devaney.tex

   1 \begin{block}{Definition: Chaotic function [4]$^4$}
   2 Let $(\mathcal{X}; d)$ be a metric space.
   3 A function $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$ is chaotic on $\mathcal{X}$ if:
   4 \begin{enumerate}
   5 \item $f$: topologically transitive (\textit{i.e.}, indecomposability of the system)\\
   6 (for any pair of open sets $U,V \subset \mathcal{X}$, $\exists k > 0 .
   7 f^k (U) \cap V \neq \emptyset$)
   8 \\
   9 \onslide<2>{\alert<2>{Addressed property: preimage resistance}}.
  10 \item  $f$ is regular (\textit{i.e.}, fundamentally different points coexist)\\
  11 (the set of periodic points is dense in $\mathcal{X}$).
  12 \item  $f$: sensitive dependent on initial conditions (SDIC)\\
  13 ($
  14 \exists \delta  > 0 .  \forall x \in  \mathcal{X}
  15 \textrm{ and }
  16 \forall V \textrm{ neighborhood of $x$}.
  17 \exists y \in V \textrm{ and }
  18 \exists n \ge 0 .
  19 d(f^n(x); f^n(y))> \delta
  20 $)\\
  21 \onslide<2>{\alert<2>{Addressed properties: avalanche effect}}.
  22 \end{enumerate}
  23 \end{block}
  24 \footnote{\bibentry{devaney}}