partiels/12mesi/main.tex

   1 \documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
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  20
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  22
  23 \usepackage[a4paper]{geometry}
  24
  25
  26 \date{}
  27 \geometry{hmargin=1cm, tmargin=1cm,bmargin=1.5cm}
  28 \begin{document}
  29 \title{UE MESI, Master IMR 2ème année.\\
  30   Novembre 2012 (durée 1h).  J.-F.  Couchot,}
  31
  32 \maketitle
  33 \vspace{-5em}
  34 \begin{tabular}{ll}
  35 Nom:& ........................................\\
  36 Prénom:& ........................................\\
  37 \end{tabular}
  38
  39
  40 On s'intéresse à résoudre une équation de la forme $f(x)=0$ par la
  41 méthode de Müller. Dans cette méthode, on considère que l'on
  42 a le triplet de points $(x_{n-2},x_{n-1},x_{n})$. Pour calculer
  43 $x_{n+1}$, on fait comme suit:
  44 \begin{enumerate}
  45 \item \label{itm:1} on approche $f(x)$ par un polynôme $P(x)$ aux points
  46   $(x_{n-2},x_{n-1},x_{n})$,
  47 \item\label{itm:2} on résout l'équation $P(x)=0$. La racine la plus proche de $x_n$ est $x_{n+1}$;
  48 \item on recommence avec le triplet $(x_{n-1},x_{n},x_{n+1})$\ldots
  49 \end{enumerate}
  50
  51
  52
  53
  54
  55
  56 Vos réponses seront données directement ci-dessous.
  57
  58 \begin{enumerate}
  59
  60 \item En utilisant une base de Lagrange, montrer que le polynôme $P(x)$
  61   obtenu à l'étape 1. de la première itération est défini par
  62 $$
  63 P(x) =  \dfrac{(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})f(x_n)}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})}  +
  64 \dfrac{(x-x_{n})(x-x_{n-2})f(x_{n-1})}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} +
  65 \dfrac{(x-x_{n})(x-x_{n-1})f(x_{n-2})}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})}
  66 $$
  67
  68 \vspace{4cm}
  69
  70 \item Montrer que le polynôme de la question précédente est de degré 2.
  71   Est-ce cohérent avec le fait qu'on veuille approximer $f$ en trois points?
  72 \vspace{4cm}
  73
  74 \item Montrer que le polynôme de la première question peut s'écrire
  75   sous la forme $P(x) = a_n x^2 + b_n x + c $ où
  76 \begin{eqnarray*}
  77 a_n & = & \dfrac{f(x_n)}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})} +
  78 \dfrac{f(x_{n-1})}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} +
  79 \dfrac{f(x_{n-2})}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})} \\
  80 b_n & = &-\dfrac{f(x_n)(x_{n-1}+x_{n-2})}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})} -
  81 \dfrac{f(x_{n-1})(x_{n}+x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} -
  82 \dfrac{f(x_{n-2})(x_{n}+x_{n-1})}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})} \\
  83 c_n & = & \dfrac{f(x_n)x_{n-1}x_{n-2}}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})} +
  84 \dfrac{f(x_{n-1})x_{n}x_{n-2}}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} +
  85 \dfrac{f(x_{n-2})x_{n}x_{n-1}}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})}
  86 \end{eqnarray*}
  87 \vspace{8cm}
  88
  89
  90 \item Exprimer les deux racines $x'_{n}$ et $x''_{n}$ du polynôme précédent
  91 en fonctions de $a_n$, $b_n$ et  $c_n$ lorsqu'on itère dans les réels.
  92 \vspace{3cm}
  93
  94 \item Comment est alors défini $x_{n+1}$?
  95 \vspace{3cm}
  96
  97 \item On pourrait montrer que l'ordre de la convergence est 1,84. Comparer cette vitesse de convergence avec celle de Newton et celle de Lagrange.
  98 \vspace{3cm}
  99
 100
 101 \item Donner le code Python de la fonction
 102   $\verb+[n,X] = iteration_muller(x+_{\verb+0+},\verb+x+_{\verb+1+},\verb+x+_{\verb+2+}\verb+,m,epsilon,f)+$ où
 103 \begin{itemize}
 104 \item $\verb+x+_{\verb+0+}$, $\verb+x+_{\verb+1+}$ et $\verb+x+_{\verb+2+}$ sont les trois premières valeurs des itérés, \verb+m+
 105   est le nombre maximal
 106   d'itérations, \texttt{epsilon} est la précision souhaitée
 107   et \verb+f+ la fonction à itérer;
 108 \item \verb+n+ est le nombre d'itérations réalisées pour que
 109 \verb+f(+$\verb+x+_{\verb+n+}$\verb+)+=0 ou que
 110 $|\verb+x+_{\verb+n+}- \verb+x+_{\verb+n-1+}| \leq \verb+epsilon+$, \verb+n+ étant inférieur à \verb+m+ et \verb+X+ est
 111   le vecteur contenant les
 112   valeurs $\verb+x+_{\verb+0+},\ldots,\verb+x+_{\verb+n+}$.
 113 \end{itemize}
 114 \end{enumerate}
 115
 116
 117 \end{document}