille $N=4$ (respectivement $N=12$)
 624 permet d'obtenir des erreurs suffisamment élevées pour l'approche basée sur $Ky$
 625 (resp. pour celle basée sur  $Ko$).
 626 Ces deux valeurs de paramètre sont retenues par la suite.
 627
 628 \begin{table}[ht]
 629 \caption{Erreur moyenne de test en fonction de la taille du noyau}
 630 \centering
 631 \setlength{\tabcolsep}{3pt}
 632 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
 633 \cline{2-9}
 634 \multicolumn{1}{c|}{} & \multirow{2}{*}{$\alpha$} & \multicolumn{7}{c|}{$N$} \\
 635 \cline{3-9}
 636 \multicolumn{1}{c|}{}&  & $2$ & $4$&  $6$&  $8$& $10$& $12$ & $14$ \\
 637 \hline{}
 638 Erreur moyenne
 639 & \textit{0.1} & 39& 40.2&  39.7&  39.8& 40.1& $39.9$&  $39.8$  \\
 640 \cline{2-9}
 641 de test pour le noyau $K_y$ & \textit{0.4}& 15& 18.8& 19.1&  19.0& 18.6& 18.7 & 18.7 \\
 642 \hline
 643 Erreur moyenne    & \textit{0.1} & 35.2 & 36.6&  36.7&  36.6& 37.1& 37.2 & 37.2 \\
 644 \cline{2-9}
 645 de test pour le noyau $K_o$ & \textit{0.4}  & 5.2 & 6.8& 7.5 & 7.9 & 8.1 & 8.2 & 7.6 \\
 646 \hline
 647 \end{tabular}
 648 \label{table:choice:parameter}
 649
 650 \end{table}
 651
 652
 653 \subsection{Évaluation de la sécurité}
 654 Comme dans ce qui précède, la base du challenge BOSS a été retenue.
 655 Ici c'est cependant l'ensemble des 10000 images qui a été utilisé pour évaluer
 656 la sécurité.
 657 C'est aussi les caractéristiques SRM et Ensemble Classifier qui ont été utilisées
 658 pour évaluer la sécurité de l'approche..
 659 Quatre taux d'embarquement  0.1, 0.2, 0.3 et  0.4
 660 ont été retenus. Pour chaque expérience,
 661 l'aire sous la courbe de ROC (AUC),
 662 l'erreur moyenne de test (ATE),
 663 l'erreur OOB (OOB) sont données et tous les résultats sont synthétisés
 664 dans le tableau~\ref{table:experiments:summary}.
 665 Même si la sécurité est souvent plus faible que celle observée
 666 pour les outils les plus récents,
 667 les résultats concernant $K_y$ sont encourageants car ils ne sont pas éloignés de
 668 ceux de l'état de l'art sans aucune optimisation.
 669 Enfin la faible sécurité de $K_o$ s'explique par le fait que le polynôme interpole
 670 exactement l'image en tous les points de la fenêtre, mais il ne tient pas forcément
 671 compte des variations dans celle-ci. Les dérivées secondes sont certes faciles
 672 à exprimer, mais elles ne représentent pas nécessairement fidèlement celles de l'image.
 673
 674 \begin{table}
 675 \caption{Évaluation de la sécurité}\label{table:experiments:summary}
 676 \centering
 677 \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
 678 \hline
 679  & Taux & AUC & ATE   &  OOB \\ \hline
 680 {WOW}
 681             & 0.1 & 0.6501 & 0.4304 & 0.3974\\
 682             & 0.2 & 0.7583 & 0.3613 & 0.3169\\
 683             & 0.3 & 0.8355 & 0.2982 & 0.2488\\
 684             & 0.4 & 0.8876 & 0.2449 & 0.1978\\
 685                                        \hline
 686
 687 {SUNIWARD}  & 0.1 & 0.6542 & 0.4212 & 0.3972\\
 688             & 0.2 & 0.7607 & 0.3493 & 0.3170\\
 689             & 0.3 & 0.8390 & 0.2863 & 0.2511\\
 690             & 0.4 & 0.8916 & 0.2319 & 0.1977\\
 691  \hline
 692  {MVG}      & 0.1 & 0.6340 & 0.4310 &0.4124 \\
 693             & 0.2 & 0.7271 & 0.3726 &0.3399 \\
 694             & 0.3 & 0.7962 & 0.3185& 0.2858\\
 695             & 0.4 & 0.8486& 0.2719& 0.2353 \\
 696  \hline
 697   {HUGO}    & 0.1 & 0.6967 & 0.3982 & 0.3626 \\
 698             & 0.2 & 0.8012 & 0.3197 & 0.2847 \\
 699             & 0.3 & 0.8720 & 0.2557 & 0.2212 \\
 700             & 0.4 & 0.9517 & 0.1472 & 0.1230 \\
 701  \hline
 702 {Approche à base de $Ky$}
 703             & 0.1 & 0.7378 & 0.3768 & 0.3306 \\
 704             & 0.2 & 0.8568 & 0.2839 & 0.2408 \\
 705             & 0.3 & 0.9176 & 0.2156 & 0.1710 \\
 706             & 0.4 & 0.9473 & 0.1638 & 0.1324\\
 707  \hline
 708 {Approche à base de $Ko$}
 709             & 0.1 & 0.6831 & 0.3696  & 0.3450 \\
 710             & 0.2 & 0.8524 & 0.1302  & 0.2408 \\
 711             & 0.3 & 0.9132 & 0.1023  & 0.1045 \\
 712             & 0.4 & 0.9890 & 0.0880  & 0.0570 \\
 713                               \hline
 714
 715 \end{tabular}
 716 \end{table}
 717
 718
 719 %\begin{figure}[ht]
 720 %\centering
 721 %\includegraphics[width=9cm]{22}
 722 %\caption{Average Testing Error(ATE) }
 723 %\label{fig1}
 724 %\end{figure}
 725
 726 %\begin{figure}[ht]
 727 %\centering
 728 %\includegraphics[width=9cm]{11}
 729 %\caption{Out of Bag($E_{\textit{OOB}}$)}
 730 %\label{fig2}
 731 %\end{figure}
 732
 733 %\begin{figure}[ht]
 734 %\centering
 735 %\includegraphics[width=9cm]{33}
 736 %\caption{Area Under Curve(AUC)} %\label{fig3}
 737 %\end{figure}
 738
 739
 740 \section{Conclusion}
 741 La principale contribution de ce chapitre est de proposer des
 742 fonctions de distorsion basées sur des approximations de dérivées
 743 secondes, l'idée sous-jacente étant qu'une zone où les lignes de niveau
 744 ne sont pas clairement définies est peu prédictible.
 745 Deux approches d'approximation ont été présentées.
 746 La première  basée
 747 sur un produit de convolution, exploite des noyaux déjà intégrés dans des
 748 algorithmes de détection de bords.
 749 La seconde s'appuie sur une interpolation polynomiale de l'image.
 750 Ces deux méthodes onté été complètement implantées et leur sécurité
 751 face à des stéganalyseurs a été étudiée. Les résultats encouragent
 752 à poursuivre dans cette direction.